新編高三文科數(shù)學(xué)通用版二輪復(fù)習(xí)：第1部分 專題3 突破點(diǎn)7　用樣本估計(jì)總體 Word版含解析

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1、 突破點(diǎn)7　用樣本估計(jì)總體 提煉1　頻率分布直方圖　(1)頻率分布直方圖中橫坐標(biāo)表示組距，縱坐標(biāo)表示，頻率＝組距×. (2)頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積之和為1. (3)利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)，在頻率分布直方圖中： ①最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)； ②中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的； ③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和． 提煉2　莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)　(1)所有的信息都可以從莖葉圖中得到． (2)可以幫助分析樣本數(shù)據(jù)的大致頻率分布情況． 提煉3　

2、樣本的數(shù)字特征　(1)眾數(shù)、中位數(shù)． (2)樣本平均數(shù)＝(x1＋x2＋…＋xn)． (3)樣本方差s2＝(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． (4)樣本標(biāo)準(zhǔn)差 s＝. 回訪　用樣本估計(jì)總體 1．(20xx·全國(guó)乙卷)某公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買(mǎi)這種零件作為備件，每個(gè)200元．在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買(mǎi)，則每個(gè)500元．現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖： 圖 記x表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易

3、損零件數(shù)，y表示1臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元)，n表示購(gòu)機(jī)的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù)． (1)若n＝19，求y與x的函數(shù)解析式； (2)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5，求n的最小值； (3)假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買(mǎi)19個(gè)易損零件，或每臺(tái)都購(gòu)買(mǎi)20個(gè)易損零件，分別計(jì)算這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買(mǎi)19個(gè)還是20個(gè)易損零件？ 解]　(1)當(dāng)x≤19時(shí)，y＝3 800； 當(dāng)x>19時(shí)，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700， 所以y與x的函數(shù)解析式為 y＝(

4、x∈N).4分 (2)由柱狀圖知，需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0.46，不大于19的頻率為0.7，故n的最小值為19.6分 (3)若每臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)同時(shí)都購(gòu)買(mǎi)19個(gè)易損零件，則這100臺(tái)機(jī)器中有70臺(tái)在購(gòu)買(mǎi)易損零件上的費(fèi)用為3 800，20臺(tái)的費(fèi)用為4 300,10臺(tái)的費(fèi)用為4 800，因此這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000.8分 若每臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)同時(shí)都購(gòu)買(mǎi)20個(gè)易損零件，則這100臺(tái)機(jī)器中有90臺(tái)在購(gòu)買(mǎi)易損零件上的費(fèi)用為4 000，10臺(tái)的費(fèi)用為4 500，因此這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需費(fèi)用的平

5、均數(shù)為(4 000×90＋4 500×10)＝4 050. 10分 比較兩個(gè)平均數(shù)可知，購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買(mǎi)19個(gè)易損零件.12分 2．(20xx·全國(guó)卷Ⅰ)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表： 質(zhì)量指標(biāo)值分組 75,85) 85,95) 95,105) 105,115) 115,125) 頻數(shù) 6 26 38 22 8 (1)在下表中作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖； (2)估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)； (3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企

6、業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定？ 解]　(1) 4分 (2)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.6分 質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104. 所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)的估計(jì)值為100，方差的估計(jì)值為104.8分 (3)質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計(jì)值為0.38＋0.22＋0.08＝0.68.10分 由于該估計(jì)值小于0.8，故不能認(rèn)為該企

7、業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定.12分 3．(20xx·全國(guó)卷Ⅰ)為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥，B藥)的療效，隨機(jī)地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者在服用一段時(shí)間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r(shí)間(單位：h)．試驗(yàn)的觀測(cè)結(jié)果如下： 服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間： 0．6　1.2　2.7　1.5　2.8　1.8　2.2　2.3　3.2 3．5　2.5　2.6　1.2　2.7　1.5　2.9　3.0　3.1 2．3　2.4 服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間： 3．2　1.7　1.9　

8、0.8　0.9　2.4　1.2　2.6　1.3 1．4　1.6　0.5　1.8　0.6　2.1　1.1　2.5　1.2 2．7　0.5 (1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計(jì)算結(jié)果看，哪種藥的療效更好？ (2)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？ 圖 解]　(1)設(shè)A藥觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，B藥觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為. 由觀測(cè)結(jié)果可得 ＝(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，2分 ＝(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1

9、.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.4分 由以上計(jì)算結(jié)果可得＞，因此可看出A藥的療效更好.6分 (2)由觀測(cè)結(jié)果可繪制莖葉圖如圖： 9分 從以上莖葉圖可以看出，A藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有的葉集中在莖“2.”，“3.”上，而B(niǎo)藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有的葉集中在莖“0.”，“1.”上，由此可看出A藥的療效更好.12分 熱點(diǎn)題型1　頻率分布直方圖 題型分析：頻率分布直方圖多以生活中的實(shí)際問(wèn)題為背景，考查學(xué)生運(yùn)用已知數(shù)據(jù)分析問(wèn)題的能力，難度中等． 　(20xx·合肥三模)某高中為了解全校學(xué)生每周參與體育運(yùn)

10、動(dòng)的情況，隨機(jī)從全校學(xué)生中抽取100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們每周參與體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間如下： 每周參與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間(單位：小時(shí)) 0,4) 4,8) 8,12) 12,16) 16,20] 頻數(shù) 24 40 28 6 2 (1)作出樣本的頻率分布直方圖； (2)①估計(jì)該校學(xué)生每周參與體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間的中位數(shù)及平均數(shù)； ②若該校有學(xué)生3 000人，根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，估計(jì)該校學(xué)生每周參與體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不低于8小時(shí)的人數(shù)． 解]　(1)頻率分布直方圖如圖所示： (2)①由數(shù)據(jù)估計(jì)中位數(shù)為4＋×4＝6.6，8分 估計(jì)平均數(shù)為2×0.24＋6×0.4＋10×0.28＋14×0

11、.06＋18×0.02＝6.88.10分 ②將頻率看作概率知P(t≥8)＝0.36， ∴3 000×0.36＝1 080.12分 解決該類問(wèn)題的關(guān)鍵是正確理解已知數(shù)據(jù)的含義．掌握?qǐng)D表中各個(gè)量的意義，通過(guò)圖表對(duì)已知數(shù)據(jù)進(jìn)行分析． 提醒：(1)小長(zhǎng)方形的面積表示頻率，其縱軸是，而不是頻率． (2)各組數(shù)據(jù)頻率之比等于對(duì)應(yīng)小長(zhǎng)方形的高度之比． 變式訓(xùn)練1] 某電子商務(wù)公司隨機(jī)抽取1 000名網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者進(jìn)行調(diào)查．這1 000名購(gòu)物者網(wǎng)上購(gòu)物金額(單位：萬(wàn)元)均在區(qū)間0.3,0.9]內(nèi)，樣本分組為：0.3,0.4)，0.4，0.5)，0.5,0.6)，0.6,0.7)，0.7,0.8)，

12、0.8,0.9]，購(gòu)物金額的頻率分布直方圖如下： 圖7-3 電子商務(wù)公司決定給購(gòu)物者發(fā)放優(yōu)惠券，其金額(單位：元)與購(gòu)物金額關(guān)系如下： 購(gòu)物金額分組 0.3,0.5) 0.5,0.6) 0.6,0.8) 0.8,0.9] 發(fā)放金額 50 100 150 200 (1)求這1 000名購(gòu)物者獲得優(yōu)惠券金額的平均數(shù)； (2)以這1 000名購(gòu)物者購(gòu)物金額落在相應(yīng)區(qū)間的頻率作為概率，求一個(gè)購(gòu)物者獲得優(yōu)惠券金額不少于150元的概率． 解]　(1)購(gòu)物者的購(gòu)物金額x與獲得優(yōu)惠券金額y的頻率分布如下表： x 0.3≤x<0.5 0.5≤x<0.6 0.6≤x<

13、0.8 0.8≤x≤0.9 y 50 100 150 200 頻率 0.4 0.3 0.28 0.02 這1 000名購(gòu)物者獲得優(yōu)惠券金額的平均數(shù)為： ＝96.4分 (2)由獲得優(yōu)惠券金額y與 購(gòu)物金額x的對(duì)應(yīng)關(guān)系，有 P(y＝150)＝P(0.6≤x<0.8)＝(2＋0.8)×0.1＝0.28， P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.2×0.1＝0.02，10分 從而，獲得優(yōu)惠券不少于150元的概率為 P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3.12分 熱點(diǎn)題型2　莖葉圖 題型分析：結(jié)合樣本數(shù)據(jù)和莖葉圖對(duì)

14、總體作出估計(jì)是高考命題的熱點(diǎn)，應(yīng)引起足夠的重視，難度中等． 　(20xx·福州模擬)長(zhǎng)時(shí)間用手機(jī)上網(wǎng)嚴(yán)重影響著學(xué)生的身體健康，某校為了解A，B兩班學(xué)生手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)長(zhǎng)，分別從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取5名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，將他們平均每周手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)長(zhǎng)作為樣本，繪制成莖葉圖如圖7-4所示(圖中的莖表示十位數(shù)字，葉表示個(gè)位數(shù)字)． 圖7-4 (1)分別求出圖中所給兩組樣本數(shù)據(jù)的平均值，并據(jù)此估計(jì)哪個(gè)班的學(xué)生平均上網(wǎng)時(shí)間較長(zhǎng)； (2)從A班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè)不超過(guò)19的數(shù)據(jù)記為a，從B班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)提取一個(gè)不超過(guò)21的數(shù)據(jù)記為b，求a>b的概率． 解]　(1)A班樣本數(shù)據(jù)的平均值為(9＋1

15、1＋14＋20＋31)＝17.3分 由此估計(jì)A班學(xué)生每周平均上網(wǎng)時(shí)間17小時(shí)； B班樣本數(shù)據(jù)的平均值為(11＋12＋21＋25＋26)＝19，由此估計(jì)B班學(xué)生每周平均上網(wǎng)時(shí)間較長(zhǎng).6分 (2)A班的樣本數(shù)據(jù)中不超過(guò)19的數(shù)據(jù)a有3個(gè)，分別為9,11,14，B班的樣本數(shù)據(jù)中不超過(guò)21的數(shù)據(jù)b也有3個(gè)，分別為11,12,21，從A班和B班的樣本數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取一個(gè)共有：9種不同情況，分別為(9,11)，(9,12)，(9,21)，(11,11)，(11,21)，(11,21)，(14,11)，(14,12)，(14,21)， 其中a>b的情況有(14,11)，(14,12)兩種， 故a>

16、b的概率P＝.12分 作莖葉圖時(shí)先要弄清“莖”和“葉”分別代表什么，根據(jù)莖葉圖，可以得到數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)，也可從圖中直接估計(jì)出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大小與穩(wěn)定性． 變式訓(xùn)練2]　(名師押題)某車(chē)間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表： (1)求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差； (2)以十位數(shù)為莖，個(gè)位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖； (3)求這20名工人年齡的方差． 解]　(1)由題表中的數(shù)據(jù)易知，這20名工人年齡的眾數(shù)是30，極差為40－19＝21.2分 (2)這20名工人年齡的莖葉圖如下： 6分 (3)這20名工人年齡的平均數(shù)＝(19×1＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40×1)＝30，8分 故方差s2＝1×(19－30)2＋3×(28－30)2＋3×(29－30)2＋5×(30－30)2＋4×(31－30)2＋3×(32－30)2＋1×(40－30)2]＝×(121＋12＋3＋0＋4＋12＋100)＝12.6.12分