新版文科數(shù)學北師大版練習：第二章 第九節(jié)　導數(shù)概念及其運算 Word版含解析

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1、 1

2、 1 課時作業(yè) A組——基礎(chǔ)對點練 1．曲線y＝xex－1在點(1,1)處切線的斜率等于(　　) A．2e　　　　　　　　 B．e C．2 D．1 解析：y＝xex－1＝＝xex，y′＝(ex＋xex)＝(1＋x)， ∴k＝y(tǒng)′|x＝1＝2，故選C. 答案：C 2．(20xx·濟南模擬)已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，

3、則f′(1)＝(　　) A．－e B．－1 C．1 D．e 解析：∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x， ∴f′(x)＝[2xf′(1)]′＋(ln x)′＝2f′(1)＋， ∴f′(1)＝2f′(1)＋1，即f′(1)＝－1. 答案：B 3．函數(shù)f(x)＝e xsin x的圖像在點(0，f(0))處的切線的傾斜角為(　　) A. B. C. D. 解析：因為f′(x)＝exsin x＋excos x，所以f′(0)＝1，即曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線的斜率為1.所以在點(0，f(0))處的切線的傾斜角為，故選C. 答案：C 4．曲線y＝ax

4、在x＝0處的切線方程是xln 2＋y－1＝0，則a＝(　　) A. B．2 C．ln 2 D．ln 解析：由題知，y′＝axln a，y′|x＝0＝ln a，又切點為(0,1)，故切線方程為xln a－y＋1＝0，∴a＝，故選A. 答案：A 5．已知函數(shù)f(x)＝sin x－cos x，且f′(x)＝f(x)，則tan 2x的值是(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：因為f′(x)＝cos x＋sin x＝sin x－cos x，所以tan x＝－3，所以tan 2x＝＝＝，故選D. 答案：D 6．已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，則f(x)在點P(－1

5、,2)處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積等于(　　) A．4 B．5 C. D. 解析：∵f(x)＝x3－2x2＋x＋6， ∴f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(－1)＝8， 故切線方程為y－2＝8(x＋1)，即8x－y＋10＝0， 令x＝0，得y＝10，令y＝0，得x＝－， ∴所求面積S＝××10＝. 答案：C 7．(20xx·巴蜀中學模擬)已知曲線y＝在點P(2, 4)處的切線與直線l平行且距離為2，則直線l的方程為(　　) A．2x＋y＋2＝0 B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0 C．2x－y－18＝0 D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0

6、解析：y′＝＝－，y′|x＝2＝－＝－2，因此kl＝－2，設直線l方程為y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，由題意得＝2，解得b＝18或b＝－2，所以直線l的方程為2x＋y－18＝0或2x＋y＋2＝0.故選B. 答案：B 8．已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(2－x)＝2x2－7x＋6，則曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程是(　　) A．y＝2x－1 B．y＝x C．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3 解析：法一：令x＝1得f(1)＝1，令2－x＝t，可得x＝2－t，代入f(2－x)＝2x2－7x＋6得f(t)＝2(2－t)2－7(2－t)＋6，化簡整理得f(t)＝2t2－

7、t，即f(x)＝2x2－x，∴f′(x)＝4x－1，∴f′(1)＝3.∴所求切線方程為y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2. 法二：令x＝1得f(1)＝1，由f(2－x)＝2x2－7x＋6，兩邊求導可得f′(2－x)·(2－x)′＝4x－7，令x＝1可得－f′(1)＝－3，即f′(1)＝3.∴所求切線方程為y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2. 答案：C 9.(20xx·濰坊模擬)如圖，y＝f(x)是可導函數(shù)，直線l：y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導函數(shù)，則g′(3)＝(　　) A．－1 B．0 C．2 D．4 解析

8、：由題意知直線l：y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，由圖可得f(3)＝1.又點(3,1)在直線l上，∴3k＋2＝1，∴k＝－，∴f′(3)＝k＝－.∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，則g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×＝0，故選B. 答案：B 10．若曲線y＝f(x)＝ln x＋ax2(a為常數(shù))不存在斜率為負數(shù)的切線，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－，＋∞) B．[－，＋∞) C．(0，＋∞) D．[0，＋∞) 解析：f′(x)＝＋2ax＝(x＞0)，根據(jù)題意有f′(x)≥0(x＞0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x＞0

9、)恒成立，即2a≥－(x＞0)恒成立，所以a≥0，故實數(shù)a的取值范圍為[0，＋∞)．故選D. 答案：D 11．若直線y＝x＋1與曲線y＝aln x相切，且a∈(n，n＋1)(n∈N*)，則n＝(　　) A．1 B．2 C．3 D． 4 解析：設直線y＝x＋1與曲線y＝aln x相切的切點為(x0，aln x0)，則在該點處曲線的切線方程為y－aln x0＝(x－x0)，即y＝x＋aln x0－a，又該直線與直線y＝x＋1重合，所以a＝x0且aln x0－a＝1，即aln a－a＝1.構(gòu)造函數(shù)g(a)＝aln a－a－1，則g′(a)＝ln a，當a＞1時，g′(a)＞0，g(a)

10、單調(diào)遞增，又g(3)＝3ln 3－4＜0，g(4)＝4ln 4－5＝8 ln 2－5＞0，所以函數(shù)g(a)在(1，＋∞)內(nèi)唯一的零點在區(qū)間(3,4)內(nèi)，所以n＝3. 答案：C 12．(20xx·石家莊模擬)設a∈R，函數(shù)f(x)＝ex＋a·e－x的導函數(shù)是f′(x)，且f′(x)是奇函數(shù)．若曲線y＝f(x)的一條切線的斜率是，則切點的橫坐標為(　　) A．ln 2 B．－ln 2 C. D．－ 解析：對f(x)＝ex＋a·e－x求導得f′(x)＝ex－ae－x，又f′(x)是奇函數(shù)，故f′(0)＝1－a＝0，解得a＝1，故有f′(x)＝ex－e－x，設切點為(x0，y0)，則f′

11、(x0)＝ex0－e－x0＝，解得ex0＝2或ex0＝－(舍去)，所以x0＝ln 2. 答案：A 13．曲線y＝－5ex＋3在點(0，－2)處的切線方程為________． 解析：由y＝－5ex＋3得，y′＝－5ex，所以切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝0＝－5，所以切線方程為y＋2＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0. 答案：5x＋y＋2＝0 14．曲線y＝x(3ln x＋1)在點(1,1)處的切線方程為____________． 解析：y′＝3ln x＋1＋3＝3ln x＋4，所以曲線在點(1,1)處的切線斜率為4，所以切線方程為y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3. 答案：y＝4x

12、－3 15．(20xx·合肥市質(zhì)檢)已知直線y＝b與函數(shù)f(x)＝2x＋3和g(x)＝ax＋ln x分別交于A，B兩點，若|AB|的最小值為2，則a＋b＝________. 解析：設點B(x0，b)，欲使|AB|最小，曲線g(x)＝ax＋ln x在點B(x0，b)處的切線與f(x)＝2x＋3平行，則有a＋＝2，解得x0＝，進而可得a·＋ln＝b?、?，又點 A坐標為(，b)，所以|AB|＝x0－＝－＝2?、?，聯(lián)立方程①②可解得，a＝1，b＝1，所以a＋b＝2. 答案：2 16．已知函數(shù)f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx(m∈R)，若函數(shù)f(x)的圖像在點(1，f(1))處的切線與函

13、數(shù)g(x)的圖像相切，則m的值為________． 解析：易知f(1)＝0，f′(x)＝，從而得到f′(1)＝1，函數(shù)f(x)的圖像在點(1，f(1))處的切線方程為y＝x－1. 設直線y＝x－1與g(x)＝x2＋mx(m∈R)的圖像相切于點P(x0，y0), 從而可得g′(x0)＝1，g(x0)＝x0－1.又g′(x)＝2x＋m，因此有，得x＝1，解得或. 答案：－1或3 B組——能力提升練 1．已知函數(shù)g(x)＝sin x，記f(0)＝g(x)＝sin x，f(1)＝(sin x)′＝cos x，f(2)＝(cos x)′＝－sin x，…依次類推，則f(2 019)＝(　　

14、) A．sin x B．cos x C．－sin x D．－cos x 解析：由題意得f(3)＝－cos x，f(4)＝sin x，f(5)＝cos x， 周期為4. ∴f(2 019)＝f(3)＝－cos x，故選D. 答案：D 2．已知函數(shù)f(x)＝ex－2ax，g(x)＝－x3－ax2.若不存在x1，x2∈R，使得f′(x1)＝g′(x2)，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(－2,3) B．(－6,0) C．[－2,3] D．[－6,0] 解析：依題意，知函數(shù)f′(x)與g′(x)值域的交集為空集，∵f′(x)＝ex－2a＞－2a，g′(x)＝－3x2－2a

15、x≤，∴≤－2a，解得－6≤a≤0. 答案：D 3．給出定義：設f′(x)是函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)，f″(x)是函數(shù)f′(x)的導函數(shù)，若方程f″(x)＝0有實數(shù)解x0，則稱點(x0，f(x0))為函數(shù)y＝f(x)的“拐點”．已知函數(shù)f(x)＝3x＋4sin x－cos x的拐點是M(x0，f(x0))，則點M(　　) A．在直線y＝－3x上 B．在直線y＝3x上 C．在直線y＝－4x上 D．在直線y＝4x上 解析：f′(x)＝3＋4cos x＋sin x，f″(x)＝－4sin x＋cos x，由題意知4sin x0－cos x0＝0， 所以f(x0)＝3x0， 故M(x

16、0，f(x0))在直線y＝3x上．故選B. 答案：B 4．已知函數(shù)fn(x)＝xn＋1，n∈N的圖像與直線x＝1交于點P，若圖像在點P處的切線與x軸交點的橫坐標為xn，則log2 013x1＋log2 013x2＋…＋log2 013x2 012的值為(　　) A．－1 B．1－log2 0132 012 C．－ log2 0132 012 D．1 解析：由題意可得點P的坐標為(1,1)， f′n(x)＝(n＋1)·xn，所以fn(x)圖像在點P處的切線的斜率為n＋1，故可得切線的方程為y－1＝(n＋1)(x－1)，所以切線與x軸交點的橫坐標為xn＝，則log2 013x1＋l

17、og2 013x2＋…＋log2 013x2 012＝log2 013x1x2…x2 012＝log2 013×××…×＝log2 013＝－1.故選A. 答案：A 5．設函數(shù)f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋，它們的圖像在x軸上的公共點處有公切線，則當x＞1時，f(x)與g(x)的大小關(guān)系是(　　) A．f(x)＞g(x) B．f(x)＜g(x) C．f(x)＝g(x) D．f(x)與g(x)的大小關(guān)系不確定 解析：由題意得f(x)與x軸的交點(1,0)在g(x)上，所以a＋b＝0，因為函數(shù)f(x)，g(x)的圖像在此公共點處有公切線，所以f(x)，g(x)在此公共點處的導數(shù)

18、相等，f′(x)＝，g′(x)＝a－，以上兩式在x＝1時相等，即1＝a－b，又a＋b＝0，所以a＝，b＝－，即g(x)＝－，f(x)＝ln x，令h(x)＝f(x)－g(x)＝ln x－＋，則h′(x)＝－－＝＝－，因為x>1，所以h′(x)＜0，所以h (x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以h(x)＜h(1)＝0，所以f(x)＜g(x)．故選B. 答案：B 6．設函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)可導，且f(ex)＝x＋ex，則f′(1)＝________. 解析：令t＝ex，故x＝ln t，∴f(t)＝ln t＋t，即f(x)＝ln x＋x，∴f′(x)＝＋1，∴f′(1)＝2. 答案：2

19、 7．設曲線y＝ex在點(0,1)處的切線與曲線y＝(x＞0)上點P處的切線垂直，則P的坐標為________． 解析：y′＝ex，則曲線y＝ex在點(0,1)處的切線的斜率k切＝1，又曲線y＝(x>0)上點P處的切線與曲線y＝ex在點(0,1)處的切線垂直，所以曲線y＝(x>0)在點P處的切線的斜率為－1，設P(a，b)，則曲線y＝(x>0)上點P處的切線的斜率為y′|x＝a＝－a－2＝－1，可得a＝1，又P(a，b)在y＝上，所以b＝1，故P(1,1)． 答案：(1,1) 8．已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)圖像上任意一點處的切線的斜率都小于1，則實數(shù)a的取值范圍

20、是________． 解析：由題意得f′(x)＝－3x2＋2ax， 當x＝時，f′(x)取到最大值. ∴＜1，解得－＜a＜. 答案：－＜a＜ 9．已知函數(shù)f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)． (1)若函數(shù)f(x)的圖像過原點，且在原點處的切線斜率為－3，求a，b的值． (2)若曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值范圍． 解析：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)． (1)由題意得 解得b＝0，a＝－3或a＝1. (2)因為曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線， 所以關(guān)于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)

21、x－a(a＋2)＝0有兩個不相等的實數(shù)根， 所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0， 即4a2＋4a＋1>0，所以a≠－. 所以a的取值范圍為∪. 10．已知函數(shù)f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲線f(x)在點(2，f(2))處的切線方程； (2)求經(jīng)過點(2，－2)的曲線的切線方程． 解析：(1)因為f′(x)＝3x2－8x＋5， 所以f′(2)＝1，又f(2)＝－2， 所以曲線在點(2，f(2))處的切線方程為y＋2＝x－2，即x－y－4＝0. (2)設曲線與經(jīng)過點A(2，－2)的切線相切于點P(x0，x－4x＋5x0－4)，因為f′(x0)＝3x－8

22、x0＋5， 所以切線方程為y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)， 又切線過點P(x0，x－4x＋5x0－4)， 所以x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)， 整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1， 所以經(jīng)過A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程為x－y－4＝0或y＋2＝0. 11．設有拋物線C：y＝－x2＋x－4，過原點O作C的切線y＝kx，使切點P在第一象限． (1)求k的值； (2)過點P作切線的垂線，求它與拋物線的另一個交點Q的坐標． 解析：(1)設點P的坐標為(x1，y1)， 則y1＝kx1，① y1＝－x＋x1－4，② ①代入②得，x＋x1＋4＝0. 因為P為切點， 所以Δ＝2－16＝0， 得k＝或k＝. 當k＝時，x1＝－2，y1＝－17. 當k＝時，x1＝2，y1＝1. 因為P在第一象限， 所以所求的斜率k＝. (2)過P點作切線的垂線， 其方程為y＝－2x＋5.③ 將③代入拋物線方程得， x2－x＋9＝0. 設Q點的坐標為(x2，y2)，則2x2＝9， 所以x2＝，y2＝－4. 所以Q點的坐標為.