新版高考數(shù)學(xué)三輪講練測核心熱點(diǎn)總動員新課標(biāo)版 專題20 以橢圓和拋物線為背景的解析幾何大題 Word版含解析

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1、 1

2、 1 【名師精講指南篇】 【高考真題再現(xiàn)】 1.【20xx新課標(biāo)全國】已知圓M：(x＋1)2＋y2=1，圓N：(x－1)2＋y2=9，動圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線 C （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長時(shí)，求|AB|. 若直線l不垂直于x軸，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q，則，解得，故

3、直線l：；有l(wèi)與圓M相切得，解得；當(dāng)時(shí)，直線，聯(lián)立直線與橢圓的方程解得；同理，當(dāng)時(shí)，. 2. 【20xx高考全國1理】已知點(diǎn)A,橢圓E:的離心率為；F是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn) （I）求E的方程； （II）設(shè)過點(diǎn)A的動直線與E 相交于P,Q兩點(diǎn).當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的直線方程. 【解析】（I）設(shè)右焦點(diǎn)，由條件知，，得． 又，所以，．故橢圓的方程為． 3.【20xx全國I理20】在直角坐標(biāo)系中，曲線與直線 交于，兩點(diǎn). （1）當(dāng)時(shí)，分別求在點(diǎn)和處的切線方程； （2）軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)變動時(shí)，總有？說明理由. 解析 （1）由題意知，時(shí)，聯(lián)立，解得，

4、． 又，在點(diǎn)處，切線方程為，即， 在點(diǎn)處，，切線方程為，即． 故所求切線方程為和． （2）存在符合題意的點(diǎn)，證明如下： 設(shè)點(diǎn)為符合題意的點(diǎn)，，，直線，的斜率分別為，．聯(lián)立方程，得，故，， 從而． 當(dāng)時(shí)，有，則直線與直線的傾斜角互補(bǔ)， 故，所以點(diǎn)符合題意． 4.【20xx全國II理20】已知橢圓，直線不過原點(diǎn)且不平行 于坐標(biāo)軸，與有兩個交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為. （1）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值； （2） 若過點(diǎn),延長線段與交于點(diǎn)，四邊形能否平行四邊行？若能，求此時(shí)的斜率，若不能，說明理由. （2）不妨設(shè)四邊形能為平行四邊形． 因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以不過原點(diǎn)且與有兩個

5、交點(diǎn)的充要條件是，且． 由(1)得的方程為．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．由 【熱點(diǎn)深度剖析】 1.圓錐曲線的解答題新課標(biāo)的要求理科一般以橢圓或拋物線為背景，而文科一般以橢圓為背景進(jìn)行綜合考查，由于雙曲線的弱化，故以雙曲線為背景的解析幾何解答題不在考慮.在20xx年高考文理同一道題，以拋物線與圓結(jié)合進(jìn)行考查，主要考查拋物線、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法以及直線與拋物線、圓的位置關(guān)系，突出解析幾何的基本思想和方法的考查：如數(shù)形結(jié)合思想、坐標(biāo)化方法等. 20xx年高考文理同一道題，以橢圓與圓結(jié)合進(jìn)行考查，主要考查橢圓的定義、弦長公式、直線的方程，考查學(xué)生的運(yùn)算能力、化簡能力以及數(shù)形結(jié)合的能力. 在20xx年文科

6、考查了圓的方程，理科高考試題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，弦長公式，函數(shù)的最值，直線的方程，基本不等式等，考查學(xué)生的運(yùn)算能力、化簡能力以及數(shù)形結(jié)合的能力.20xx年考查了定點(diǎn)定植問題。從近幾年高考來看，圓錐曲線的解答題中主要是以橢圓，拋物線為基本依托，考查橢圓，拋物線方程的求解、考查直線與曲線的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想等數(shù)學(xué)思想方法，這道解答題往往是試卷的壓軸題之一．從近幾年高考來看，計(jì)算量都不是太大，說明文理難度都在降低，特別是計(jì)算量不大，但要求的邏輯思維能力，數(shù)形結(jié)合的能力與往年差不多，體現(xiàn)高考重能力，輕運(yùn)算．由于圓錐曲線與方程是傳統(tǒng)的

7、高中數(shù)學(xué)主干知識，在高考命題上已經(jīng)比較成熟，考查的形式和試題的難度、類型已經(jīng)較為穩(wěn)定，預(yù)測20xx年高考很有可能以橢圓，拋物線為背景，考查探索性命題及最值問題，文科也有可能以圓為背景命題，也有可能繼續(xù)保持題型不變，考查細(xì)節(jié)上有所變化. 2.從近幾年高考來看，求曲線的軌跡方程是高考的?？碱}型，主要以解答題的形式出現(xiàn)，考查軌跡方程的求法以及利用曲線的軌跡方程研究曲線的幾何性質(zhì)，一般用直接法、待定系數(shù)法、相關(guān)點(diǎn)代入法等求曲線的軌跡方程，其關(guān)鍵是找到與任意點(diǎn)有關(guān)的等量關(guān)系．軌跡問題的考查往往與函數(shù)、方程、向量、平面幾何等知識相融合，著重考查分析問題、解決問題的能力，對邏輯思維能力、運(yùn)算能力也有一定的

8、要求．預(yù)測20xx年高考仍將以求曲線的方程為主要考點(diǎn)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力與邏輯推理能力． 【重點(diǎn)知識整合】 1.橢圓的第一定義：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)的距離之和等于定長（）的點(diǎn)的軌跡. 注意：橢圓中，與兩個定點(diǎn)F，F(xiàn)的距離的和等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要大于，當(dāng)常數(shù)等于時(shí)，軌跡是線段FF，當(dāng)常數(shù)小于時(shí)，無軌跡. 2．直線和橢圓的位置關(guān)系 （1）位置關(guān)系判斷： 直線與橢圓方程聯(lián)立方程組，消掉y，得到的形式（這里的系數(shù)A一定不為0），設(shè)其判別式為， （1）相交：直線與橢圓相交； （2）相切：直線與橢圓相切； （3）相離：直線與橢圓相離； (2弦長公式： （1）若直線與圓錐曲線相

9、交于兩點(diǎn)A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則＝，若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則＝，若弦AB所在直線方程設(shè)為，則＝. （2）焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦的弦長的計(jì)算，一般不用弦長公式計(jì)算，而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解.橢圓左焦點(diǎn)弦,右焦點(diǎn)弦.其中最短的為通徑：,最長為； （3）橢圓的中點(diǎn)弦問題：遇到中點(diǎn)弦問題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解.在橢圓中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率. 3.與焦點(diǎn)三角形相關(guān)的結(jié)論 橢圓上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角，通常叫做焦點(diǎn)三角形.一般與焦點(diǎn)三角形的相關(guān)問題常利用橢圓的第一定義和正弦、余弦定理求解.設(shè)橢圓上的一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為，焦點(diǎn)的

10、面積為，設(shè),則在橢圓中，有以下結(jié)論： (1)＝，且當(dāng)即為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大為＝； （2）；焦點(diǎn)三角形的周長為； (3)，當(dāng)即為短軸端點(diǎn)時(shí)，的最大值為； 4.直線和拋物線的位置關(guān)系 （1）位置關(guān)系判斷：直線與雙曲線方程聯(lián)立方程組，消掉y，得到 的形式，當(dāng)，直線和拋物線相交，且與拋物線的對稱軸并行，此時(shí)與拋物線只有一個交點(diǎn)，當(dāng)設(shè)其判別式為， ①相交：直線與拋物線有兩個交點(diǎn)；②相切：直線與拋物線有一個交點(diǎn)； ③相離：直線與拋物線沒有交點(diǎn). 注意：過拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點(diǎn)：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線. （2）焦點(diǎn)弦：若拋物線的焦點(diǎn)弦為AB,，則有,

11、. （3） 在拋物線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率. （4）若OA、OB是過拋物線頂點(diǎn)O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經(jīng)過定點(diǎn),反之亦成立. 5.求曲線(圖形)方程的方法及其具體步驟如下： 步 驟 含 義 說 明 1、“建”：建立坐標(biāo)系；“設(shè)”：設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo). 建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo). (1) 所研究的問題已給出坐標(biāo)系，即可直接設(shè)點(diǎn). (2) 沒有給出坐標(biāo)系，首先要選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系. 2、現(xiàn)(限)：由限制條件，列出幾何等式. 寫出適合條件P的點(diǎn)M的集合P={M|P(M)} 這是求曲線方程的重要一步，應(yīng)仔細(xì)

12、分析題意，使寫出的條件簡明正確. 3、“代”：代換 用坐標(biāo)法表示條件P(M)，列出方程f(x,y)=0 常常用到一些公式. 4、“化”：化簡 化方程f(x,y)=0為最簡形式. 要注意同解變形. 5、證明 證明化簡以后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn). 化簡的過程若是方程的同解變形，可以不要證明，變形過程中產(chǎn)生不增根或失根，應(yīng)在所得方程中刪去或補(bǔ)上(即要注意方程變量的取值范圍). 注意：這五個步驟(不包括證明)可濃縮為五字“口訣”：建設(shè)現(xiàn)(限)代化. 【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】 1.直線與橢圓的位置關(guān)系 在直線與橢圓的位置關(guān)系問題中，一類是直線和橢圓關(guān)系的判斷，利用判別式法.

13、另一類常與“弦”相關(guān)：“平行弦”問題的關(guān)鍵是“斜率”、“中點(diǎn)弦”問題關(guān)鍵是“韋達(dá)定理”或“小小直角三角形”或“點(diǎn)差法”、“長度（弦長）”問題關(guān)鍵是長度（弦長）公式.在求解弦長問題中，要注意直線是否過焦點(diǎn)，如果過焦點(diǎn)，一般可采用焦半徑公式求解；如果不過，就用一般方法求解.要注意利用橢圓自身的范圍來確定自變量的范圍，涉及二次方程時(shí)一定要注意判別式的限制條件. 2.如何利用拋物線的定義解題 （1）求軌跡問題：主要抓住到定點(diǎn)的距離和到定直線距離的幾何特征，并驗(yàn)證其滿足拋物線的定義，然后直接利用定義便可確定拋物線的方程； （2）求最值問題：主要把握兩個轉(zhuǎn)化：一是把拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離可以轉(zhuǎn)化為

14、到準(zhǔn)線的距離；二是把點(diǎn)到拋物線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離.在解題時(shí)要準(zhǔn)確把握題設(shè)的條件，進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)化，探求最值問題. 3.求曲線方程的常見方法： (1)直接法：直接法是將動點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動點(diǎn)軌跡方程 (2)定義法：若動點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求 (3)相關(guān)點(diǎn)法：即利用動點(diǎn)是定曲線上的動點(diǎn)，另一動點(diǎn)依賴于它，那么可尋求它們坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后代入定曲線的方程進(jìn)行求解根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動點(diǎn)的軌跡方程 (4)參數(shù)法：若動點(diǎn)的坐標(biāo)()中的分別隨另一變量的變化而變

15、化，我們可以以這個變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程.根據(jù)題中給定的軌跡條件，用一個參數(shù)來分別動點(diǎn)的坐標(biāo)，間接地把坐標(biāo)聯(lián)系起來，得到用參數(shù)表示的方程.如果消去參數(shù)，就可以得到軌跡的普通方程. 注意：(1)求曲線的軌跡與求曲線的軌跡方程的區(qū)別：求曲線的軌跡是在求出曲線軌跡方程后，再進(jìn)一步說明軌跡是什么樣的曲線.(2)求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念. 4.解析幾何解題的基本方法 解決圓錐曲線綜合題，關(guān)鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形與幾何性質(zhì)，注意挖掘知識的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律，通過對知識的重新組合，以達(dá)到鞏固知識、提高能

16、力的目的.綜合題中常常離不開直線與圓錐曲線的位置，因此，要樹立將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，應(yīng)用判別式、韋達(dá)定理的意識.解析幾何應(yīng)用問題的解題關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，合理建立曲線模型，然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)問題作出定量或定性的分析與判斷.常用的方法：數(shù)形結(jié)合法，以形助數(shù)，用數(shù)定形. 在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合(如角平分線的雙重身份――對稱性、利用到角公式)、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等. 5.避免繁復(fù)運(yùn)算的基本方法 可以概括為：回避，選擇，尋求.所謂回避，就是根據(jù)題設(shè)的

17、幾何特征，靈活運(yùn)用曲線的有關(guān)定義、性質(zhì)等，從而避免化簡方程、求交點(diǎn)、解方程等繁復(fù)的運(yùn)算.所謂選擇，就是選擇合適的公式，合適的參變量，合適的坐標(biāo)系等，一般以直接性和間接性為基本原則.因?yàn)閷ζ胀ǚ匠踢\(yùn)算復(fù)雜的問題，用參數(shù)方程可能會簡單；在某一直角坐標(biāo)系下運(yùn)算復(fù)雜的問題，通過移軸可能會簡單；在直角坐標(biāo)系下運(yùn)算復(fù)雜的問題，在極坐標(biāo)系下可能會簡單“所謂尋求”. 6. 解析幾何與向量綜合時(shí)可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容： （1）給出直線的方向向量或； （2）給出與相交,等于已知過的中點(diǎn); （3）給出,等于已知是的中點(diǎn); （4）給出,等于已知與的中點(diǎn)三點(diǎn)共線; （5） 給出以下情形之一：①；②存在實(shí)數(shù)；③若

18、存在實(shí)數(shù),等于已知三點(diǎn)共線； （6） 給出，等于已知是的定比分點(diǎn)，為定比，即； （7） 給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角； （8）給出,等于已知是的平分線； （9）在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形; （10）在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形; （11）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)）； （12）在中，給出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)）； （13）在中，給出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點(diǎn)）； （14）在中，給出等于已知通過的內(nèi)

19、心； （15）在中，給出等于已知是的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)）； （16）在中，給出,等于已知是中邊的中線. 7.定點(diǎn)、定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個點(diǎn)、一個值，就是要求的定點(diǎn)、定值．化解這類問題難點(diǎn)的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量． 8．解決圓錐曲線中最值、范圍問題的基本思想是建立目標(biāo)函數(shù)和建立不等關(guān)系，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和不等式求最值、范圍，因此這類問

20、題的難點(diǎn)，就是如何建立目標(biāo)函數(shù)和不等關(guān)系．建立目標(biāo)函數(shù)或不等關(guān)系的關(guān)鍵是選用一個合適變量，其原則是這個變量能夠表達(dá)要解決的問題，這個變量可以是直線的斜率、直線的截距、點(diǎn)的坐標(biāo)等，要根據(jù)問題的實(shí)際情況靈活處理. 【考場經(jīng)驗(yàn)分享】 １．判斷兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的方法為比較標(biāo)準(zhǔn)形式中與的分母大小，若的分母比的分母大，則焦點(diǎn)在x軸上，若的分母比的分母小，則焦點(diǎn)在y軸上． ２．注意橢圓的范圍，在設(shè)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，則，這往往在求與點(diǎn)有關(guān)的最值問題中特別有用，也是容易忽略導(dǎo)致求最值錯誤的原因． ３．注意橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)范圍，特別是把橢圓上某一點(diǎn)坐標(biāo)視為某一函數(shù)問題求解，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最值有重要意義．

21、 4．直線和拋物線若有一個公共點(diǎn)，并不能說明直線和拋物線相切，還有可能直線與拋物線的對稱軸平行． 5．在求得軌跡方程之后，要深入地思考一下：(1)是否還遺漏了一些點(diǎn)？是否還有另一個滿足條件的軌跡方程存在？(2)在所求得的軌跡方程中，x，y的取值范圍是否有什么限制？確保軌跡上的點(diǎn)“不多不少”． 6.作為解答題的倒數(shù)第二個，試題的難度較大，也體現(xiàn)在計(jì)算量上尤為明顯，學(xué)生在解題時(shí)往往會思路，但計(jì)算往往不對，對此，建議如下：第一問保證準(zhǔn)確，如軌跡方程，曲線方程，或者幾何性質(zhì)等，因?yàn)榈诙柾缘谝粏枮榛A(chǔ)，故第一問要舍得花時(shí)間去驗(yàn)證一下；對于第二問，往往就是曲線與直線聯(lián)立，建立方程組，利用判別式，

22、韋達(dá)定理等這些都已經(jīng)成立的模式，建立關(guān)系式，即使思路無法進(jìn)行，也要準(zhǔn)確的放在卷面上，一般它們都要占到部分分?jǐn)?shù)；如果涉及到直線方程的探索，特別注意斜率不存在的情況，有時(shí)一些定值定點(diǎn)問題，可以通過這種特殊情況直接得到. 【名題精選練兵篇】 1．【20xx屆陜西省西北工大附中高三第四次適應(yīng)性考試】已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)． （1）若是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，，求點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍． 2．【20xx屆河南省洛陽市一中高三下學(xué)期第二次模擬】已知兩動圓和，把它們的公共點(diǎn)的軌跡記為曲線，若曲線與軸的

23、正半軸的交點(diǎn)為，且曲線上的相異兩點(diǎn)滿足：． （1）求曲線的方程；（2）證明直線恒經(jīng)過一定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo)； （3）求面積的最大值． 【解析】（1）設(shè)兩動圓的公共點(diǎn)為Q，則有．由橢圓的定義可知的軌跡為橢圓，．所以曲線的方程是：． （2）證法一：由題意可知：，設(shè)，， 當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，易知滿足條件的直線為：過定點(diǎn) 當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)直線：，聯(lián)立方程組： ，把②代入①有： ③，④， 證法二：（先猜后證）由題意可知：，設(shè)，， 如果直線恒經(jīng)過一定點(diǎn)，由橢圓的對稱性可猜測此定點(diǎn)在軸上，設(shè)為； 取特殊直線，則直線的方程為， 解方程組得點(diǎn)，同理得點(diǎn)， 此時(shí)直線恒經(jīng)過軸上的點(diǎn)

24、 下邊證明點(diǎn)滿足條件 當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，直線方程為：， 點(diǎn)的坐標(biāo)為，滿足條件； 當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)直線：，聯(lián)立方程組： ，把②代入①得： ③，④， 所以 （3）面積＝＝ 由第（2）小題的③④代入，整理得： 因在橢圓內(nèi)部，所以，可設(shè)， ，（時(shí)取到最大值）．所以面積的最大值為． 3．【20xx屆湖北省沙市中學(xué)高三下第三次半月考】已知拋物線上點(diǎn)處的切線方程為． （Ⅰ）求拋物線的方程； （Ⅱ）設(shè)和為拋物線上的兩個動點(diǎn)，其中且，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求面積的最大值． 得， ， 設(shè)到的距離， ， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，的最大值為8. 4．【20xx

25、屆河北省邯鄲一中高三下第一次模擬】已知兩點(diǎn)，直線、相交于點(diǎn)，且這兩條直線的斜率之積為． （1）求點(diǎn)的軌跡方程； （2）記點(diǎn)的軌跡為曲線，曲線上在第一象限的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，直線、與圓相切于點(diǎn)、，又、與曲線的另一交點(diǎn)分別為，，求的面積的最大值（其中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）． 故直線的斜率為 把直線的方程代入橢圓方程，消去整理得，所以 原點(diǎn)到直線的距離為 5．【20xx屆江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別是，，右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為，，原點(diǎn)到直線的距離等于﹒ （1）若橢圓的離心率等于，求橢圓的方程； （2）若過點(diǎn)的直線與橢圓有且只有一個

26、公共點(diǎn)，且在第二象限，直線交軸于點(diǎn)﹒試判斷以為直徑的圓與點(diǎn)的位置關(guān)系，并說明理由﹒ （2）點(diǎn)在以為直徑的圓上﹒ 由題設(shè)，直線與橢圓相切且的斜率存在，設(shè)直線的方程為：， 由，得，（*） 則， 化簡，得，所以， ， ∵點(diǎn)在第二象限，∴﹒ 把代入方程（*） ，得， 解得，從而，所以 6．【20xx屆陜西省西安一中等八校高三下聯(lián)考】已知橢圓的離心率為，、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過作直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若的周長為8. （1）求橢圓方程； （2）若直線的斜率不為0，且它的中垂線與軸交于，求的縱坐標(biāo)的范圍； （3）是否在軸上存在點(diǎn)，使得軸平分?若存在，求出的值；若不存在，

27、請說明理由. 【解析】（1）依題意得，解得，所以方程為. （3）存在. 假設(shè)存在，由軸平分可得， 即， 有 將式代入有，解得. 7．【20xx屆遼寧省沈陽東北育才學(xué)校高三上二?！恳阎狝為橢圓上的一個動點(diǎn)，弦AB、AC分別過焦點(diǎn)F1、F2，當(dāng)AC垂直于x軸時(shí)，恰好有. （Ⅰ）求橢圓離心率； （Ⅱ）設(shè),試判斷是否為定值？若是定值，求出該定值并證明；若不是定值，請說明理由. 【解析】（Ⅰ）當(dāng)AC垂直于x軸時(shí)，，，∴ ∴，∴，∴，故. 8．【20xx屆四川省成都市七中高三考試】已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，，以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn). （1）求橢圓的方程； （2）過

28、點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，記直線的斜率分別為，問：是否為定值？并證明你的結(jié)論. ②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為. 將代入整理化簡，得. 依題意，直線與橢圓必相交于兩點(diǎn)，設(shè)， 則，，又， 所以 綜上得為定值2. 9. 【江西省九江市20xx年第一次高考模擬】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，、是橢圓的左、右頂點(diǎn)，是橢圓上異于、的動點(diǎn)，且面積的最大值為． （1）求橢圓的方程； （2）是否存在一定點(diǎn)（），使得當(dāng)過點(diǎn)的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)時(shí)，為定值？若存在，求出定點(diǎn)和定值；若不存在，請說明理由. 【解析】（1）設(shè)橢圓的方程為()，由已知可得①，∵為橢圓右焦點(diǎn)

29、，∴②，……2分 由①②可得，， 橢圓的方程為； 10. 【江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市20xx屆高三教學(xué)情況調(diào)研（一）】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)，過橢圓的左頂點(diǎn)A作直線軸，點(diǎn)M為直線上的動點(diǎn)，點(diǎn)B為橢圓右頂點(diǎn)，直線BM交橢圓C于P． （1）求橢圓C的方程； （2）求證：； （3）試問是否為定值？若是定值，請求出該定值；若不是定值，請說明理由． 11. 【湖北省黃岡市20xx屆高三上學(xué)期元月調(diào)考】已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，以為焦點(diǎn)的橢圓，過點(diǎn) （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）設(shè)，過點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，若，求的最小值. 【解

30、析】（Ⅰ）易知，橢圓方程為； （Ⅱ）由題意可設(shè)，由，設(shè)，將得，由得，，，，，，令，的最小值是. 12．【廣東省廣州市20xx屆高三1月模擬】已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．圓. （1）求橢圓的方程； （2）若直線與橢圓C有且只有一個公共點(diǎn)，且與圓相交于兩點(diǎn)， 問是否成立？請說明理由． 而,化簡得．① ，.∴ 點(diǎn)的坐標(biāo)為. 由于，結(jié)合①式知，∴. ∴ 與不垂直. ∴ 點(diǎn)不是線段的中點(diǎn). ∴不成立. 13 ．【廣東省潮州市20xx-20xx學(xué)年第一學(xué)期高三期末】已知橢圓（）經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，動點(diǎn)（）． 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； 求以（為坐標(biāo)原

31、點(diǎn)）為直徑且被直線截得的弦長為的圓的方程； 設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線與以為直徑的圓交于點(diǎn)，證明線段的長為定值，并求出這個定值． 【解析】（1）由題意得 ①， 因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以 ②， 又 ③， 由①②③解得，．所以橢圓的方程為． （3）方法一：過點(diǎn)作的垂線，垂足設(shè)為．直線的方程為，直線的方程為．由，解得，故．；．又.．所以線段的長為定值． 方法二：設(shè)，則，，，． ，． ．又，． ．為定值． 14．【珠海市20xx-20xx學(xué)年度第一學(xué)期期末】已知拋物線，圓． (1)在拋物線上取點(diǎn)，的圓周上取一點(diǎn)，求的最小值； (2)設(shè)為拋物線上的動點(diǎn)，過作圓的

32、兩條切線，交拋物線于、點(diǎn)，求中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍． (2)． 由題設(shè)知，切線與軸不垂直， ，設(shè)切線，設(shè)，中點(diǎn)，則，將與的方程聯(lián)立消得，即得（舍）或，設(shè)二切線的斜率為，則，，，又到的距離為1，有，兩邊平方得 ，則是的二根，則，則，，在上為增函數(shù)， ，的范圍是. 15. 【20xx年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩焦點(diǎn)分別為雙曲線的頂點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是橢圓上異于點(diǎn),的任意一點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，且，，三點(diǎn)不共線. （1）求橢圓的方程； （2）求點(diǎn)的軌跡方程； （3）求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo). （2）解法1：設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，由及

33、橢圓關(guān)于原點(diǎn)對稱可得，∴，，，.由 , 得，即. ①；同理, 由, 得 . ② ；①②得 . ③； 由于點(diǎn)在橢圓上, 則，得,代入③式得 . 當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)，則點(diǎn)或,此時(shí)點(diǎn)對應(yīng)的坐標(biāo)分別為或 ，其坐標(biāo)也滿足方程. 當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，即點(diǎn)，由②得 ，解方程組 得點(diǎn)的坐標(biāo)為或.同理, 當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為或.∴點(diǎn)的軌跡方程為 , 除去四個點(diǎn),, ,. (3) 解法１：點(diǎn)到直線的距離為.△的面積為， . 而（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立），∴.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 等號成立.由解得或 ∴△的面積最大值為, 此時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為或. 16. 【山東省青島市20xx屆高三上

34、學(xué)期期末】已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離為4；橢圓的離心率，且過拋物線的焦點(diǎn)F. （I）求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （II）過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩不同點(diǎn)，交軸于點(diǎn)N，已知，求證：為定值. （III）直線交橢圓于P，Q兩不同點(diǎn)，P，Q在x軸的射影分別為，， ，若點(diǎn)S滿足：，證明：點(diǎn)S在橢圓上. 【解析】（Ⅰ）拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為；拋物線的準(zhǔn)線為，拋物線上點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，所以,所以，拋物線的方程為，橢圓的離心率,且過拋物線的焦點(diǎn)，所以，,解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為； (Ⅲ)設(shè)，所以,則，由得(1) ,(2) (3) (1)

35、+(2)+(3)得: ，即滿足橢圓的方程命題得證 【名師原創(chuàng)測試篇】 1．已知圓： 及點(diǎn)，為圓上一動點(diǎn)，在同一坐標(biāo)平面內(nèi)的動點(diǎn)Ｍ滿足：． （Ⅰ）求動點(diǎn)的軌跡 的方程； （Ⅱ）設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍． （Ⅲ）設(shè)是它的兩個頂點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，與橢圓相交于兩點(diǎn)．求四邊形面積的最大值 【解析】（Ⅰ）又已知，圓，則半徑為4，由，則 三點(diǎn)共線，且，則 ，故動點(diǎn)的軌跡是以為左、右焦點(diǎn)的橢圓，且，所以，動點(diǎn)的軌跡方程為. （Ⅲ）解法一：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和①式知，點(diǎn)到的距離分別為，． 又，所以四邊形的面積為=， 當(dāng)，即

36、當(dāng)時(shí)，上式取等號．所以的最大值為． 解法二：由題設(shè)，，．設(shè)，，由①得，， 故四邊形的面積為，當(dāng)時(shí)，上式取等號．所以的最大值為． 2. 已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為． （I）求拋物線的和直線的方程； （II）若過且互相垂直的直線分別與拋物線交于求四邊形面積的最小值． （II）設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立消去，整理得 由弦長公式得，同理可得，，所以四邊形面積 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，四邊形面積取最小值． 3. 已知橢圓:,經(jīng)過點(diǎn)且離心率為. (1)求橢圓的方程; (2)不經(jīng)過原點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),若直線的斜率依次成等比數(shù)列,求直線的

37、斜率. 【解析】(1)因?yàn)闄E圓的離心率為,所以,又因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn),所以,則,故橢圓的方程為； 4. 橢圓（）過點(diǎn)，且離心率． （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）設(shè)動直線與橢圓相切于點(diǎn)且交直線于點(diǎn)，求橢圓的兩焦點(diǎn)、到切線的距離之積； （Ⅲ）在（II）的條件下，求證：以為直徑的圓恒過點(diǎn)． 【解析】（I）由題意得，解得：，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為； （II）由，消去，得：， 即，動直線與橢圓相切于點(diǎn)，，即，焦點(diǎn) 到直線的距離分別為 ，， (III) 設(shè)直線與橢圓E相切于點(diǎn)P，則，∴ =-，∴ ，又聯(lián)立與，得到，,，，∴，∴以PN為直徑的圓恒過點(diǎn). 5. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，

38、A，B 是圓 O：與 x 軸的兩個交點(diǎn)（點(diǎn) B 在點(diǎn) A 右側(cè)），點(diǎn) Q(-2，0)， x 軸上方的動點(diǎn) P 使直線 PA，PQ，PB 的斜率存在且依次成等差數(shù)列． (I) 求證：動點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為定值； （II）設(shè)直線 PA，PB 與圓 O 的另一個交點(diǎn)分別為 S，T，求證：點(diǎn) Q，S，T 三點(diǎn)共線． 因?yàn)?，所以直線 QS 和直線 QT 的斜率相等，故點(diǎn) S，T，Q 共線． 6. 已知中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓的一個焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，且橢圓過點(diǎn)，直線與橢圓交于兩個不同點(diǎn). （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）若直線的斜率為，且不過點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，求證：為定值； （Ⅲ）若直線過點(diǎn)，為橢圓的另一個焦點(diǎn)，求面積的最大值． （Ⅲ）由（Ⅰ）知，.設(shè)，，過點(diǎn)的直線方程為.由