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1、
第三節(jié) 等比數(shù)列
[考綱傳真] 1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．
1．等比數(shù)列的有關(guān)概念
(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列就叫作等比數(shù)列．這個常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為＝q(n∈N*，q為非零常數(shù))．
(2)等比中項：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫作a與b的等比中項．即G是a與b的等比中項?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab.
2．等比數(shù)
2、列的有關(guān)公式
(1)通項公式：an＝a1qn－1.
(2)前n項和公式：Sn＝
3．等比數(shù)列的常用性質(zhì)
(1)通項公式的推廣：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則am·an＝ap·aq＝a；
(3)若數(shù)列{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比數(shù)列；
(4)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.
1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”
3、)
(1)滿足an＋1＝qan(n∈N*，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列．( )
(2)G為a，b的等比中項?G2＝ab.( )
(3)若{an}為等比數(shù)列，bn＝a2n－1＋a2n，則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列．( )
(4)數(shù)列{an}的通項公式是an＝an，則其前n項和為Sn＝.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．(20xx·廣州綜合測試(二))已知等比數(shù)列{an}的公比為－，則的值是( )
A．－2 B．－
C. D．2
A [＝＝－2.]
3．(20xx·東北三省四市一聯(lián))等比數(shù)列{an}中，an>0，a1＋a2＝6，a3＝8
4、，則a6＝( )
【導(dǎo)學(xué)號：57962249】
A．64 B．128
C．256 D．512
A [設(shè)等比數(shù)列的首項為a1，公比為q，則由解得或(舍去)，所以a6＝a1q5＝64，故選A.]
4．(教材改編)在9與243中間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個數(shù)為__________．
27,81 [設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知，
243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.
∴插入的兩個數(shù)分別為9×3＝27,27×3＝81.]
5．(20xx·全國卷Ⅰ)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項和．若Sn＝126，則n＝_________
5、_.
6 [∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．
又∵Sn＝126，∴＝126，解得n＝6.]
等比數(shù)列的基本運算
(1)(20xx·陜西質(zhì)檢(二))已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1＝( )
A. B．－
C. D．－
(2)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，則數(shù)列{an}的前n項和等于__________．
(1)C (2)2n－1 [(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則由S3＝a2＋10a1得a1＋a1q2＝10a1，則q2＝9，又因為a5＝a1
6、q4＝9，所以a1＝.
(2)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則有
解得或
又{an}為遞增數(shù)列，∴∴Sn＝＝2n－1.]
[規(guī)律方法] 1.等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式共涉及五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用．
2．在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，應(yīng)根據(jù)公比q的情況進(jìn)行分類討論，在運算過程中，應(yīng)善于運用整體代換思想簡化運算．
[變式訓(xùn)練1] (1)在等比數(shù)列{an}中，a3＝7，前3項和S3＝21，則公比q的值為( )
【導(dǎo)學(xué)號：57962250】
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或
(2)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若27
7、a3－a6＝0，則＝__________.
【導(dǎo)學(xué)號：57962251】
(1)C (2)28 [(1)根據(jù)已知條件得
②÷①得＝3.
整理得2q2－q－1＝0，
解得q＝1或q＝－.
(2)由題可知{an}為等比數(shù)列，設(shè)首項為a1，公比為q，所以a3＝a1q2，a6＝a1q5，所以27a1q2＝a1q5，所以q＝3，由Sn＝，得S6＝，S3＝，所以＝·＝28.]
等比數(shù)列的判定與證明
(20xx·全國卷Ⅲ)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.
(1)證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項公式；
(2)若S5＝，求λ.
[解] (1)證明：由題意得
8、a1＝S1＝1＋λa1， 2分
故λ≠1，a1＝，故a1≠0. 3分
由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，
即an＋1(λ－1)＝λan. 5分
由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.
因此{(lán)an}是首項為，公比為的等比數(shù)列，
于是an＝. 7分
(2)由(1)得Sn＝1－. 9分
由S5＝得1－＝，即＝. 10分
解得λ＝－1. 12分
[規(guī)律方法] 等比數(shù)列的判定方法
(1)定義法：若＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．
(2)等比中項法：若數(shù)列{an}中，an≠0，且a＝an·an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{
9、an}是等比數(shù)列．
(3)通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成an＝c·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．
說明：前兩種方法是證明等比數(shù)列的常用方法，后者常用于選擇題、填空題中的判定．
[變式訓(xùn)練2] 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式．
[解] (1)證明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，
有a1＋a2＝S2＝4a1＋2.
∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.
又
①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，
10、
∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2). 3分
∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，
故{bn}是首項b1＝3，公比為2的等比數(shù)列. 6分
(2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，
∴－＝，
故是首項為，公差為的等差數(shù)列. 9分
∴＝＋(n－1)·＝，
故an＝(3n－1)·2n－2. 12分
等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用
(1)(20xx·安徽六安一中綜合訓(xùn)練)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若am＋1·am－1＝2am(m≥2)，數(shù)列{an}的前n項積為Tn，若T2m－1＝512，則m的值為( )
A．4 B．5
11、
C．6 D．7
(2)(20xx·天津高考)設(shè){an}是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，則“q<0”是“對任意的正整數(shù)n，a2n－1＋a2n<0”的( )
A．充要條件
B．充分而不必要條件
C．必要而不充分條件
D．既不充分也不必要條件
(1)B (2)C [(1)由等比數(shù)列的性質(zhì)可知am＋1·am－1＝a＝2am(m≥2)，所以am＝2，即數(shù)列{an}為常數(shù)列，an＝2，所以T2m－1＝22m－1＝512＝29，即2m－1＝9，所以m＝5，故選B.
(2)若對任意的正整數(shù)n，a2n－1＋a2n<0，則a1＋a2<0，又a1>0，所以a2<0，所以q＝<0.若q<0，可取
12、q＝－1，a1＝1，則a1＋a2＝1－1＝0，不滿足對任意的正整數(shù)n，a2n－1＋a2n<0.所以“q<0”是“對任意的正整數(shù)n，a2n－1＋a2n<0”的必要而不充分條件．故選C.]
[規(guī)律方法] 1.在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運算量，提高解題速度．
2．等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項公式的變形，二是等比中項的變形，三是前n項和公式的變形．根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口．
[變式訓(xùn)練3] (1)(20xx·合肥三次質(zhì)檢)在正項等比數(shù)列{an}中，a
13、1 008·a1 009＝，則lg a1＋lg a2＋…＋lg a2 016＝( )
【導(dǎo)學(xué)號：57962252】
A．2 015 B．2 016
C．－2 015 D．－2 016
(2)(20xx·南昌一模)若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前4項的和為9，積為，則前4項倒數(shù)的和為( )
【導(dǎo)學(xué)號：57962253】
A. B．
C．1 D．2
(1)D (2)D [(1)lg a1＋lg a2＋…＋lg a2 016＝lg a1a2…a2 016＝lg(a1 008·a1 009)1 008＝lg1 008＝lg1 008＝－2 016，故選D.
(2)由題意得S4＝＝9，
14、所以＝.由a1·a1q·a1q2·a1q3＝(aq3)2＝得aq3＝.由等比數(shù)列的性質(zhì)知該數(shù)列前4項倒數(shù)的和為＝＝·＝＝2，故選D.]
[思想與方法]
1．方程的思想．等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求解．
2．函數(shù)的思想．通項公式an ＝a1qn－1可化為an＝qn，因此an是關(guān)于n的函數(shù)，即{an}中的各項所表示的點(n，an)在曲線y＝qx上，是一群孤立的點．
3．分類討論思想．當(dāng)q＝1時，{an}的前n項和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，{an}的前n項和Sn＝＝.等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，此處是常考易錯點．
[易錯與防范]
1．特別注意q＝1時，Sn＝na1這一特殊情況．
2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗證a1≠0.
3．在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽視q＝1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤．
4．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比數(shù)列(例如：當(dāng)公比q＝－1且n為偶數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比數(shù)列；當(dāng)q≠－1或q＝－1且n為奇數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列)．
新編一輪北師大版理數(shù)學(xué)教案：第5章 第3節(jié) 等比數(shù)列 Word版含解析
