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1、
算法初步與復數(shù)
一、高考預測
算法是新課標高考的獨有內(nèi)容,從近年來課標地區(qū)的高考看,這是試卷中一個必備的試題,試題以選擇題或填空題的方式出現(xiàn),主要考查程序框圖和基本算法語句.預計20xx年變化不大.復習算法要抓住如下要點:一是程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu),即順序結(jié)構(gòu)、條件分支結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu),搞清楚這三種基本邏輯結(jié)構(gòu)的功能和使用方法,特別要注意循環(huán)結(jié)構(gòu)的功能和使用方法,在復習時建議結(jié)合具體題目掌握好一些常見的計算問題的程序框圖,如二分法求方程近似解的程序框圖、一些數(shù)列求和的程序框圖、一元二次不等式解的程序框圖等;二是理解基本算法語句的含義,搞清楚條件語句與條件分支結(jié)構(gòu)的對應關(guān)
2、系、循環(huán)語句與循環(huán)結(jié)構(gòu)的對應關(guān)系,在此基礎(chǔ)上學會對一些簡單問題的程序編寫.
復數(shù)是高考的一個考點,主要考查復數(shù)的概念和代數(shù)形式的四則運算,一般是一個選擇題,位置靠前,難度不大.預計20xx年會繼續(xù)這個考查風格.復數(shù)的內(nèi)容就是概念、運算和簡單的幾何意義,復習時只要把概念弄清,運算法則掌握好,并把復數(shù)和向量的關(guān)系弄清楚即可.
二、知識導學
規(guī)律技巧提煉
1.在算法的三種邏輯結(jié)構(gòu)中,順序結(jié)構(gòu)是算法都離不開的,在循環(huán)結(jié)構(gòu)的循環(huán)體中一定含有一個條件結(jié)構(gòu),這個條件決定循環(huán)何時終止,以確保算法能夠在有限步內(nèi)完成計算,條件結(jié)構(gòu)的功能就是確定算法的不同流向.理解算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu),是我們分析算法框
3、圖,編寫簡單程序的基礎(chǔ).
2.算法是離不開具體的數(shù)學問題的,算法試題往往要依托其他數(shù)學問題來實現(xiàn),算法可以和函數(shù)求值、方程求解、不等式求解、數(shù)列求和、統(tǒng)計量計算等問題相互交匯.
3.復數(shù)部分的考點就是復數(shù)的概念、復數(shù)相等的充要條件、復數(shù)代數(shù)形式的四則運算,其考查帶有綜合性.要注意復數(shù)相等的充要條件中必須把兩個復數(shù)都化為“標準的代數(shù)形式”.
三、易錯點點睛
命題角度 1 復數(shù)的概念
2. z=的共軛復數(shù)是 ( )
A.+i B.-I C.1-i D.1+i
[考場錯解] 選C ∵z==1+i.∴z為純虛數(shù)為1-i
[專家把脈]
4、 z==1+i是錯誤的,因為(1-i)(1+i)=1-(i)2-z≠1
[對癥下藥] 選B ∵z==∴z=的共軛復數(shù)是-i。
3. 已知復數(shù)z1=3+4i,z2=t+i,,且是實數(shù),則實數(shù)t= ( )
A. B. C.- D.-
[考場錯解] 選C ∵z1·∈R=0。即(3+4i)(t-i)+(3-4i)(t+i)=0 t=-.
[專家把脈] ∵z∈R=z.z為純虛數(shù)z+=0(z≠0)因此上面解答應用的是Z為純虛數(shù)的充根條件,因而求出的t是z1為純虛數(shù)的結(jié)果,顯然是錯誤的。
[對診下藥] 解法1:z1=(3+4i)(t-i)= (3
5、-4i)(t+i)∵z1為實數(shù),∴4t-3=0,t=.
解法2:∵z1∈R,∴z1= ∴(3+4i)(t-i)=(3-4i)(t+i)
(3t+4)+(4t-3)i=(3t+4)+(3-4t)i4t-3=3-4tt=.
專家會診1.深刻理解復數(shù)、實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、模、輻角、輻角主值、共軛復數(shù)的概念和得數(shù)的幾何表示——復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)與復平面內(nèi)的點(a、b)及向量是一一對應的,在對概念的理解時要善于利用數(shù)形結(jié)合的思想,如純虛數(shù)與虛軸上的點對應,實數(shù)與實軸上的點對應,復數(shù)的模表示復數(shù)對應的點到原點的距離。2.要善于掌握化虛為實的轉(zhuǎn)化方法,即設(shè)復數(shù)z=a+bi(a,b∈R),但
6、有時給許多問題的求解帶來不必要的運算困難,而若把握復數(shù)的整體性質(zhì)運用整體運算的思想方法,則能事半功倍,同時要注意復數(shù)幾何意義的應用。
命題角度 2復數(shù)的代數(shù)形式及運算
2.復數(shù)的值是 ( )
A.-16 B.16 C.- D.8-8
3 滿足條件|z-i|=|3+4i|的復數(shù)z在復平面上對應點的軌跡是 ( )
A.一條直線 B.兩條直線 C.圓 D.橢圓
[考場錯解] 選A。 由|z-i|=|3+4i|知z在復平面上對應的圖形是點(0,1)和(3,4)的垂
7、直平分線。
[專家把脈] 上面解答把條件看成|z-i|=|z-(3+4i)|.這類型題應用復數(shù)的代數(shù)形式z=x+yi(x,y∈R)代入計算才能確定答案。
[對癥下藥] 選C。設(shè)z=x+yi(x,y∈R)代入|z-i|=|3+4i|中計算得即x2+(y-1)2=25.∴z的軌跡是表示以(0,1)為圓心,以5為半徑的圓,選C。
專家會診 1.復數(shù)的加、減、乘、除運算一般用代數(shù)形式進行2.求解計算時,要充分利用i、w的性質(zhì),可適當變形,創(chuàng)造條件,從而轉(zhuǎn)化i、w轉(zhuǎn)化的計算問題。3.在復數(shù)的求解過程中,要注意復數(shù)整體思想的把握和運用。
命題角度 3 流程圖
[例1] 已知三個單元存放了變量,
8、,的值,試給出一個算法,順次交換,,的值(即取的值,取的值,取的值),并畫出流程圖.
錯解:第一步
第二步
第三步
流程圖為
圖13-1-3
錯因:未理解賦值的含義,由上面的算法使得,均取的值.
舉一形象的例子:有藍和黑兩個墨水瓶,但現(xiàn)在卻把藍墨水裝在了黑墨水瓶中,黑墨水錯裝在了藍墨水瓶中,要求將其互換,請你設(shè)計算法解決這一問題.對于這種非數(shù)值性問題的算法設(shè)計問題,應當首先建立過程模型,根據(jù)過程設(shè)計步驟完成算法. 我們不
9、可將兩個墨水瓶中的墨水直接交換,因為兩個墨水瓶都裝有墨水,不可能進行直接交換.正確的解法應為:
S1 取一只空的墨水瓶,設(shè)其為白色;
S2 將黑墨水瓶中的藍墨水裝入白瓶中;
S3 將藍墨水瓶中的黑墨水裝入黑瓶中;
S4 將白瓶中的藍墨水裝入藍瓶中;
S5 交換結(jié)束.
點評:在計算機中,每個變量都分配了一個存儲單元,為了達到交換的目的,需要一個單元存放中間變量.
[例2]已知三個數(shù),,.試給出尋找這三個數(shù)中最大的一個算法,畫出該算法的流程圖.
解:流程圖為
圖13-1-5
點評:條
10、件結(jié)構(gòu)可含有多個判斷框,判斷框內(nèi)的內(nèi)容要簡明、準確、清晰.此題也可將第一個判斷框中的兩個條件分別用兩個判斷框表示,兩兩比較也很清晰.若改為求100個數(shù)中的最大數(shù)或最小數(shù)的問題則選擇此法較繁瑣,可采用假設(shè)第一數(shù)最大(最小)將第一個數(shù)與后面的數(shù)依依比較,若后面的數(shù)較大(較小),則進行交換,最終第一個數(shù)即為最大(最?。┲?
點評:求和時根據(jù)過程的類同性可用循環(huán)結(jié)構(gòu)來實現(xiàn),而不用順序結(jié)構(gòu).
[例3]畫出求的值的算法流程圖.
解:這是一個求和問題,可采用循環(huán)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)設(shè)計算法,但要注意奇數(shù)項為正號,偶數(shù)項為負號.
思路一:采用-1的奇偶次方(利用循環(huán)變量)來解決正負符號問題;
11、
圖13-1-6 圖13-1-7
思路二:采用選擇結(jié)構(gòu)分奇偶項求和;
圖13-1-8
思路三:可先將化簡成,轉(zhuǎn)化為一個等差數(shù)列求和問題,易利用循環(huán)結(jié)構(gòu)求出結(jié)果.
[例4] 設(shè)計一算法,求使成立的最小正整數(shù)的值.
解: 流程圖為
圖13-1-9
點評:這道題仍然是考察求和的循環(huán)結(jié)構(gòu)的運用問題,需要強調(diào)的是求和語句的表示方法.若將題改為求使成立的最大正整數(shù)的值時,則需注意的是輸出的值.
點評:要驗證是否為質(zhì)數(shù)首先必
12、須對質(zhì)數(shù)的本質(zhì)含義作深入分析:
(1)質(zhì)數(shù)是只能被1和自身整除的大于1的整數(shù).
(2)要判斷一個大于1的整數(shù)n是否為質(zhì)數(shù),只要根據(jù)定義,用比這個整數(shù)小的數(shù)去除n.如果它只能被1和本身整除,而不能被其它整數(shù)整除,則這個數(shù)便是質(zhì)數(shù).
圖13-1-10
[例6]設(shè)計一個求無理數(shù)的近似值的算法.
分析:無理數(shù)的近似值可看作是方程的正的近似根,因此該算法的實質(zhì)是設(shè)計一個求方程的近似根的算法.其基本方法即運用二分法求解方程的近似解.
點評:二分法求方程近似解的算法是一個重要的算法案例,將在第三節(jié)中詳細闡述.
命題角度 4
13、 基本算法語句
1.下列程序的運行結(jié)果是 .
If >5 Then
If >4 Then
If >3 Then
Print
2.下面的程序運行時輸出的結(jié)果是( )
While
End while
Print S
End
[例4]用語句描述求使成立的最大正整數(shù)的算法過程.
解:
While
End while
Print
點評:此題易錯的是輸出值,根據(jù)While循環(huán)語句的特征當
14、時跳出循環(huán)體,此時的值是時的最小的整數(shù),則使的最大整數(shù)應為的前一個奇數(shù)即.
四、典型習題導練
1. 1、復數(shù)的虛部為 .
2、若復數(shù),,則
A. B. C. D.
3、復數(shù)(為虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)所對應的點在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4、設(shè)(是虛數(shù)單位),則A. B. C. D.
5、巳知i是虛數(shù)單位,若(),則乘積
(A) -3 (B) -15 (C) 3 (D) 15
6、若,則
A.
15、 B. C. D.
7、復數(shù),,且,則的值為________.
8、已知,其中,為虛數(shù)單位,則 。
10、某程序框圖如圖所示,則該程序運行后輸出的值是
A.-8 B.-2 C.-1 D.0
11、在如圖所示的流程圖中,若輸入的值為,則輸出A的值為 。
13、.一個算法的程序框圖如圖所示,若該程序輸出的結(jié)果是,則判斷框內(nèi)應填入的條件是
A.<4 B.>4 C.<5 D.>5
k=2
k=k+1
16、開始
結(jié)束
輸出k
是
否
14、某程序框圖如圖所示,則該程序運行后輸出的k的值是
A.3 B.4
C.5 D.6
16、算法流程圖如圖所示,其輸出結(jié)果是( )
A. 124 B. 125 C. 126 D. 127
18、下圖是一個把二進制數(shù)化成十進制數(shù)的程序框圖,判斷框內(nèi)需填入的條件是
A. B. C. D.