新編理數(shù)北師大版練習：第三章 第六節(jié)　簡單的三角恒等變形 Word版含解析

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1、 課時作業(yè) A組——基礎(chǔ)對點練 1．已知cos(－2θ)＝－，則sin(＋θ)的值等于(　　) A.　　　　　　　 B．± C．－ D. 解析：因為cos(－2θ)＝cos(2θ－)＝－cos(2θ－＋π)＝－cos[2(θ＋)]＝ －，即cos[2(θ＋)]＝，所以sin2(θ＋)＝＝，所以sin(θ＋)＝±，故選B. 答案：B 2．(20xx·開封模擬)設(shè)a＝cos 6°－sin 6°，b＝，c＝ ，則(　　) A．c

2、in 24°，b＝tan 26°，c＝sin 25°， ∴a

3、 D．π，[－，] 解析：f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x＝1－cos 2x＋sin 2x＝sin(2x－)＋1，∴T＝＝π，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，令k＝0得f(x)在[，]上單調(diào)遞減，故選B. 答案：B 5．函數(shù)y＝cos 2x＋2sin x的最大值為(　　) A. B．1 C. D．2 解析：y＝cos 2x＋2sin x＝1－2sin2x＋2sin x＝－22＋，因為－1≤sin x≤1，所以當sin x＝時，函數(shù)取最大值，故ymax＝. 答案：C 6．已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋

4、b(A>0)，則A＝ ，b＝ . 解析：由于2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝sin(2x＋)＋1，所以A＝，b＝1. 答案：　1 7．化簡：＝ . 解析：＝＝＝4sin α. 答案：4sin α 8．已知函數(shù)f(x)＝(sin x＋cos x)sin x，x∈R，則f(x)的最小值是 ． 解析：f(x)＝sin2x＋sin x·cos x＝＋sin 2x＝sin＋，當sin＝－1時，f(x)min＝. 答案： 9．已知函數(shù)f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)為奇函數(shù)，且f()＝0，

5、其中a∈R，θ∈(0，π)． (1)求a，θ的值； (2)若f()＝－，α∈(，π)，求sin(α＋)的值． 解析：(1)因為f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函數(shù)，而y1＝a＋2cos2x為偶函數(shù)，所以y2＝cos(2x＋θ)為奇函數(shù)，由θ∈(0，π)，得θ＝，所以f(x)＝－sin 2x·(a＋2cos2x)， 由f()＝0得－(a＋1)＝0，即a＝－1. (2)由(1)得f(x)＝－sin 4x， 因為f()＝－sin α＝－，即sin α＝， 又α∈(，π)，從而cos α＝－， 所以sin(α＋)＝sin αcos ＋cos αsin ＝. 10．

6、已知a＝(sin x，－cos x)，b＝(cos x，cos x)，函數(shù)f(x)＝a·b＋. (1)求f(x)的最小正周期，并求其圖像對稱中心的坐標； (2)當0≤x≤時，求函數(shù)f(x)的值域． 解析：(1)因為f(x)＝sin xcos x－cos2x＋ ＝sin 2x－(cos 2x＋1)＋ ＝sin 2x－cos 2x＝sin， 所以f(x)的最小正周期為π，令sin＝0， 得2x－＝kπ，∴x＝π＋，k∈Z， 故所求對稱中心的坐標為(k∈Z)． (2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤， ∴－≤sin≤1，故f(x)的值域為. B組——能力提升練 1．(20xx·石家

7、莊質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0＜θ＜π)的圖像關(guān)于(，0)對稱，則函數(shù)f(x)在[－，]上的最小值是(　　) A．－1 B．－ C．－ D．－ 解析：f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin(2x＋θ＋)，則由題意，知f()＝2sin(π＋θ＋)＝0，又0＜θ＜π，所以θ＝，所以f(x)＝－2sin 2x，f(x)在[－，]上是減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在[－，]上的最小值為f()＝－2sin＝－，故選B. 答案：B 2．函數(shù)f(x)＝(1＋cos 2x)·sin2x(x∈R)是(　　) A．最小正周期為π的奇函數(shù) B．最小

8、正周期為的奇函數(shù) C．最小正周期為π的偶函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù) 解析： f(x)＝(1＋cos 2x)(1－cos 2x)＝(1－cos22x)＝sin22x＝(1－cos 4x)，f(－x)＝(1－cos 4x)＝f(x)，因此函數(shù)f(x)是最小正周期為的偶函數(shù)，選D. 答案：D 3．設(shè)α，β∈[0，π]，且滿足sin αcos β－cos αsin β＝1，則sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范圍為(　　) A．[－，1] B．[－1，] C．[－1,1] D．[1，] 解析：∵sin αcos β－cos αsin β＝1?sin(α－β)＝1，α，

9、β∈[0，π]，∴α－β＝， ∴?≤α≤π， ∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(α－2α＋π)＝sin α＋cos α＝sin. ∵≤α≤π，∴≤α＋≤π， ∴－1≤sin≤1， 即取值范圍是[－1,1]，故選C. 答案：C 4．已知＝k,0<θ<，則sin的值為(　　) A．隨著k的增大而增大 B．有時隨著k的增大而增大，有時隨著k的增大而減小 C．隨著k的增大而減小 D．是與k無關(guān)的常數(shù) 解析：＝＝2sin θcos θ＝sin 2θ，∵0<θ<，∴0

10、os θ)2＝1－sin 2θ，sin θ－cos θ＝－＝－，故sin＝(sin θ－cos θ)＝－，其值隨著k的增大而增大，故選A. 答案：A 5．函數(shù)f(x)＝4cos x·sin－1(x∈R)的最大值為 ． 解析：∵f(x)＝4cos xsin－1 ＝4cos x－1＝2sin xcos x＋2cos2x－1＝sin 2x＋cos 2x＝2sin， ∴f(x)max＝2. 答案：2 6．已知函數(shù)f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1的最大值為3，f(x)的圖像與y軸的交點坐標為(0,2)，其相鄰兩條對稱軸間的距離為2，則f(1)＋f(2)＋…＋f(2 0

11、16)＝ . 解析：f(x)＝cos(2ωx＋2φ)＋＋1.由相鄰兩條對稱軸間的距離為2，知＝2，得T＝4＝，∴ω＝，由f(x)的最大值為3，得A＝2.又f(x)的圖像過點(0,2)， ∴cos 2φ＝0， ∴2φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝＋(k∈Z)，又0<φ<，∴φ＝， ∴f(x)＝cos＋2＝－sin＋2.∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝(－1＋2)＋ (0＋2)＋(1＋2)＋(0＋2)＋(－1＋2)＋…＋(0＋2)＝2×2 016＝4 032. 答案：4 032 7．已知函數(shù)f(x)＝sin(3x＋)． (1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

12、(2)若α是第二象限角，f()＝cos(α＋)cos 2α，求cos α－sin α的值． 解析：(1)因為函數(shù)y＝sin x的單調(diào)遞增區(qū)間為[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z.由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z. 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－＋，＋]，k∈Z. (2)由已知，有sin(α＋)＝cos(α＋)(cos2α－sin2α)，所以sin αcos ＋cos αsin ＝(cos αcos －sin αsin )·(cos2α－sin2α)， 即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)． 當sin α＋c

13、os α＝0時，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z.此時，cos α－sin α＝－. 當sin α＋cos α≠0時，有(cos α－sin α)2＝. 由α是第二象限角，知cos α－sin α<0， 此時cos α－sin α＝－. 綜上所述，cos α－sin α＝－或－. 8．已知函數(shù)f(x)＝sin ωx－sin(ω>0)． (1)若f(x)在[0，π]上的值域為，求ω的取值范圍； (2)若f(x)在上單調(diào)，且f(0)＋f＝0，求ω的值． 解析：f(x)＝sin ωx－sin ＝sin. (1)由x∈[0，π]?ωx－∈，又f(x)在[0，π]上的值域為，即最小值為，最大值為1，則由正弦函數(shù)的圖像可知≤ωπ－≤，得≤ω≤. ∴ω的取值范圍是. (2)因為f(x)在上單調(diào)，所以≥－0，則≥，即ω≤3，又ω>0，所以0<ω≤3， 由f(0)＋f＝0且f(x)在上單調(diào)，得是f(x)圖像的對稱中心， ∴－＝kπ，k∈Z?ω＝6k＋2，k∈Z， 又0<ω≤3，所以ω＝2.