新版高三數(shù)學復習 第2篇 第3節(jié) 函數(shù)性質(zhì)的綜合應用

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2、 1 第二篇　第3節(jié) 1．(高考北京卷)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是(　　) A．y＝ B．y＝e－x C．y＝－x2＋1 D．y＝lg |x| 解析：y＝是奇函數(shù)，選項A錯；y＝e－x是指數(shù)函數(shù)，非奇非偶，選項B錯；y＝lg|x|是偶函數(shù)，但在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，選項D錯；只有選項C是偶函數(shù)且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．故選C.

3、 答案：C 2．已知周期為2的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上是增函數(shù)，則f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小關(guān)系是(　　) A．f(－6.5)

4、x∈R都有f(x＋4)－f(x)＝2f(2)，若y＝f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，且f(1)＝2，則f(20xx)等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．0 解析：由于y＝f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，所以y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，即函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)．在等式f(x＋4)－f(x)＝2f(2)中令x＝－2得f(2)－f(－2)＝2f(2)，由此可得f(2)＝0，故f(x＋4)＝f(x)，所以4是函數(shù)y＝f(x)的一個周期．f(20xx)＝f(1)＝2.故選A. 答案：A 4．(20xx廣東潮州質(zhì)檢)定義域為R的奇函數(shù)f(x)，當x∈(－∞，0)時f(

5、x)＋xf′(x)<0恒成立，若a＝3f(3)，b＝f(1)，c＝－2f(－2)，則(　　) A．a(chǎn)>c>b B．c>b>a C．c>a>b D．a(chǎn)>b>c 解析：設(shè)g(x)＝xf(x)，依題意得g(x)是偶函數(shù)，當x∈(－∞，0)時f(x)＋xf′(x)<0，即g′(x)<0恒成立，故g(x)在x∈(－∞，0)上單調(diào)遞減，則g(x)在(0，＋∞)上遞增，a＝3f(3)＝g(3)，b＝f(1)＝g(1)，c＝－2f(－2)＝g(－2)＝g(2)，故a>c>b.故選A. 答案：A 5．(20xx江西南昌模擬)已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足下列三個條件：①對任意的x∈R都有f(

6、x＋2)＝－f(x)，②對于任意的0≤x1

7、)，f(7)＝f(3)＝f(1)，則f(4.5)

8、，當x∈[0,1]時，f(x)＝x＋1，則f＝________. 解析：f＝f－＝f＝. 答案： 8．已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，函數(shù)f(x＋1)為偶函數(shù)，f(1)＝1，則f(3)＝______. 解析：法一　根據(jù)條件可得f(3)＝f(2＋1)＝f(－2＋1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1. 法二　使用特例法，尋求函數(shù)模型，令f(x)＝sin x，則f(x＋1)＝sinx＋＝cos x，滿足以上條件，所以f(3)＝sin ＝－1. 答案：－1 9．(20xx浙江溫州一模)已知函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，且滿足對任意x∈R，都有f[f(x)－2x]＝3，則f(3)的值是______

9、__． 解析：根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性，存在唯一的m，使得f(m)＝3，故f(x)－2x＝m，即f(x)＝2x＋m，令x＝m，則f(m)＝2m＋m，即3＝2m＋m，解得m＝1，所以f(x)＝2x＋1，所以f(3)＝9. 答案：9 10．(20xx陜西延安一模)已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足條件fx＋＝－f(x)，且函數(shù)y＝fx－為奇函數(shù)，給出以下四個命題： (1)函數(shù)f(x)是周期函數(shù)； (2)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點－，0對稱； (3)函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)； (4)函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)． 其中真命題的序號為________．(寫出所有真命題的序號) 解析

10、：由fx＋＝－f(x)可得f(x)＝f(x＋3)?f(x)為周期函數(shù)，且T＝3，(1)為真命題； 又y＝fx－關(guān)于(0,0)對稱，y＝fx－向左平移個單位得y＝f(x)的圖象，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點－，0對稱，(2)為真命題； 又y＝fx－為奇函數(shù)， 所以fx－＝－f－x－， fx－－＝－f－x－＝－f(－x)， ∴fx－＝－f(－x)， f(x)＝f(x－3)＝－fx－＝f(－x)， ∴f(x)為偶函數(shù)，不可能為R上的單調(diào)函數(shù)，(3)為真命題；(4)為假命題，故真命題為(1)(2)(3)． 答案：(1)(2)(3) 三、解答題 11．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且

11、對任意實數(shù)x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．當x∈[0,2]時，f(x)＝2x－x2. (1)求證：f(x)是周期函數(shù)； (2)當x∈[2,4]時，求f(x)的解析式； (3)計算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(20xx)． (1)證明：∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)． (2)解：∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]， ∴4－x∈[0,2]， ∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8， 又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－x2＋6x－8， 即f(

12、x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]． (3)解：∵f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1. 又f(x)是周期為4的周期函數(shù)， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7) ＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(20xx)＋f(20xx)＝0. ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(20xx)＋f(20xx)＝f(0)＋f(1)＝1. 12．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線x＝1對稱． (1)求證：f(x)是周期為4的周期函數(shù)； (2)若f(x)＝(0

13、x)的解析式． (1)證明：由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，有f(x＋1)＝f(1－x)． 即有f(－x)＝f(x＋2)． 又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， 故有f(－x)＝－f(x)． 故f(x＋2)＝－f(x)． 從而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 即f(x)是周期為4的周期函數(shù)． (2)解：由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，有f(0)＝0. x∈[－1,0)時，－x∈(0,1]， f(x)＝－f(－x)＝－. 故x∈[－1,0]時，f(x)＝－. x∈[－5，－4]時，x＋4∈[－1,0]， f(x)＝f(x＋4)＝－. 從而，x∈[－5，－4]時， 函數(shù)f(x)＝－.