5、中學第四次月考)已知函數f(x)＝(a∈R)，若函數f(x)在R上有兩個零點，則a的取值范圍是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，0)
C．(－1,0) D．[－1,0)
解析：當x＞0時，f(x)＝3x－1有一個零點x＝，所以只需要當x≤0時，ex＋a＝0有一個根即可，即ex＝－a.當x≤0時，ex∈(0,1]，所以－a∈(0,1]，即a∈[－1,0)，故選D.
答案：D
7．已知函數f(x)＝2ax－a＋3，若?x0∈(－1,1)，使得f(x0)＝0，則實數a的取值范圍是( )
A．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B．(－∞，－3)
C．(－3,1) D．(1，
6、＋∞)
解析：依題意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1，故選A.
答案：A
8．已知函數f(x)＝2mx2－x－1在區(qū)間(－2,2)內恰有一個零點，則m的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析：當m＝0時，函數f(x)＝－x－1有一個零點x＝－1，滿足條件．當m≠0時，函數f(x)＝2mx2－x－1在區(qū)間(－2,2)內恰有一個零點，需滿足①f(－2)·f(2)＜0或②或③解①得－＜m＜0或0＜m＜；解②得m∈?，解③得m＝.
綜上可知－＜m≤，故選D.
答案：D
9．已知函數f(x)＝若方程f(x)－a＝
7、0有三個不同的實數根，則實數a的取值范圍為( )
A．(1,3) B． (0,3)
C．(0,2) D．(0,1)
解析：畫出函數f(x)的圖象如圖所示，
觀察圖象可知，若方程f(x)－a＝0有三個不同的實數根，則函數y＝f(x)的圖象與直線y＝a有3個不同的交點，此時需滿足0＜a＜1，故選D.
答案：D
10．(20xx·汕頭模擬)設函數f(x)是定義在R上的周期為2的函數，且對任意的實數x，恒有f(x)－f(－x)＝0，當x∈[－1,0]時，f(x)＝x2，若g(x)＝f(x)－logax在x∈(0，＋∞)上有三個零點，則a的取值范圍為( )
A．[3,5] B
8、．[4,6]
C．(3,5) D．(4,6)
解析：∵f(x)－f(－x)＝0，∴f(x)＝f(－x)，∴f(x)是偶函數，根據函數的周期性和奇偶性作出函數f(x)的圖象如圖所示：
∵g(x)＝f(x)－logax在(0，＋∞)上有三個零點，
∴y＝f(x)和y＝logax的圖象在(0，＋∞)上有三個交點，
作出函數y＝logax的圖象，如圖，
∴，解得3＜a＜5.故選C.
答案：C
11．(20xx·湖北七校聯考)已知f(x)是奇函數且是R上的單調函數，若函數y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一個零點，則實數λ的值是( )
A. B.
C．－ D．－
解
9、析：令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，則f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因為f(x)是R上的單調函數，所以2x2＋1＝x－λ只有一個根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一個根，則Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.故選C.
答案：C
12．(20xx·鄭州質量預測)已知定義在R上的奇函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，當－1≤x＜0時，f(x)＝－log (－x)，則方程f(x)－＝0在(0,6)內的所有根之和為( )
A．8 B．10
C．12 D．16
解析：∵奇函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，∴f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，即f(
10、x)＝－f(x＋2)＝f(x＋4)，∴f(x)是周期函數，其周期T＝4.又當x∈[－1,0)時，f(x)＝－log(－x)，故f(x)在(0,6)上的函數圖象如圖所示．
由圖可知方程f(x)－＝0在(0,6)內的根共有4個，其和為x1＋x2＋x3＋x4＝2＋10＝12，故選C.
答案：C
13．(20xx·聊城模擬)若方程|3x－1|＝k有兩個解，則實數k的取值范圍是________．
解析：曲線y＝|3x－1|與直線y＝k的圖象如圖所示，由圖象可知，如果y＝|3x－1|與直線y＝k有兩個公共點，則實數k應滿足0＜k＜1.
答案：(0,1)
14．已知函數f(x)＝若關于x的方
11、程f(x)＝k有兩個不等的實數根，則實數k的取值范圍是________．
解析：作出函數y＝f(x)與y＝k的圖象，如圖所示：
由圖可知k∈(0,1]．
答案：(0,1]
15．函數f(x)＝的零點個數是________．
解析：當x＞0時，令ln x－x2＋2x＝0，
得ln x＝x2－2x，
作y＝ln x和y＝x2－2x圖象，
顯然有兩個交點．
當x≤0時，令4x＋1＝0，
∴x＝－.
綜上共有3個零點．
答案：3
16．已知函數f(x)＝有三個不同的零點，則實數a的取值范圍是________．
解析：由題意知，當x≥0時，函數f(x)有一個零點，從而
12、a＝2x≥1，
當x＜0時，函數f(x)有兩個零點，則有即a＞4.
綜上知a＞4.
答案：(4，＋∞)
B組 能力提升練
1．函數f(x)＝的零點個數是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：作出函數f(x)＝的圖象，如圖所示．
由圖象可知，所求函數的零點個數是2.
答案：C
2．已知函數f(x)＝函數g(x)＝3－f(2－x)，則函數y＝f(x)－g(x)的零點個數為( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：分別畫出函數f(x)，g(x)的草圖，可知有2個交點．故選A.
答案：A
3．已知函數f(x)＝則函數g(x)＝f(1－x)
13、－1的零點個數為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：g(x)＝f(1－x)－1
＝
?
當x≥1時，函數g(x)有1個零點；當x＜1時，函數有2個零點，所以函數的零點個數為3，故選C.
答案：C
4．(20xx·洛陽統(tǒng)考)已知x1，x2是函數f(x)＝e－x－|ln x|的兩個零點，則( )
A.＜x1x2＜1 B．1＜x1x2＜e
C．1＜x1x2＜10 D．e＜x1x2＜10
解析：在同一直角坐標系中畫出函數y＝e－x與y＝|ln x|的圖象(圖略)，結合圖象不難看出，在x1，x2中，其中一個屬于區(qū)間(0,1)，另一個屬于區(qū)間(1，＋∞)．不妨設
14、x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)，則有e－x1＝|ln x1|＝－ln x1∈(e－1,1)，e－x2＝|ln x2|＝ln x2∈(0，e－1)，e－x2－e－x1＝ln x2＋ln x1＝ln(x1x2)∈(－1,0)，于是有e－1＜x1x2＜e0，即＜x1x2＜1，故選A.
答案：A
5．設函數f (x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若實數a，b滿足f(a)＝0，g(b)＝0，則( )
A．g(a)＜0＜f(b) B．f(b)＜0＜g(a)
C．0＜g(a)＜f(b) D．f(b)＜g(a)＜0
解析：∵f(x)＝ex＋x－2，
∴f′(x)＝ex＋
15、1＞0，
則f(x)在R上為增函數，
且f(0)＝e0－2＜0，f(1)＝e－1＞0，
又f(a)＝0，∴0＜a＜1.
∵g(x)＝ln x＋x2－3，
∴g′(x)＝＋2x.
當x∈(0，＋∞)時，g′(x)＞0，
得g(x)在(0，＋∞)上為增函數，
又g(1)＝ln 1－2＝－2＜0，
g(2)＝ln 2＋1＞0，且g(b)＝0，
∴1＜b＜2，即a＜b，
∴故選A.
答案：A
6．(20xx·鄭州質量預測)對于函數f(x)和g(x)，設α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，則稱f(x)與g(x)互為“零點相鄰函數
16、”．若函數f(x)＝ex－1＋x－2與g(x)＝x2－ax－a＋3互為“零點相鄰函數”，則實數a的取值范圍是( )
A．[2,4] B.
C. D．[2,3]
解析：函數f(x)＝ex－1＋x－2的零點為x＝1，設g(x)＝x2－ax－a＋3的零點為b，若函數f(x)＝ex－1＋x－2與g(x)＝x2－ax－a＋3互為“零點相鄰函數”，則|1－b|≤1，∴0≤b≤2.由于g(x)＝x2－ax－a＋3的圖象過點(－1,4)，∴要使其零點在區(qū)間[0,2]上，則g≤0，即2－a·－a＋3≤0，解得a≥2或a≤－6(舍去)，易知g(0)≥0，即a≤3，此時2≤a≤3，滿足題意．
答案：D
17、
7．設x0為函數f(x)＝sin πx的零點，且滿足|x0|＋f＜33，則這樣的零點有( )
A．61個 B．63個
C．65個 D．67個
解析：依題意，由f(x0)＝sin πx0＝0得，πx0＝kπ，k∈Z，即x0＝k，k∈Z.當k是奇數時，f＝sin π＝sin＝－1，|x0|＋f＝|k|－1＜33，|k|＜34，滿足這樣條件的奇數k共有34個；當k是偶數時，f＝sin π＝sin＝1，|x0|＋f＝|k|＋1＜33，|k|＜32，滿足這樣條件的偶數k共有31個．綜上所述，滿足題意的零點共有34＋31＝65(個)，選C.
答案：C
8．設函數f(x)＝，設函數g(x
18、)＝f(x)－4mx－m，其中m≠0.若函數g(x)在區(qū)間(－1,1)上有且僅有一個零點，則實數m的取值范圍是( )
A．m≥或m＝－1 B．m≥
C．m≥或m＝－1 D．m≥
解析：f(x)＝
作函數y＝f(x)的圖象，如圖所示．
函數g(x)零點的個數?函數y＝f(x)的圖象與直線y＝4mx＋m交點的個數．
當直線y＝4mx＋m過點(1,1)時，m＝；
當直線y＝4mx＋m與曲線y＝－1(－1＜x＜0)相切時，可求得m＝－1.
根據圖象可知，當m≥或m＝－1時，函數g(x)在區(qū)間(－1,1)上有且僅有一個零點．
答案：C
9．已知f(x)是定義在R上的奇函數，
19、且x>0時，f(x)＝ln x－x＋1，則函數g(x)＝f(x)－ex(e為自然對數的底數)的零點個數是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：當x>0時，f(x)＝ln x－x＋1，f′(x)＝－1＝，所以x∈(0,1)時，f′(x)>0，此時f(x)單調遞增；x∈(1，＋∞)時，f′(x)<0，此時f(x)單調遞減．因此，當x>0時，f(x)max＝f(1)＝ln 1－1＋1＝0.根據函數f(x)是定義在R上的奇函數作出函數y＝f(x)與y＝ex的大致圖象，如圖，觀察到函數y＝f(x)與y＝ex的圖象有兩個交點，所以函數g(x)＝f(x)－ex(e為自然對數的底數)有2個
20、零點．故選C.
答案：C
10．已知函數f(x)＝ln x－ax2＋x有兩個零點，則實數a的取值范圍是( )
A．(－∞，1) B．(0,1)
C. D.
解析：依題意，關于x的方程ax－1＝有兩個不等的正根．記g(x)＝，則g′(x)＝，當00，g(x)在區(qū)間(0，e)上單調遞增；當x>e時，g′(x)<0，g(x)在區(qū)間(e，＋∞)上單調遞減，且g(e)＝，當0
21、a)與函數g(x)的大致圖象，結合圖象可知，要使直線y＝ax－1與函數g(x)的圖象有兩個不同的交點，則a的取值范圍是(0,1)，選B.
答案：B
11．已知f′(x)為函數f(x)的導函數，且f(x)＝x2－f(0)x＋f′(1)ex－1，g(x)＝f(x)－x2＋x，若方程g－x＝0在(0，＋∞)上有且僅有一個根，則實數a的取值范圍是( )
A．(－∞，0)∪{1} B．(－∞，－1]
C．(0,1] D．[1，＋∞)
解析：∵f(x)＝x2－f(0)x＋f′(1)ex－1，∴f(0)＝f′(1)e－1，f′(x)＝x－f(0)＋f′(1)ex－1，
∴f′(1)＝1－f
22、′(1)e－1＋f′(1)e1－1，∴f′(1)＝e，∴f(0)＝f′(1)e－1＝1，∴f(x)＝x2－x＋ex，∴g(x)＝f(x)－x2＋x＝x2－x＋ex－x2＋x＝ex，∵g－x＝0，
∴g＝x＝g(ln x)，∴－x＝ln x，∴＝x＋ln x．當a>0時，只有y＝(x>0)和y＝x＋ln x的圖象相切時，滿足題意，作出圖象如圖所示，由圖象可知，a＝1，當a<0時，顯然滿足題意，∴a＝1或a<0，故選A.
答案：A
12．已知函數y＝f(x)是定義域為R的偶函數．當x≥0時，f(x)＝，若關于x的方程5[f(x)]2－(5a＋6)f(x)＋6a＝0(a∈R)有且僅有6個不同的
23、實數根，則實數a的取值范圍是( )
A．(0,1)∪ B．[0,1]∪
C．(0,1]∪ D.∪{0}
解析：作出f(x)＝的大致圖象如圖所示，又函數y＝f(x)是定義域為R的偶函數，且關于x的方程5[f(x)]2－(5a＋6)f(x)＋6a＝0(a∈R)有且僅有6個不同的實數根，等價于f(x)＝和f(x)＝a(a∈R)有且僅有6個不同的實數根．由圖可知方程f(x)＝有4個不同的實數根，所以必須且只需方程f(x)＝a(a∈R)有且僅有2個不同的實數根，由圖可知0
24、有一個交點，則a的值為________．
解析：若直線y＝2a與函數y＝|x－a|－1的圖象只有一個交點，則方程2a＝|x－a|－1只有一解，即方程|x－a|＝2a＋1只有一解，故2a＋1＝0，所以a＝－.
答案：－
14．函數f(x)＝|x－1|＋2cos πx(－4≤x≤6)的所有零點之和為________．
解析：問題可轉化為y＝|x－1|與y＝－2cos πx在－4≤x≤6的交點的橫坐標的和，因為兩個函數圖象均關于x＝1對稱，所以x＝1兩側的交點對稱，那么兩對應交點的橫坐標的和為2，分別畫出兩個函數的圖象(圖略)，易知x＝1兩側分別有5個交點，所以所求和為5×2＝10.
答案
25、：10
15．(20xx·廣州綜合測試)已知函數f(x)＝，則函數g(x)＝2|x|f(x)－2的零點個數為________．
解析：由g(x)＝2|x|f(x)－2＝0得，f(x)＝|x|－1，作出y＝f(x)，y＝|x|－1的圖象，由圖象可知共有2個交點，故函數的零點個數為2.
答案：2
16．(20xx·沈陽教學質量監(jiān)測)已知函數f(x)＝，若方程f(x)＝ax＋1恰有一個解，則實數a的取值范圍是________．
解析：如圖，當直線y＝ax＋1過點B(2,2)時，a＝，滿足方程有兩個解；當直線y＝ax＋1與f(x)＝2(x≥2)的圖象相切時，a＝，滿足方程有兩個解；當直線y＝ax＋1過點A(1,2)時，a＝1，滿足方程恰有一個解．故實數a的取值范圍為∪.
答案：∪
新編一輪創(chuàng)新思維文數人教版A版練習：第二章 第八節(jié) 函數與方程 Word版含解析
