新編高考數(shù)學(xué)人教A版理科含答案導(dǎo)學(xué)案【第二章】函數(shù)與基本初等函數(shù)I 學(xué)案11

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 學(xué)案11　函數(shù)與方程 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，會(huì)判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù).2.根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似值． 自主梳理 1．函數(shù)零點(diǎn)的定義 (1)對(duì)于函數(shù)y＝f(x) (x∈D)，把使________成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x) (x∈D)的零點(diǎn)． (2)方程f(x)＝0有實(shí)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與____有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有________． 2．函數(shù)零點(diǎn)的判定 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有____________，那

2、么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間________內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得________，這個(gè)____也就是f(x)＝0的根．我們不妨把這一結(jié)論稱為零點(diǎn)存在性定理． 3．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖象 與x軸的交點(diǎn) ________， ________ ________ 無交點(diǎn) 零點(diǎn)個(gè)數(shù) ________ ________ ________ 4.用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟 第一步，確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證_____________

3、___，給定精確度ε； 第二步，求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)c； 第三步，計(jì)算______： ①若________，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)； ②若________，則令b＝c[此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a，c)]； ③若________，則令a＝c[此時(shí)零點(diǎn)x0∈(c，b)]； 第四步，判斷是否達(dá)到精確度ε：即若|a－b|<ε，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)第二、三、四步． 自我檢測(cè) 1．(2010·福建)f(x)＝的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 (　　) A．0 B．1 C．2 D．3 2．若函數(shù)y＝f(x)在R上遞增，則函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn) (　　) A．至少

4、有一個(gè) B．至多有一個(gè) C．有且只有一個(gè) D．可能有無數(shù)個(gè) 3．如圖所示的函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中交點(diǎn)橫坐標(biāo)的是(　　) A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 4．設(shè)f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)內(nèi)近似解的過程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，則方程的根所在的區(qū)間是 (　　) A．(1,1.25) B．(1.25,1.5) C．(1.5,2) D．不能確定 5．(2011·福州模擬)若函數(shù)f(x)的零點(diǎn)與g

5、(x)＝4x＋2x－2的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過0.25，則f(x)可以是 (　　) A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln(x－0.5) 探究點(diǎn)一　函數(shù)零點(diǎn)的判斷 例1　判斷函數(shù)y＝ln x＋2x－6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)． 變式遷移1　(2011·煙臺(tái)模擬)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝x，則函數(shù)y＝f(x)－log3|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 (　　) A．多于4個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè)

6、 D．2個(gè) 探究點(diǎn)二　用二分法求方程的近似解 例2　求方程2x3＋3x－3＝0的一個(gè)近似解(精確度0.1)． 變式遷移2　(2011·淮北模擬)用二分法研究函數(shù)f(x)＝x3＋ln的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)計(jì)算f(0)<0，>0，可得其中一個(gè)零點(diǎn)x0∈________，第二次應(yīng)計(jì)算________．以上橫線上應(yīng)填的內(nèi)容為 (　　) A.　 B．(0,1)　f C.　 D.　 探究點(diǎn)三　利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù) 例3　已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－1,1]上有零點(diǎn)，求

7、a的取值范圍． 變式遷移3　若函數(shù)f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 1．全面認(rèn)識(shí)深刻理解函數(shù)零點(diǎn)： (1)從“數(shù)”的角度看：即是使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x； (2)從“形”的角度看：即是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)； (3)若函數(shù)f(x)的圖象在x＝x0處與x軸相切，則零點(diǎn)x0通常稱為不變號(hào)零點(diǎn)； (4)若函數(shù)f(x)的圖象在x＝x0處與x軸相交，則零點(diǎn)x0通常稱為變號(hào)零點(diǎn)． 2．求函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)的方法： (1)(代數(shù)法)求方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根(常用公式法、因式分解法、直接求解法

8、等)； (2)(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)； (3)(二分法)主要用于求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，二分法的條件f(a)·f(b)<0表明：用二分法求函數(shù)的近似零點(diǎn)都是指變號(hào)零點(diǎn)． 3．有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的重要結(jié)論： (1)若連續(xù)不間斷的函數(shù)f(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)； (2)連續(xù)不間斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)； (3)連續(xù)不間斷的函數(shù)圖象通過零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值符號(hào)可能不變． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(2010·天津)函數(shù)f(x)＝

9、2x＋3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是 (　　) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 2．(2011·福州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝log2x－x，若實(shí)數(shù)x0是方程f(x)＝0的解，且0

10、則 (　　) A．x1<2,22，x2>5 C．x1<2，x2>5 D．25 5．(2011·廈門月考)設(shè)函數(shù)f(x)＝，g(x)＝log2x，則函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 (　　) A．4 B．3 C．2 D．1 題號(hào) 1 2 3 4 5 答案 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝2 006x＋log2 006x，則在R上，函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_____

11、___． 7．(2011·深圳模擬)已知函數(shù)f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零點(diǎn)分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是______________． 8．(2009·山東)若函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 三、解答題(共38分) 9．(12分)已知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋＋. 證明：存在x0∈(0，)，使f(x0)＝x0. 10．(12分)已知二次函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區(qū)間[－1,1]內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，使f(c)>0

12、，求實(shí)數(shù)p的取值范圍． 11．(14分)(2011·杭州調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－，3a>2c>2b，求證： (1)a>0且－3<<－； (2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)； (3)設(shè)x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，則≤|x1－x2|<. 答案 自主梳理 1．(1)f(x)＝0　(2)x軸　零點(diǎn)　2.f(a)·f(b)<0　(a，b) f(c)＝0　c　3.(x1,0)　(x2,0)　(x1,0)　兩個(gè)　一個(gè) 無　4.f(a)·f(b)<0　f(c)　①f(c)＝0?、趂(a)·f(c)<0?、踗(c

13、)·f(b)<0 自我檢測(cè) 1．C　[當(dāng)x≤0時(shí)，令x2＋2x－3＝0， 解得x＝－3； 當(dāng)x>0時(shí)，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2， 所以已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．] 2．B　3.B　4.B　5.A 課堂活動(dòng)區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)最常用的方法是令f(x)＝0，轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)，解出方程有幾個(gè)根，函數(shù)y＝f(x)就有幾個(gè)零點(diǎn)，如果方程的根解不出，還有兩種方法判斷：方法一是基本方法，是利用零點(diǎn)的存在性原理，要注意參考單調(diào)性可判定零點(diǎn)的唯一性；方法二是數(shù)形結(jié)合法，要注意作圖技巧． 解　方法一　設(shè)f(x)＝ln x＋2x－6， ∵y＝ln x和y＝2x－6均為增函數(shù)

14、， ∴f(x)也是增函數(shù)． 又∵f(1)＝0＋2－6＝－4<0，f(3)＝ln 3>0， ∴f(x)在(1,3)上存在零點(diǎn)．又f(x)為增函數(shù)， ∴函數(shù)在(1,3)上存在唯一零點(diǎn)． 方法二　在同一坐標(biāo)系畫出y＝ln x與y＝6－2x的圖象，由圖可知兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)y＝ln x＋2x－6只有一個(gè)零點(diǎn)． 變式遷移1　B　[由題意知f(x)是偶函數(shù)并且周期為2.由f(x)－log3|x|＝0，得f(x)＝log3|x|，令y＝f(x)，y＝log3|x|，這兩個(gè)函數(shù)都是偶函數(shù)，畫兩函數(shù)y軸右 邊的圖象如圖，兩函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，因此零點(diǎn)個(gè)數(shù)在x≠0，x∈R的范圍內(nèi)共4個(gè)．

15、] 例2　解題導(dǎo)引?、儆枚址ㄇ蠛瘮?shù)的零點(diǎn)時(shí)，最好是利用表格，將計(jì)算過程所得的各個(gè)區(qū)間、中點(diǎn)坐標(biāo)、區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值等置于表格中，可清楚地表示出逐步縮小零點(diǎn)所在區(qū)間的過程，有時(shí)也可利用數(shù)軸來表示這一過程； ②在確定方程近似解所在的區(qū)間時(shí)，轉(zhuǎn)化為求方程對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間，找出的區(qū)間[a，b]長(zhǎng)度盡可能小，且滿足f(a)·f(b)<0； ③求方程的近似解，所要求的精確度不同得到的結(jié)果也不同，精確度ε，是指在計(jì)算過程中得到某個(gè)區(qū)間(a，b)后，直到|a－b|<ε時(shí)，可停止計(jì)算，其結(jié)果可以是滿足精確度的最后小區(qū)間的端點(diǎn)或區(qū)間內(nèi)的任一實(shí)數(shù)，結(jié)果不唯一． 解　設(shè)f(x)＝2x3＋3x－3.

16、經(jīng)計(jì)算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0， 所以函數(shù)在(0,1)內(nèi)存在零點(diǎn)， 即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)內(nèi)有解． 取(0,1)的中點(diǎn)0.5，經(jīng)計(jì)算f(0.5)<0， 又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)內(nèi)有解， 如此繼續(xù)下去，得到方程的一個(gè)實(shí)數(shù)解所在的區(qū)間，如下表. (a，b) (a，b) 的中點(diǎn) f (0,1) 0.5 f(0.5)<0 (0.5,1) 0.75 f(0.75)>0 (0.5,0.75) 0.625 f(0.625)<0 (0.625,0.75) 0.687 5 f(0.687 5)<0

17、 (0.687 5,0.75) |0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1 至此，可以看出方程的根落在區(qū)間長(zhǎng)度小于0.1的區(qū)間(0.687 5,0.75)內(nèi)，可以將區(qū)間端點(diǎn)0.687 5作為函數(shù)f(x)零點(diǎn)的近似值．因此0.687 5是方程2x3＋3x－3＝0精確度0.1的一個(gè)近似解． 變式遷移2　D　[由于f(0)<0，f>0，而f(x)＝x3＋ln中的x3及l(fā)n在上是增函數(shù)，故f(x)在上也是增函數(shù)， 故f(x)在上存在零點(diǎn)，所以x0∈， 第二次計(jì)算應(yīng)計(jì)算0和在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的中點(diǎn) x1＝＝.] 例3　解　若a＝0，f(x)＝2x－3，顯然在[－1，1]上沒有零點(diǎn)，所

18、以a≠0. 令Δ＝4＋8a(3＋a)＝8a2＋24a＋4＝0， 解得a＝. ①當(dāng)a＝時(shí)，f(x)＝0的重根x＝∈[－1,1]， 當(dāng)a＝時(shí)，f(x)＝0的重根x＝?[－1,1]， ∴y＝f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)在[－1,1]上； ②當(dāng)f(－1)·f(1)＝(a－1)(a－5)<0， 即11或a≤. 變式遷移3　解　方法一　(換元) 設(shè)2x＝t，則函數(shù)f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1化為g(t)＝t2＋at＋a＋

19、1 (t∈(0，＋∞))． 函數(shù)f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零點(diǎn)，等價(jià)于方程t2＋at＋a＋1＝0，①有正實(shí)數(shù)根． (1)當(dāng)方程①有兩個(gè)正實(shí)根時(shí)， a應(yīng)滿足， 解得：－1

20、個(gè)零點(diǎn)，另一個(gè)零點(diǎn)在(－∞，0)時(shí)，實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足g(0)＝a＋1<0， 解得a<－1； (3)當(dāng)函數(shù)g(t)的一個(gè)零點(diǎn)是0時(shí)，g(0)＝a＋1＝0，a＝－1，此時(shí)可以求得函數(shù)g(t)的另一個(gè)零點(diǎn)是1. 綜上(1)(2)(3)知a≤2－2. 課后練習(xí)區(qū) 1．B　[因?yàn)閒(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0， 所以f(x)在區(qū)間(－1,0)上存在零點(diǎn)．] 2．A 3．C　[能用二分法求零點(diǎn)的函數(shù)必須在給定區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，并且有f(a)·f(b)<0.A、B中不存在f(x)<0，D中函數(shù)不連續(xù)．] 4．C 5．B　[當(dāng)x≤1時(shí)，函數(shù)f(x)＝4x－4與g(x)＝log2

21、x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，可得h(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)x>1時(shí)，函數(shù)f(x)＝x2－4x＋3與g(x)＝log2x的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，可得函數(shù)h(x)有1個(gè)零點(diǎn)，∴函數(shù)h(x)共有3個(gè)零點(diǎn)．] 6．3 解析　函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，因此f(0)＝0，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝2 006x＋log2 006x在區(qū)間(0，)內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，又f(x)為增函數(shù)，因此在(0，＋∞)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．根據(jù)對(duì)稱性可知函數(shù)在(－∞，0)內(nèi)有且僅有一解，從而函數(shù)在R上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3. 7．x1

22、 設(shè)y＝ln x，y＝－x. 在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y＝2x，y＝ln x，y＝－x，如圖：x1<01，所以x11 解析　設(shè)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)和函數(shù)y＝x＋a，則函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn)，就是函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與函數(shù)y＝x＋a有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖象可知當(dāng)01時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)y＝ax(a>1)的圖象過點(diǎn)(0,1)，而直線y＝x＋a所過的點(diǎn)一定在點(diǎn)(0,1)的上方，所以一定有兩個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)a的取值范

23、圍是a>1. 9．證明　令g(x)＝f(x)－x.………………………………………………………………(2分) ∵g(0)＝，g()＝f()－＝－， ∴g(0)·g()<0.……………………………………………………………………………(8分) 又函數(shù)g(x)在(0，)上連續(xù)，…………………………………………………………(10分) 所以存在x0∈(0，)，使g(x0)＝0. 即f(x0)＝x0.………………………………………………………………………………(12分) 10．解　二次函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c， 使f(c)>0的否定是：對(duì)于區(qū)間[－1,1]內(nèi)的任意一

24、個(gè)x都有f(x)≤0.……………………(4分) 此時(shí)，即，解得： p≥或p≤－3.…………………………………………………………………………(10分) ∴二次函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，使f(c)>0的實(shí)數(shù)p的取值范圍是 －32c>2b，∴3a>0,2b<0， ∴a>0，b<0. 又2c＝－3a－2b，由3a>2c>2b， ∴3a>－3a－2b>2b. ∵a>0，∴－3<<－.………………

25、……………………………………………………(4分) (2)∵f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c. ①當(dāng)c>0時(shí)，∵a>0， ∴f(0)＝c>0且f(1)＝－<0， ∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．……………………………………………(7分) ②當(dāng)c≤0時(shí)， ∵a>0， ∴f(1)＝－<0且f(2)＝a－c>0， ∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)． 綜合①②得f(x)在(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．……………………………………………(10分) (3)∵x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，則x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根． ∴x1＋x2＝－，x1x2＝＝－－. ∴|x1－x2|＝ ＝ ＝.(12分) ∵－3<<－， ∴≤|x1－x2|<.……………………………………………………………………(14分)