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1、
1
2、 1
題型練7 大題專項(五)
解析幾何綜合問題
1.
如圖,橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e=35,左焦點為F,A,B,C為其三個頂點,直線CF與AB交于點D,若△ADC的面積為15.
(1)求橢圓C的方程.
(2)是否存在分別以AD,AC為弦的兩個相外切的等圓?若存在,求出這兩個圓的圓心坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
3、
2.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)經(jīng)過點1,32,離心率為32.
(1)求橢圓C的方程;
(2)不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與橢圓C交于A,B兩點,以AB為直徑的圓過原點,且線段AB的垂直平分線交y軸于點P0,-32,求直線l的方程.
3.設(shè)橢圓x2a2+y23=1(a>3)的右焦點為F,右頂點為A.已知1|OF|+1|OA|=3e|FA|,其中O為原點,e為橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過點A的直線l與橢圓交于點B(B不在x軸上),垂直于l的直線與l交于點M,與y
4、軸交于點H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直線l的斜率的取值范圍.
4.已知拋物線C:y2=2px(p>0),過焦點且斜率為1的直線m交拋物線C于A,B兩點,以線段AB為直徑的圓在y軸上截得的弦長為27.
(1)求拋物線C的方程.
(2)過點P(0,2)的直線l交拋物線C于F,G兩點,交x軸于點D,設(shè)PF=λ1FD,PG=λ2GD,試問λ1+λ2是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.
5.已知拋物線C:y2=2x的焦點為F,平行于x軸的兩條
5、直線l1,l2分別交C于A,B兩點,交C的準(zhǔn)線于P,Q兩點.
(1)若F在線段AB上,R是PQ的中點,證明AR∥FQ;
(2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,求AB中點的軌跡方程.
6.(20xx江蘇,17)
如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,離心率為12,兩準(zhǔn)線之間的距離為8.點P在橢圓E上,且位于第一象限,過點F1作直線PF1的垂線l1,過點F2作直線PF2的垂線l2.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線l1,l2的交點Q在橢圓E上,求點P的
6、坐標(biāo).
參考答案
題型練7 大題專項(五)
解析幾何綜合問題
1.解(1)設(shè)左焦點F的坐標(biāo)為(-c,0),其中c=a2-b2,∵e=ca=35,∴a=53c,b=43c.
∴A0,43c,B-53c,0,C0,-43c,
∴直線AB的方程為-3x5c+3y4c=1,直線CF的方程為-xc-3y4c=1,
聯(lián)立解得點D的坐標(biāo)為-54c,13c.
∵△ADC的面積為15,∴12|xD|·|AC|=15,
7、
即12·54c·2·43c=15,
解得c=3,∴a=5,b=4,
∴橢圓C的方程為x225+y216=1.
(2)由(1)知,點A的坐標(biāo)為(0,4),點D的坐標(biāo)為-154,1.
假設(shè)存在這樣的兩個圓M與圓N,其中AD是圓M的弦,AC是圓N的弦,
則點M在線段AD的垂直平分線上,點N在線段AC的垂直平分線y=0上.
當(dāng)圓M和圓N是兩個相外切的等圓時,一定有A,M,N在一條直線上,且|AM|=|AN|.
∴M,N關(guān)于點A對稱.設(shè)M(x1,y1),
則N(-x1,8-y1),
根據(jù)點N在直線y=0上,∴y1=8.
∴M(x1,8),N(-x1,0),
而點M在線段AD的垂直
8、平分線y-52=-54x+158上,可求得x1=-25140.
故存在這樣的兩個等圓,且這兩個圓的圓心坐標(biāo)分別為M-25140,8,N25140,0.
2.解(1)由題意得ca=32,1a2+34b2=1,a2=b2+c2,解得a=2,b=1.
故橢圓C的方程是x24+y2=1.
(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+t,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立y=kx+t,x24+y2=1,消去y,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,則有x1+x2=-8kt1+4k2,x1x2=4t2-41+4k2.
Δ>0?4k2+1>t2,
y1+y2=kx1+t+kx2+t=k
9、(x1+x2)+2t=2t1+4k2,
y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2
=k24t2-41+4k2+kt-8kt1+4k2+t2=t2-4k21+4k2.
因為以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點,所以O(shè)A⊥OB,x1x2+y1y2=0.
因為x1x2+y1y2=4t2-41+4k2+t2-4k21+4k2=0,
所以5t2=4+4k2.因為Δ>0,所以4k2+1>t2,解得t<-32或t>32.
又設(shè)A,B的中點為D(m,n),則m=x1+x22=-4kt1+4k2,n=y1+y22=t1+4k2.
因為直線PD與直線l垂直,
所以kPD
10、=-1k=-32-n-m,得t1+4k2=12.
由t1+4k2=12,5t2=4+4k2,解得t1=1,t2=-35.
當(dāng)t=-35時,Δ>0不成立.當(dāng)t=1時,k=±12,
所以直線l的方程為y=12x+1或y=-12x+1.
3.解(1)設(shè)F(c,0),由1|OF|+1|OA|=3e|FA|,
即1c+1a=3ca(a-c),可得a2-c2=3c2,
又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.
所以,橢圓的方程為x24+y23=1.
(2)設(shè)直線l的斜率為k(k≠0),
則直線l的方程為y=k(x-2).
設(shè)B(xB,yB),由方程組x24+y23=1,y=
11、k(x-2)
消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.
解得x=2,或x=8k2-64k2+3,
由題意得xB=8k2-64k2+3,從而yB=-12k4k2+3.
由(1)知,F(1,0),設(shè)H(0,yH),有FH=(-1,yH),BF=9-4k24k2+3,12k4k2+3.
由BF⊥HF,得BF·FH=0,所以4k2-94k2+3+12kyH4k2+3=0,解得yH=9-4k212k.
因此直線MH的方程為y=-1kx+9-4k212k.
設(shè)M(xM,yM),由方程組y=k(x-2),y=-1kx+9-4k212k消去y,
解得xM=20k2+9
12、12(k2+1).
在△MAO中,∠MOA≤∠MAO?|MA|≤|MO|,
即(xM-2)2+yM2≤xM2+yM2,化簡得xM≥1,即20k2+912(k2+1)≥1,解得k≤-64,或k≥64.
所以,直線l的斜率的取值范圍為-∞,-64∪64,+∞.
4.解(1)由已知:直線m的方程為y=x-p2,代入y2=2px,得x2-3px+p24=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=3p,|AB|=x1+x2+p=4p,且線段AB的中點為32p,p,
由已知(7)2+32p2=(2p)2,
解得p=2或p=-2(舍去),
所以拋物線C的方程為y2=4x.
13、(2)設(shè)直線l:y=kx+2(k≠0),則D-2k,0,
聯(lián)立y=kx+2,y2=4x,得k2x2+4(k-1)x+4=0.
由Δ>0得k<12.設(shè)F(x3,y3),G(x4,y4),
則x3+x4=4-4kk2,x3x4=4k2.
PF=λ1FD?(x3,y3-2)=λ1-2k-x3,-y3,
PG=λ2GD?(x4,y4-2)=λ2-2k-x4,-y4,
所以λ1=x3-2k-x3=-kx3kx3+2,λ2=-kx4kx4+2.
則λ1+λ2=-kx3kx3+2-kx4kx4+2
=-2k2x3x4+2k(x3+x4)k2x3x4+2k(x3+x4)+4.
將x3+x4=
14、4-4kk2,x3x4=4k2代入上式得λ1+λ2=-1.
即λ1+λ2為定值-1.
5.解由題知F12,0.
設(shè)l1:y=a,l2:y=b,則ab≠0,
且Aa22,a,Bb22,b,P-12,a,Q-12,b,R-12,a+b2.
記過A,B兩點的直線為l,
則l的方程為2x-(a+b)y+ab=0.
(1)證明由于F在線段AB上,故1+ab=0.
記AR的斜率為k1,FQ的斜率為k2,
則k1=a-b1+a2=a-ba2-ab=1a=-aba=-b=k2.
所以AR∥FQ.
(2)設(shè)l與x軸的交點為D(x1,0),
則S△ABF=12|b-a||FD|=12|b-
15、a|x1-12,S△PQF=|a-b|2.
由題設(shè)可得2×12|b-a|x1-12=|a-b|2,
所以x1=0(舍去),x1=1.
設(shè)滿足條件的AB的中點為E(x,y).
當(dāng)AB與x軸不垂直時,由kAB=kDE可得2a+b=yx-1(x≠1).
而a+b2=y,所以y2=x-1(x≠1).
當(dāng)AB與x軸垂直時,E與D重合.
所以,所求軌跡方程為y2=x-1.
6.解(1)設(shè)橢圓的半焦距為c.
因為橢圓E的離心率為12,兩準(zhǔn)線之間的距離為8,
所以ca=12,2a2c=8,解得a=2,c=1,于是b=a2-c2=3,因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是x24+y23=1.
(2)由(1
16、)知,F1(-1,0),F2(1,0).
設(shè)P(x0,y0),因為P為第一象限的點,故x0>0,y0>0.
當(dāng)x0=1時,l2與l1相交于F1,與題設(shè)不符.
當(dāng)x0≠1時,直線PF1的斜率為y0x0+1,直線PF2的斜率為y0x0-1.
因為l1⊥PF1,l2⊥PF2,所以直線l1的斜率為-x0+1y0,直線l2的斜率為-x0-1y0,
從而直線l1的方程:y=-x0+1y0(x+1), ①
直線l2的方程:y=-x0-1y0(x-1). ②
由①②,解得x=-x0,y=x02-1y0,
所以Q-x0,x02-1y0.
因為點Q在橢圓上,由對稱性,得x02-1y0=±y0,即x02-y02=1或x02+y02=1.
又P在橢圓E上,故x024+y023=1.
由x02-y02=1,x024+y023=1,解得x0=477,y0=377;x02+y02=1,x024+y023=1,無解.
因此點P的坐標(biāo)為477,377.
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