3、根據一元二次方程的解的個數(也就是方程組解的個數)來判斷．
如果Δ<0，方程無實數解，從而方程組也無實數解，那么直線與圓相離；
如果Δ＝0，方程有唯一實數解，從而方程組也有唯一一組實數解，那么直線與圓相切；
如果Δ>0，方程有兩個不同的實數解，從而方程組也有兩組不同的實數解，那么直線與圓相交．
提醒：直線與圓的位置關系的判斷多用幾何法．
3.【2015高考山東，理9】一條光線從點射出，經軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（ ）
（A）或 （B） 或 （C）或 （D）或
【答案】D
【考點定位】1、圓的標準方程；2、直
4、線的方程；3、直線與圓的位置關系.
【名師點睛】本題考查了圓與直線的方程的基礎知識，重點考查利用對稱性解決直線方程的有關問題以及直線與圓的位置關系的判斷，意在考查學生對直線與直線、直線與圓的位置關系的理解與把握以及學生的運算求解能力.
4.【2015高考新課標2，理7】過三點，，的圓交y軸于M，N兩點，則( )
A．2 B．8 C．4 D．10
【答案】C
【解析】由已知得，，所以，所以，即為直角三角形，其外接圓圓心為，半徑為，所以外接圓方程為，令，得，所以，故選C．
【考點定位】圓的方程．
【名師點睛】本題考查三角形的外接圓方程，要注意邊
5、之間斜率的關系，得出是直角三角形，可以簡潔快速地求出外接圓方程，進而求弦的長，屬于中檔題．
5. 【2015高考重慶，理8】已知直線l：x+ay-1=0（aR）是圓C：的對稱軸.過點A（-4，a）作圓C的一條切線，切點為B，則|AB|= ?。ā 。?
A、2 B、 C、6 D、
【答案】C
【解析】圓標準方程為，圓心為，半徑為，
因此，，
即，.選C.
【考點定位】直線與圓的位置關系.
【名師點晴】首先圓是一個對稱圖形，它關于圓心成中心對稱，關于每一條直徑所在直線都是它的對稱軸，當然其對
6、稱軸一定過圓心，其次直線與圓有相交、相切、相離三種位置關系，判斷方法可用幾何與代數兩種方法研究，圓的切線長我們用勾股定理求解，設圓外一點到圓的距離為，圓的半徑為，則由點所作切線的長．
6. 【2014福建,理6】直線與圓相交于兩點，則是“的面積為”的（ ）
充分而不必要條件 必要而不充分條件
充分必要條件 既不充分又不必要條件
【答案】A
考點：1.直線與圓的位置關系.2.充要條件.
【名師點睛】本題主要考查直線與圓的位置關系、三角形的面積及充分條件與必要條件等基礎知識，意在考查轉化劃歸能力及運算能力，充分條件與必要條件多以客觀題形式出
7、現.相關結論是：若 ,則p是q的充分條件,q是p的必要條件.
7. 【2014福建,理9】設分別為和橢圓上的點，則兩點間的最大距離是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
考點：1.直線與圓的位置關系.2.數形結合的思想.
【名師點睛】本題主要考查圓與橢圓的基礎知識，及劃歸思想.本題解法的關鍵是把兩點間的最大距離轉化為圓心到橢圓上的點的最大距離再加上圓的半徑，注意與圓錐曲線有關的試題，一般運算量比較大，要注意運算的準確性.
二、填空題
1.【2014江蘇，理9】在平面直角坐標系中，直線被圓截得的弦長為 .
【答案】
【解析】圓的圓心
8、為，半徑為，點到直線的距離為，
所求弦長為．
【考點】直線與圓相交的弦長問題．
【名師點晴】求圓的弦長的常用方法
(1)幾何法：設圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則2＝r2－d2.
(2)代數方法：運用韋達定理及弦長公式：
|AB|＝|x1－x2|＝.
注意：常用幾何法研究圓的弦的有關問題．
2. 【2015江蘇高考，10】在平面直角坐標系中，以點為圓心且與直線相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為
【答案】
【解析】由題意得：半徑等于，當且僅當時取等號，所以半徑最大為，所求圓為
【考點定位】直線與圓位置關系
【名師點晴】利用圓的幾何性質求方程
9、可直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程.圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑建立關系解決問題．當半徑表示為關于m的函數后，利用基本不等式求最值，需注意一正二定三相等的條件.
3. 【2015高考陜西，理15】設曲線在點（0,1）處的切線與曲線上點處的切線垂直，則的坐標為 ．
【答案】
【考點定位】1、導數的幾何意義；2、兩條直線的位置關系．
【名師點晴】本題主要考查的是導數的幾何意義和兩條直線的位置關系，屬于容易題．解題時一定要注意考慮直線的斜率是否存在，否則很容易出現錯誤．解導數的幾何意義問題時一定要抓住切點的三重作用：①切點在曲線上；②切點在切線上；③切點處
10、的導數值等于切線的斜率．
4. 【2014高考陜西版文第12題】若圓的半徑為1，其圓心與點關于直線對稱，則圓的標準方程為_______.
【答案】
【解析】
試題分析：因為圓心與點關于直線對稱，所以圓心坐標為，所以圓的標準方程為：，故答案為
考點：圓的標準方程.
【名師點晴】本題主要考查的是圓的標準方程，點關于直線的對稱，，屬于容易題．解題時利用對稱性求出
圓心坐標，就可以寫出圓的標準方程．
5. 【2014新課標，理16】設點M（,1），若在圓O:上存在點N，使得∠OMN=45°，則的取值范圍是________.
【答案】
【解析】由題意知：直線MN與圓O有公共點即可，即
11、圓心O到直線MN的距離小于等于1即可，如圖，
過OA⊥MN，垂足為A，在中，因為∠OMN=45，
所以=，
解得，因為點M（,1），所以，解得，
故的取值范圍是.
【考點定位】直線與圓的位置關系
【名師點睛】本題考查直線與圓的位置關系，屬于中檔題，直線與直線設出角的求法，數形結合是快速解得本題的策略之一．
6. 【2014四川，理14】設，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的最大值是 .
【答案】
【考點定位】1、直線與圓；2、重要不等式.
【名師點睛】利用基本不等式求最值時，要注意“一正，二定，三相等”.
7.【2014高考重慶理第13題】已知
12、直線與圓心為的圓相交于兩點，且為等邊三角形，則實數_________.
【答案】
【解析】
試題分析：由題設圓心到直線的距離為
解得：
所以答案應填：.
考點：1、直線與圓的位置關系；2、點到直線的距離公式.
【名師點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式，等邊三角形的性質，本題屬于基礎題，注意仔細分析題目條件，將等邊三角形這一條件等價轉化為圓心到直線的距離是非常關鍵的.
8.【2014年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷12】直線和將單位圓分成長度相等的四段弧，則 .
【答案】2
【解析】
試題分析：依題意，設與單位圓相交于兩點，則∠°
13、.如圖，當時滿足題意，所以.
考點：直線與圓相交，相等弧的概念，容易題.
【名師點睛】本題考查直線與圓的位置關系，夯實基礎，注重基礎知識的運用，充分體現了數形結合的數學思想在數學問題中的應用，能較好的考查學生動手作圖能力、基本知識的識記能力和靈活運用能力，鍛煉學生的嚴密地邏輯推理能力.
9. 【2015高考湖北，理14】如圖，圓與軸相切于點，與軸正半軸交于兩點（在的上方）， 且．
（Ⅰ）圓的標準方程為 ；
（Ⅱ）過點任作一條直線與圓相交于兩點，下列三個結論：
①； ②； ③．
其中正確結論的序號是 . （寫出所有正確結論的序號）
14、【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③
【解析】（Ⅰ）依題意，設（為圓的半徑），因為，所以，所以圓心，故圓的標準方程為.
（Ⅱ）聯(lián)立方程組，解得或，因為在的上方，
所以，，
令直線的方程為，此時，，
所以，，，
因為，，所以.
所以，
，
正確結論的序號是①②③.
【考點定位】圓的標準方程，直線與圓的位置關系.
【名師點睛】用特例代替題設所給的一般性條件，得出特殊結論，然后對各個選項進行檢驗，從而做出正確的判斷，這種方法叫做特殊法. 若結果為定值，則可采用此法. 特殊法是“小題小做”的重要策略. 常用的特例有特殊數值、特殊數列、特殊函數、特殊圖形、特殊角、特殊位置等．
10.【
15、2016高考新課標3理數】已知直線：與圓交于兩點，過
分別做的垂線與軸交于兩點，若，則__________________.
【答案】4
考點：直線與圓的位置關系．
11.【2016高考上海理數】已知平行直線，則的距離___________.
【答案】
【解析】試題分析：
利用兩平行線間距離公式得.
考點：兩平行線間距離公式.
【名師點睛】確定兩平行線間距離，關鍵是注意應用公式的條件，即的系數應該分別相同，本題較為容易，主要考查考生的基本運算能力.
三、解答題
1. 【2015高考廣東，理20】已知過原點的動直線與圓相交于不同的兩點，．
（1）求圓的圓心坐標；
16、
（2）求線段的中點的軌跡的方程；
（3）是否存在實數，使得直線與曲線只有一個交點：若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）由得，
∴ 圓的圓心坐標為；
（2）設，則
∵ 點為弦中點即，
∴ 即，
∴ 線段的中點的軌跡的方程為；
（3）由（2）知點的軌跡是以為圓心為半徑的部分圓弧（如下圖所示，不包括兩端點），且，，又直線：過定點，
當直線與圓相切時，由得，
又，結合上圖可知當時，直線：與曲線只有一個交點．
【考點定位】圓的標準方程、軌跡方程、直線斜率等知識與數形結合思想等應用．
【名師點睛】本題主要考查圓的普通
17、方程化為標準方程、軌跡方程、直線斜率等知識，轉化與化歸，數形結合思想和運算求解能力，屬于中高檔題，本題（1）（2）問相對簡單，但第（2）問需注意取值范圍（），對于第（3）問如果能運用數形結合把曲線與直線的圖形畫出求解則可輕易突破難點．
2. 【2013江蘇，理17】如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l：y＝2x－4.設圓C的半徑為1，圓心在l上.
(1)若圓心C也在直線y＝x－1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；
(2)若圓C上存在點M，使MA＝2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍.
【答案】(1) y＝3或3x＋4y－12＝0.；(2)
【解析】
解：
18、(1)由題設，圓心C是直線y＝2x－4和y＝x－1的交點，解得點C(3,2)，于是切線的斜率必存在.
設過A(0,3)的圓C的切線方程為y＝kx＋3，
由題意，＝1，解得k＝0或，
故所求切線方程為y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)因為圓心在直線y＝2x－4上，所以圓C的方程為(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
設點M(x，y)，因為MA＝2MO，
所以，化簡得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以點M在以D(0，－1)為圓心，2為半徑的圓上．
由題意，點M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點，則|2－1|≤CD≤2＋1，
即.
由5a2－
19、12a＋8≥0，得a∈R；
由5a2－12a≤0，得0≤a≤.
所以點C的橫坐標a的取值范圍為.
【考點定位】本小題主要考查直線與圓的方程，考查直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關系，等基礎知識，考查運用數形結合、待定系數法等數學思想方法分析解決問題的能力.
【名師點晴】1．圓的切線問題(1)過圓x2＋y2＝r2(r＞0)上一點M(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＝r2；
(2)過圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一點M(x0，y0)引切線，有兩條，求方程的方法是待定系數法，圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑建立關系解決問題．
2．兩圓位置關系的判斷常用幾何法，
20、即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關系，一般不采用代數法．
3. 【2013課標全國Ⅰ，理20】(本小題滿分12分)已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動圓P與圓M外切并且與圓N內切，圓心P的軌跡為曲線C.
(1)求C的方程；
(2)l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點，當圓P的半徑最長時，求|AB|.
【解析】：由已知得圓M的圓心為M(－1,0)，半徑r1＝1；圓N的圓心為N(1,0)，半徑r2＝3.
設圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.
(1)因為圓P與圓M外切并且與圓N內切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋
21、(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點，長半軸長為2，短半軸長為的橢圓(左頂點除外)，其方程為(x≠－2)．
(2)對于曲線C上任意一點P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，
所以R≤2，當且僅當圓P的圓心為(2,0)時，R＝2.
所以當圓P的半徑最長時，其方程為(x－2)2＋y2＝4.
若l的傾斜角為90°，則l與y軸重合，可得|AB|＝.
所以|AB|＝.
當時，由圖形的對稱性可知|AB|＝.
綜上，|AB|＝或|AB|＝.
【名師點睛】本題考查橢圓的定義、弦長公式、直線的方程，考查考生的運算能力、化簡能力以及數形結合
22、的能力.
4．【2014天津，理18】設橢圓（）的左、右焦點為，右頂點為，上頂點為．已知．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設為橢圓上異于其頂點的一點，以線段為直徑的圓經過點，經過原點的直線與該圓相切，求直線的斜率．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直線的斜率為或．
【解析】
試題解析：（Ⅰ）設橢圓的右焦點的坐標為．由，可得，又，則，∴橢圓的離心率．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故橢圓方程為．設．由，，有，．由已知，有，即．又，故有………………①
又∵點在橢圓上，故………………②
由①和②可得．而點不是橢圓的頂點，故，代入①得，即點的坐標為．設圓的圓心為，則，，進而圓的半徑．設直線的斜率為，依題
23、意，直線的方程為．由與圓相切，可得，
即，整理得，解得．
∴直線的斜率為或．
考點：1．橢圓的標準方程和幾何性質；2．直線和圓的方程；3．直線和圓的位置關系．
【名師點睛】本題考查求離心率和待定系數法求橢圓方程，屬于中偏難題目，解決直線與圓錐曲線問題，首先求離心率就是根據題目所給條件列出一個關于的等式，就能求出離心率;其次解決直線與圓錐曲線問題，要求學生要學會設而不求的解題思想，先設出直線方程，設出直線與橢圓的交點，把直線方程和橢圓方程聯(lián)立方程組，消元后，簡單方程直接求解，而大多借助一元二次方程的根與系數關系，通過的關系及題目的要求解題.直線與圓錐曲線問題為每年高考必考問題，也是備考重
24、點.
7.【2016高考江蘇卷】（本小題滿分16分）
如圖，在平面直角坐標系中，已知以為圓心的圓及其上一點
（1）設圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，求圓的標準方程；
（2）設平行于的直線與圓相交于兩點，且,求直線的方程；
（3）設點滿足：存在圓上的兩點和,使得,求實數的取值范圍。
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
試題分析：（1）求圓的標準方程，關鍵是確定圓心與半徑：根據直線與x軸相切確定圓心位置，再根據兩圓外切建立等量關系求半徑（2）本題實質已知弦長求直線方程，因此應根據垂徑定理確定等量關系，求直線方程（3）利用向量加法幾何意義建立等量關系，根據圓中弦長范圍建立
25、不等式，解對應參數取值范圍
試題解析：解：圓M的標準方程為，
所以圓心M(6，7)，半徑為5,.
（1）由圓心在直線x=6上，可設.因為N與x軸相切，與圓M外切，
所以，于是圓N的半徑為，從而，解得.
因此，圓N的標準方程為.
(3)設
因為,所以 ……①
因為點Q在圓M上，所以 …….②
將①代入②，得.
于是點既在圓M上，又在圓上，
從而圓與圓有公共點，
所以 解得.
因此，實數t的取值范圍是.
考點：直線方程、圓的方程、直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關系、平面向量的運算
【名師點睛】直線與圓中三個定理：切線的性質定理，切線長定理，垂徑定理；兩個公式：點到直線距離公式及弦長公式，其核心都是轉化到與圓心、半徑關系上，這是解決直線與圓的根本思路.對于多元問題，也可先確定主元，如本題以為主元，揭示在兩個圓上運動，從而轉化為兩個圓有交點這一位置關系，這也是解決直線與圓問題的一個思路，即將問題轉化為直線與圓、圓與圓位置關系.
三年高考（2014-2016）數學（理）真題分項版解析—— 專題08 直線與圓
