新版高考數(shù)學(xué)備考沖刺之易錯點點睛系列專題 函數(shù)學(xué)生版
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1、 1
2、 1 函數(shù) 一、高考預(yù)測 本部分內(nèi)容的主要考點是:函數(shù)的表示方法、分段函數(shù)、函數(shù)的定義域和值域、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、本部分在高考試卷中一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),考查的重點是函數(shù)的性質(zhì)和圖象的應(yīng)用,重在檢測考生對該部分的基礎(chǔ)知識和基本方法的掌握程度.復(fù)習(xí)該部分以基礎(chǔ)知識為主,注意培養(yǎng)用函數(shù)性質(zhì)和函數(shù)圖象分析問題和解決問題的能力.二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)
3、的重要函數(shù)模型,也是函數(shù)內(nèi)容的主體部分,因此是高考重點考查的對象,在每年的高考試題中都會涉及到對這幾種函數(shù)模型的考查,既有可能在選擇題、填空題中出現(xiàn),也有可能在解答題中出現(xiàn),從難度上看,容易題、中檔題、難題均有可能出現(xiàn),以考查這些函數(shù)的圖象與性質(zhì)為主,同時還經(jīng)常將對這些內(nèi)容的考查與其他知識融合在一起,體現(xiàn)知識點的交匯. 二、知識導(dǎo)學(xué) 要點1:函數(shù)三要素 定義域的求法:當(dāng)函數(shù)是由解析式給出時,求函數(shù)的定義域,就是由函數(shù)的解析式中所有式子都有意義的自變量x組成的不等式(組)的解集;當(dāng)函數(shù)是由具體問題給出時,則不僅要考慮使解析式有意義,還應(yīng)考慮它的實際意義. 求函數(shù)值域的常用方法 :觀察法、
4、不等式法、圖象法、換元法、單調(diào)性法等. 函數(shù)的表示法:函數(shù)的表示法:解析法、圖象法和列表法.當(dāng)一個函數(shù)在定義域的不同區(qū)間上具有不同的對應(yīng)關(guān)系時,在不同的定義域區(qū)間上的函數(shù)解析式也不同,就要用分段函數(shù)來表示.分段函數(shù)是一個函數(shù). 要點2.函數(shù)的圖象 1.解決該類問題要熟練掌握基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì),善于利用函數(shù)的性質(zhì)來作圖,要合理利用圖象的三種變換.2.在研究函數(shù)性質(zhì)特別是單調(diào)性、最值、零點時,要注意用好其與圖象的關(guān)系、結(jié)合圖象研究. 要點3.函數(shù)的性質(zhì) (1)函數(shù)的奇偶性:緊扣函數(shù)奇偶性的定義和函數(shù)的定義域區(qū)間關(guān)于坐標(biāo)原點對稱、函數(shù)圖象的對稱性等對問題進行分析轉(zhuǎn)化,特別注意“奇函數(shù)
5、若在x=0處有定義,則一定有f(0)=0,偶函數(shù)一定有f(|x|)=f(x)”在解題中的應(yīng)用. (2)函數(shù)的單調(diào)性:一是緊扣定義;二是充分利用函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性和函數(shù)圖象的直觀性進行分析轉(zhuǎn)化.函數(shù)的單調(diào)性往往與不等式的解、方程的解等問題交匯,要注意這些知識的綜合運用. 要點4.二次函數(shù) 1.求二次函數(shù)在某段區(qū)間上的最值時,要利用好數(shù)形結(jié)合, 特別是含參數(shù)的兩種類型:“定軸動區(qū)間,定區(qū)間動軸”的問題,抓住“三點一軸”,三點指的是區(qū)間兩個端點和區(qū)間中點,一軸指的是對稱軸. 2.注意三個“二次”的相互轉(zhuǎn)化解題 3.二次方程實根分布問題,抓住四點:“開口方向、判別式Δ、對稱軸位置
6、、區(qū)間端點函數(shù)值正負.” 要點5.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 1.利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小 (1)底數(shù)相同,指數(shù)不同的冪用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較; 底數(shù)相同,真數(shù)不同的對數(shù)值用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較.(2)底數(shù)不同、指數(shù)也不同,或底數(shù)不同、真數(shù)也不同的兩個數(shù),可以引入中間量或結(jié)合圖象進行比較. 2.對于含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)問題,在應(yīng)用單調(diào)性時,要注意對底數(shù)進行討論,解決對數(shù)問題時,首先要考慮定義域,其次再利用性質(zhì)求解. 要點6.函數(shù)模型的實際應(yīng)用 解決函數(shù)模型的實際應(yīng)用題,首先應(yīng)考慮該題考查的是何種函數(shù),并要注意定義域,然后結(jié)合所給模型,列出函數(shù)關(guān)系式,最后結(jié)合其實際意義作出
7、解答.明確下面的基本解題步驟是解題的必要基礎(chǔ): →→→ 要點7.函數(shù)零點 1.函數(shù)零點(方程的根)的確定問題,常見的類型有(1)零點或零點存在區(qū)間的確定;(2)零點個數(shù)的確定;(3)兩函數(shù)圖象交戰(zhàn)的橫坐標(biāo)或有幾個交點的確定;解決這類問題的常用方法有:解方程法、利用零點存在的判定或數(shù)形結(jié)合法,尤其是那些方程兩端對應(yīng)的函數(shù)類型不同的方程多以數(shù)形結(jié)合法求解。 2.函數(shù)零點(方程的根)的應(yīng)用問題,即已知函數(shù)零點的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問題,解決該類問題關(guān)鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想,構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解。 3.用二分法求函數(shù)零點近似值,用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟(1
8、)確定區(qū)間[a,b],驗證f(a)·f(b)<0,給定精確度;(2)求區(qū)間(a,b)的中點;(3)計算f();①當(dāng)f()=0,則就是函數(shù)的零點;②若f(a)·f()<0,則令b=(此時零點),③若f()·f(b)<0,則令a=(此時零點)。(4)判斷是否達到其精確度,則得零點近似值,否則重復(fù)以上步驟。 三、易錯點點睛 命題角度1 函數(shù)的定義域和值域 1.對定義域Df、Dg的函數(shù)y=f(x),y=g(x),規(guī)定:函數(shù)h(x)= (1)若函數(shù)f(x)=,g(x)=x2,寫出函數(shù)h(x)的解析式; (2)求問題(1)中函數(shù)h(x)的值域. [考場錯解] (1)∵f(x)的
9、定義域Df為(-∞,1)∪(1,+∞),g(x)的定義域Dg為R. ∴h(x)= (2)當(dāng)x≠1時,h(x)==x-1++2≥4.或h(x)= ∈(-∞,0)∪(0,+∞). ∴h(x)的值域為(4,+∞),當(dāng)x=1時,h(x)=1.綜合,得h(x)的值域為{1}∪[4,+∞]. [專家把脈] 以上解答有兩處錯誤:一是當(dāng)x∈Df但xDg時,應(yīng)是空集而不是x≠1.二是求h(x)的值域時,由x≠1求h(x)=x-1++2的值域應(yīng)分x>1和x<1兩種情況的討論. [對癥下藥] (1)∵f(x)的定義域Df=(-∞,1)∪(1,+∞)·g(x)的定義域是Dg=(-∞,+∞)
10、.所以,h(x)= (2)當(dāng)x≠1時,h(x)= ==x-1++2. 若x>1,則x-1>0,∴h(x)≥2+2=4. 當(dāng)且僅當(dāng)x=2時等號成立. 若x<1,則x-1<0.∴h(x)=-[-(x-1)- ]+2≤-2+2=0.當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立.當(dāng)x=1時,h(x)=1.綜上得h(x)的值域為(-∞,0)∪{1}∪. [對癥下藥] (1)由2-≥0,得≥0,∴x<-1或x≥1.即A=(-∞,-1)∪[1,+∞]. (2)由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0, 當(dāng)a=1時,B= ?,∵定義域為非空集合,∴a≠1.當(dāng) a<1時,a+1>2a,∴
11、B=(2a,a+1),∵BA, ∴2a≥1或a+1≤-1,即a≥或a≤-2.而a<1,∴≤a≤1或a≤-2, 故當(dāng)BA時,實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-2)∪[,1]. 3.記函數(shù)f(x)=lg(2x-3)的定義域為集合M,函數(shù)g(x)=的定義域為集合N.求集合M,N; 集合M∩N.M∪N. [考場錯解] (1)由2x-3>0解得x>.∴M={x|x>}.由1-≥0 得x-1≤x-3∴-1≤-3.∴N= ?. (2)∴M∩N=?.M∪N={x|x>}. [專家把脈] 求集合N時解不等式1-≥0兩邊同乘以(x-1)不等號不改變方向,不符合不等式性質(zhì),應(yīng)先移項化為≥0的
12、形式再轉(zhuǎn)化為有理不等式,求解,另外定義域不可能為非空集合.∴N=?顯然是錯誤的. [對癥下藥] (1)由2x-3>0,得x>.∴M={x|x>}.由1-≥0得 ∴x≥3或x<1.∴N={x|x≥3或x<1}. (2)∴M∩N={x|x>}∩{x|x≥3或x>1}={x|x≥3}.M∪N={x|x>}∪{x|x≥3或x>1}={x|x>或x<1}. 4.若集合M={y|y=2-x},P={y|y=},則M∩P等于 ( ) A.{y|y>1} B.{y|y≥1} C.{y|y>0} D.{y|y≥0} [考場錯解] 選A或B
13、 [專家把脈]錯誤地認為是求函數(shù)y=2-x和y=的定義域的交集.實際上是求兩函數(shù)的值域的交集. [對癥下藥] ∵集合中的代表元素為y,∴兩集合表示兩函數(shù)的值域,又∴M={y|y=2-x}={y|y>0},P={y|y=}={y|y≥0}.∴M∩P={y|y>0},故選C. 專家會診1。對于含有字母的函數(shù)求定義域或已知其定義域求字母參數(shù)的取值范圍,必須對字母酌取值情況進行討論,特別注意定義域不能為空集。2.求函數(shù)的值域,不但要重視對應(yīng)法則的作用,而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用. 命題角度2 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 1.已知a≥0,且函數(shù)f(x)=(x2-2ax)ex在[-1,
14、1]上是單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍. [考場錯解] ∵f′(x)=ex(x2-2ax)+ex(2x-2a)=ex[x2+2(1-a)x-2a] 又∵f(x)在[-1,1]上是單調(diào)函數(shù), f′(x)≥0在[-1,1]上恒成立.即 ex[x2+2(1-a)x-2a≥0在[-1,1]上恒成立. ∵ex>0,g(x)=x2+2(1-a)x-2a≥0在[-1,1]上恒成立.即或△=4(1-a)2+8a<0或 解得:a∈?.故f(x)在[-1,1]上不可能為單調(diào)函數(shù). [專家把脈] 上面解答認為f(x)為單調(diào)函數(shù),f(x)就只能為單調(diào)增函數(shù),其實f(x)還有可能為單調(diào)減函數(shù),因此應(yīng)令f
15、′(x)≥0或f′(x)≤0在[-1,1]上恒成立. [對癥下藥] f′(x)=ex(x2-2ax)+ex(2x-2a)=ex[x2+2(1-a)x-2a] ∵f(x)在[-1,1]上是單調(diào)函數(shù).(1)若f(x)在[-1,1]上是單調(diào)遞增函數(shù). 則f′(x)≥0在[-1,1]上恒成立,即ex[x2+2(1-a)x-2a]≥0在[-1,1]上恒成立.∵ex>0.∴g(x)=x2+2(1-a)x-2a≥0在[-1,1]上恒成立,則有或△=4(1-a)2+8a<0或 解得,a∈?. 問的條件當(dāng)成第(2)問的條件,因而除了上述證明外,還需證明x0<-1時,方程也沒有負根. [對癥
16、下藥] (1)設(shè)-1
17、不存在x0<-1的解. 3.若函數(shù)f(x)=l0ga(x3-ax)(a>0且a≠1)在區(qū)間(-,0)內(nèi)單調(diào)遞增,則a的取值范圍是 ( ) A.[,1] B.[,1] C.[,+∞] D.(1,-) [考場錯解] A當(dāng)a∈(0,1)時,要使f(x)=loga(x3-ax)在區(qū)間(-,0)上單調(diào)遞增.∴x3-ax>0在(-,0)上恒成立,∴(-)3+a≥0 a≥.綜合得a∈[,1].當(dāng)a>1時,x3-ax>0在(-,0)上不可能成立. [專家把脈] 上面解答根本沒有按復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則進行判斷,而只是考慮函數(shù)的定義域,這樣的答案肯定是錯誤的.
18、 [對癥下藥] 設(shè)(x)=x3-ax 當(dāng)0<a<1時,依題意,(x)在(-,0)上單調(diào)遞減且(x)在(-,0)上大于0. ∵′(x)=3x2-a.即′(x)≤0在(-,0)上恒成立a≥3x2在(-,0)上恒成立. ∵x∈(-,0)∴3x2∈(0,). ∴a≥.此時(x)>0.∴≤a<1. 當(dāng)a>1時,(x)在(-,0)上單調(diào)遞增, ∴′(x)=3x2-a≥0在(-,0)上恒成立. ∴a≤3x2在(-,0)上恒成立. 又3x2∈(0,)·∴a≤0與a>1矛盾. ∴a的取值范圍是[,1].故選B. 專家會診 1.討論函數(shù)單調(diào)性必須在定義域內(nèi)進行,因此討論函數(shù)的
19、單調(diào)性必須求函數(shù)定義域. 2.函數(shù)的單調(diào)性是對區(qū)間而言的,如果f(x)在區(qū)間(a,b)與(c,d)上都是增(減)函數(shù),不能說 f(x)在(a,b)∪(c,d)上一定是增(減)函數(shù). 3.設(shè)函數(shù)y=f(u),u=g(x)都是單調(diào)函數(shù),那么復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在其定義域上也是單調(diào)函數(shù).若y=f(u)與u=g(x)的單調(diào)性相同,則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]是增函數(shù);若y=f(u),u=g(x)的單調(diào)性相反,則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]是減函數(shù).列出下表以助記憶. y=f(u) u=g(x) y=f[g(x)] ↗ ↗ ↗ ↗ ↘ ↘ ↘ ↘ ↗ ↘ ↗ ↘
20、 上述規(guī)律可概括為“同性則增,異性則減”. 命題角度3 函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用 1.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(x+2),當(dāng)x∈[3,4]時,f(x)=x-2.則 ( ) A.f(sin)<f(cos) B.f(sin)>f(cos) C.f(sin1)<f(cos1) D.f(sin)<f(cos) [考場錯解] A 由f(x)=f(x+2)知T=2為f(x)的一個周期.設(shè)x∈[-1,0]知x+4∈[3,4] ∴f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2.∴f(x)在[-1,0]上是增函數(shù)又f(x)為偶函數(shù).∴f(x)=
21、f(-x) ∴x∈[0,1]時,f(x)=x+2,即f(x)在[0,1]上也是增函數(shù).又∵sin<cosf(sin)<f(cos). [專家把脈] 上面解答錯在由f(x)=f(-x)得f(x)=x+2這一步上,導(dǎo)致錯誤的原因主要是對偶函數(shù)圖像不熟悉. [對癥下藥] C 由f(x)=f(x+2)知T=2為f(x)的一個周期,設(shè)x∈[-1,0],知x+4∈[3,4] ∴f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2. ∴f(x)在[-1,0]上是增函數(shù).又∵f(x)為偶函數(shù),∴f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱. ∴f(x)在[0,1]上是減函數(shù). A:si
22、n 23、相反.錯誤地認為f(x)在[0,+∞]上仍是減函數(shù),導(dǎo)致答案選錯.
[對癥下藥] D ∵f(x)是偶函數(shù),∴f(-x)=f(x)=f(|x|).∴f(x)<0.f(|x|)<f(2).又∵f(x)在(-∞,0)上是減函數(shù),∴f(x)在[0,+∞]上是增函數(shù),|x|<2-2 24、x)+f(-x+1)=0. ∴f(x)+f(x-1)=0
∴f(5)+f(4)=0.f(3)+f(2)=0.f(1)+f(0)=0.∴f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=-f(0)
[專家把脈] 上面解答忽視了奇函數(shù)性質(zhì)的運用.即f(x)在x=0處有定義f(0)=0.
[對癥下藥] 填0 依題意f(-x)=-f(x).f(x)=f(1-x).∴f(-x)=-f(1-x) 即f(-x)+f(1-x)= 0 f(x)+f(x-1)=0 ∴f(5)+f(4)=0,f(3)+f(2)=0. f(1)+f(0)=0.又∵f(x)在x=0處有定義,∴f(0)=0 25、∴f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=f(1)=-f(0)=O.
4.設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上滿足f(2-x)=f(2+x).f(7-x)=f(7+x),且在閉區(qū)間[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0.(1)試判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性; (2)試求方程f(x)=0在閉區(qū)間[-2005,2005]上根的個數(shù),并證明你的結(jié)論.
[考場錯解] 依題意f(x)=f(4-x).f(x)=f(14-x).∴f(4-x)=f(14-x),∴f(x)=f(x+10)∴f(x)是以 10為周期的函數(shù),f(3)=0.∴f(-3)=f(7)=0.∴f(3)=f(-3)=-f( 26、3).∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).
(2)由(1)知f(x)是周期為10的周期函數(shù),又f(3)=f(1)=0,∴f(11)=f(13)=f(-)=f(-9)=0.
故f(x)在[0,10]上有兩個解,從而可知函數(shù)y=f(x)在[0,2005]上有401個解.[-2005,0]上有401個解,所以函數(shù)丁y=f(x)在[-2005,2005]上有802個解.
[專家把脈] (1)對題意理解錯誤,題設(shè)中“在閉區(qū)間[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0”說明除了f(1)、f(3)等于 0外再不可能有f(7)=0.(2)因f(x)在R上既不是奇函數(shù),又不是偶函數(shù).不 27、能認為x∈[0,10],[-10,0]上各有兩個解,則認為在[0,2005]與在[-2005,0]上解的個數(shù)相同是錯誤的,并且f(x)=0在[0,2005]上解的個數(shù)不是401個,而是402個.
A.a(chǎn)∈(-∞,1) B.a(chǎn)∈[2,+∞] C.a(chǎn)∈[1,2] D.a(chǎn)∈(-∞,1)∪[2,+∞]
[考場錯解] 選A或B ∵a∈(-∞,1]∴f(x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù).∴f(x)存在反函數(shù).當(dāng)a∈[2,+∞).對稱軸x=a在區(qū)間[1,2]的右側(cè),∴f(x)在 [1,2]上是減函數(shù).∴f(x)存在反函數(shù).
[專家把脈] 上面解答只能說明A 28、或B是f(x)存在反函數(shù)的充分條件,并不是充要條件.
[對癥下藥] ∵一個函數(shù)在某區(qū)間上存在反函數(shù)的充要條件是此函數(shù)在這個區(qū)間上是單調(diào)函數(shù).
∴對稱軸x=a不應(yīng)在(1,2)內(nèi),∴a≤1或a≥2.故選C.
2. y=(1≤x≤2)的反函數(shù)是 ( )
A.y=1+(-1≤x≤1) B.y=1+(0≤x≤1)
C.y=1-(-1≤x≤1) D.y=1-(0≤x≤1)
[考場錯解] C ∵y2=2x-x2.∴(x-1)2=1-y2.∴x-1=-,∴x=1-.x、y對換得y=1- 又1-x2≥0.∴-1≤x≤1.因而f(x)的反 29、函數(shù)為y=1-(-1≤x≤1).
[專家把脈] 上面解答有兩處錯誤(一)∵1≤x≤2,∴x-1≥0.由(x-1)2=1-y2開方取“正號”而不是取“負號”;(二)反函數(shù)的定義域應(yīng)通過求原函數(shù)的值域而得到,而不是由反函數(shù)解析式確定.
[對癥下藥] B 由y=(x-1)2=1-y2.∴x∈[1,2]x-1∈[0,+∞].
∴x-1==1+.x、y對換得y=1+ 又∵y=(1≤x≤2).
∴0≤y≤1即原函數(shù)值域為[0,1].所以反函數(shù)為y=1-(0≤x≤1).選B.
3. 設(shè)f-1(x)是函數(shù)f(x)=(ax-a-x)(a>1)的反函數(shù),則使f-1(x)>1成立的x的取 30、值范圍為 ( )
A.(,+∞) B.(-∞,) C.(,a) D.(a,+∞)
[考場錯解] C ∵y= (ax-a-x),∴a2x-2y·ax-1=0.a(chǎn)x==y+.∴x=loga(y+),x、y對換.∴f-1(x)=loga(x+)(x∈R)又∵f-1(x)>1,∴l(xiāng)oga(x+)>1x +>a. >a-x∴ 31、y·ax-1=0,ax==y+
∴x=loga(y+).∴f-1(x)=loga(x+)(x∈R).∵f-1(x)>1
∴l(xiāng)oga(x+)>1x+>a>a-x<x<+∞.
解法2:利用原函數(shù)與反函數(shù)的定丈域、值域的關(guān)系.原題等價于x>1時,f(x)=(ax-a-x)的值域,∴f(x)=(ax-a-x)在R上單調(diào)遞增.∴f(x)>(a-)=.選A.
4. 設(shè)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(1,2)對稱,且存在反函數(shù)f-1(x),f(4)=0,f-1(4)=________.
[考場錯解] 填0 ∵y=f(x)的圖像關(guān)于點(1,2)對稱,又∵f(4)=0,∴f(0)= 32、4,∴f-1(4)=0
[專家把脈] 上面解答錯在由圖像過點(4,0)得到圖像過點(4,0)上,因為f(x)圖像關(guān)于點(1,2)對稱不是關(guān)于y=x對稱,因此應(yīng)找出圖像過點(-2,4)是關(guān)鍵.
[對癥下藥] 填-2.
解法1 ∵f(4)=0,∴f(x)的圖像過點(4,0).又∵f(x)的圖像關(guān)于點(1,2)對稱,∴f(x)的圖像過點 (2-4,4-0)即(-2,4).∴f(-2)=4.∴f-1(4)=-2.
解法2 設(shè)y=f(x)上任一點P(x、y)關(guān)于點(1,2)對稱的點為P′(2-x,4-y).依題意4-y=f(2-x),∴4-f(x)=f(2-x)f 33、(x)+f(2-x)=4.令x=4.∴f(4) +f(-2)=4.又f(4)=0,∴f(-2)=4.∴f-1(4)=-2.
專家會診 1.求反函數(shù)時必須注意:(1)由原解析式解出x=f-1(y),如求出的x不唯一,要根據(jù)條件中x的范圍決定取舍,只能取一個;(2)要求反函數(shù)的定義域,即原函數(shù)的值域. 2.分段函數(shù)的反函數(shù)可以分別求出各段函數(shù)的反函數(shù)后再合成. 3.若點(a,b)在原函數(shù)y=f(x)的圖像上,則(b,a)在反函數(shù)y=f-1(x)的圖像上.
解法2:依定義f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,f′(x)=-3x2+2x+t,
若f(x)在(- 34、1,1)上是增函數(shù),則在(-1,1)上恒有 f′(x)≥0,∵f′(x)的圖像是開口向下的拋物線. ∴當(dāng)且僅當(dāng)t≥5時,f′(x)在(-1,1)上滿足f′(x)>0.即f(x)在(-1,1)上是增函數(shù).故t的取值范圍是[5,+∞].
2.已知函數(shù)f(x)=ax-x2的最大值不大于,又當(dāng)x∈時,f(x)≥.
(1)求a的值; (2)設(shè)0 35、)在上的最小值為f() ∴f()≥.即≥. ② 綜合,①,②知≤a≤1.
[專家把脈] 上面解答錯在f(x)在的最小值的計算上,由①得-1≤a≤1.∴∈(-,),
∴對稱軸x=離端點較遠,因此,f(x)的最小值應(yīng)是f().而不是f().
[對癥下藥] (1)由于f(x)=ax-x2=-(x-)2+
∴f(x)的最大值為.∴≤,即a2≤1.∴-1≤a≤1
又x∈時,f(x)≥,即f(x)≥在上恒成立.∴≤[f(x)]min.由①得-1≤a≤1.∴-≤a≤.∴f(x)在上的最小值為f()=-.∴-≥.解得a≥1 ②
由①,②得a=1.
(2)(i) 36、當(dāng)n=1時,0<a1<,不等式0 37、最大值為正數(shù),求a的取值范圍.
[考場錯解] (1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0).∵f(x)+2x=ax2+(b+2)x+c>0的解集.為(1,3),∴1、3是方程ax2+(b+2)x+c=0的兩根,∴
∴f(x)=ax2-(2+4a)x+3a ① 由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0 ②
∵方程②有兩個相等的根,∴△=[-(2+4a)]2-4a·9a=0即 5a2-4a-1=0,解得a=1或a=-.
∴f(x)的解析式為f(x)=x2-6x+9或f(x)=- x2-x-.
(2)由f(x)=ax2-(2+4a)x+3a=a(x-)2-可得 38、f(x)的最大值為-.
令->0a(a+2+)(a+2-)<0解得0<-2-或-2+
39、 ①
由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0 ②
因為方程②有兩個相等的根,∴△=[-(2+4a)]2-4a·9a=0.即5a2-4a-1=0,解得a=1或a=-.
由于a<0,舍去a=1.將a=-代入①得f(x)的解析式為f(x)=- x2-x-.
(2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a(x-)2-及a<0,可得f(x)的最大值為-.由, 解得a<-2-或-2+<a<0.
專家會診
利用二次函數(shù)圖像可以求解一元二次不等式和討論一元二次方程的實根分布情況,還可以討論二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.對于根的分布 40、問題,一般需從三個方面考慮:①判別式;②區(qū)間端點函數(shù)值的正負;③對稱軸x=-與區(qū)間端點的關(guān)系.另外,對于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值要抓住頂點的橫坐標(biāo)與閉區(qū)間的相對位置確定二次函數(shù)的單調(diào)性進行求解.
命題角度6 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用
1.函數(shù)y=e|lnx|-|x-1|的圖像大致是 ( )
[考場錯解] 選A或B或C
[專家把脈] 選A,主要是化簡函數(shù)y=e|lnx|-|x-1|不注意分x≥1和x<1兩種情況討論,選B,主要是化簡時錯誤地認為當(dāng),x<1時,e|lnx|-|x-1|=-.選C,主要時當(dāng)x≥1時化簡錯誤.
[對癥下藥] 41、D ∵f(x)=e|lnx|-|x-1|=作出其圖像即可
2.(典型例題)在y=2x,y=log2x,y=x2,y=cos2x這四個函數(shù)中,當(dāng)0 42、)在(0,1)上是凸函數(shù),因此只有y=log2x適合.y=2x和y=x2在(0,1)上是函數(shù).y=cos2x在(0,)是凸函數(shù),但在(,1)是凹函數(shù),故選B.
3.若函數(shù)f(x)=loga(2x2+x)(a>0且a≠1)在區(qū)間(0, )內(nèi)恒有f(x)>0,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為
A.(-∞,-) B.(-,+∞) C.(0,+∞) D.(-∞,-)
[考場錯解] 選A或C
[專家把脈] 選A,求f(x)的單調(diào)區(qū)間時沒有考慮函數(shù)定義域?qū)е洛e誤;選C,求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時沒有注意內(nèi)、外層函數(shù)均遞減時,原函數(shù)才是增函數(shù).事實上 ( 43、0,+∞)是f(x)的遞減區(qū)間.
[對癥下藥] D ∵f(x)=loga(2x2+x)(a>0且a≠1)在區(qū)間(0,)內(nèi)恒有f(x)>0,若a>1,則由f(x)>0 x>或x<-1.與題設(shè)矛盾.∴00x>0或x<-.∴f(x)在(-∞,-)內(nèi)是增函數(shù).
4.已知函數(shù)f(x)=ln(ex+a)(a>0) (1)求函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)y=f-1(x)及f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x). (2)假設(shè)對任意x∈[ln(3a),ln(4a)].不等式|m-f-1(x)|lnf′(x)<0成立.求實數(shù)m的取值范圍.
[考場錯解] 44、 (1)由y=f(x)=ln(ex+a)得x=ln(ey-a).∴f-1(x)=ln(ex-a)(x>lna),f′(x)=[ln(ex+a)]′=
(2)由|m-f-1(x)|+ln[f′(x)]<0得-ln+ln(ex-a) 45、x)]max=ln(3a)-ln=ln(a) ∴l(xiāng)n(a) 46、)) 47、考場錯解] D 設(shè)甲地銷售x軸,則乙地銷售15-x輛.總利潤L=L1+L2=5.06x-0.15x2+2(15-x)=
-0.15x2+3.06x+30=-O.15(x-)2+46.806
∴當(dāng)x=時,獲得最大利潤46.806萬元.故選D.
[專家把脈] 上面解答中x=不為整數(shù),在實際問題中是不可能的,因此x應(yīng)根據(jù)拋物線取與x=接近的整數(shù)才符合題意.
[對癥下藥] B 設(shè)甲地銷售x輛.則乙地銷售(15-x)輛,則總利潤L=L1+L2=5.06x-0.15x2+2(15-x)=
-0.15x2+3.06x+30=-0.15(x-10.2)2+46.80 48、6. 根據(jù)二次函數(shù)圖像和x∈N*,∴當(dāng)x=10時,獲得最大利潤L=-0.15×102+3.06×10+30=45.6萬元.選B.
2.甲方是一農(nóng)場,乙方是一工廠,由于乙方生產(chǎn)須占用甲方的資源,因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補經(jīng)濟損失并獲得一定凈收入,在乙方不賠付甲方的情況下,乙方的年利潤x(元)與年產(chǎn)量t(噸)滿足函數(shù)關(guān)系x=2000,若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方S元(以下稱S為賠付價格).
[對癥下藥] (1)解法1
因為賠付價格為S元/噸,所以乙方的實際年利潤為:W=2000-St
∵W=2000-St=S(-)≤S=()2當(dāng)且僅當(dāng)=-即t=()2時,W 49、取得最大值. ∴乙方取得最大年利潤的年產(chǎn)量t=()2噸.
解法2 因為賠付價格為S元/噸,所以乙方的實際年利潤為W=2000-St.
∴W=2000-St=-S(-)2+ ∴當(dāng)t=()2時,w取得最大值.
∴乙方取得最大年利潤的年產(chǎn)量t=()2 (噸)
解法3 因為賠付價格為S元/噸,所以乙方的實際年利潤為:w=2000-St.
由w′=-S=,令w′=0得t=t0=()2.當(dāng)t 50、 ()2代入上式,得到甲方凈收入v與賠付價格S之間的函數(shù)關(guān)系式v=-.又v′=--令v′=0得S=20,當(dāng)S<20時,v′>0;當(dāng)S>20時,v′<0,∴S=20時,v取得最大值.因此甲方向乙方要求賠付價格S=20(元/噸)時,獲得最大凈收入.
3.某段城鐵線路上依次有A,B,C三站,AB=5km,BC=3km在列車運行時刻表上,規(guī)定列車8時整從A站發(fā)車,8時07分到達B站并停車1分鐘,8時12分到達C站,在實際運行時,假設(shè)列車從A站正點發(fā)車,在B站停留1分鐘,并在行駛時以同一速度vkm/h,勻速行駛,列車從A站到達某站的時間與時刻表上相應(yīng)時間之差的絕對值稱為列車在該站的運行誤差. (1 51、)分別寫出列車在B、C兩站的運行誤差; (2)若要求列車在B,C兩站的運行誤差之和不超過2分鐘,求v的取值范圍.
[考場錯解] (1)列車在B、C兩站的運行誤差(單位:分鐘)分別是|-7|和|-11|
(2)由于列車在B、C兩站的誤差之和不超過2分鐘,所以|-7|+|-11|≤2(*)
當(dāng)0 52、開始出現(xiàn)錯誤,導(dǎo)致后面結(jié)果全是錯誤的.
[對癥下藥] (1)列車在B、C兩站的運行誤差(單位:分鐘)分別是[-7]和[-11]
(2)由于列車在B、C兩站的誤差之和不超過2分鐘,∴|-7|+|-11|≤2(*)
當(dāng)0 53、中所示的山坡可視為直線l且點P在直線l上,l與水平地面的夾角為α,tanα=.試問,此人距山崖的水平距離多遠時,觀看塔的視角∠BPC最大(不計此人的身高)?
[考場錯解] 如圖所示,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(200,0),B(0,220),C(0,300)
直線l的方程為y=(x-200)tanα,即y=.設(shè)此人距山崖的水平距離為x,
則P(x,)(x>200),由經(jīng)過兩點的直線的斜率公式
kPC==kPB=.由直線PC到直線PB的角的公式得:
tan ∠BPC=
設(shè)u=∴ux2-(288u-64)x+160×640u=0 ①
∵u≠0∵x∈R.△=(288u-64) 54、2-4×160×640u2≥0. 解得 u≤2.
當(dāng)u=2時,x=320.即此人距山崖320米時,觀看鐵塔的視角∠BPC最大.
[專家把脈] 上述解答過程中利用x∈R由判別式法求u的最大值是錯誤的,因為x>200,即由判別式求得u的最大值,還必須檢驗方程①的根在(200,+∞)內(nèi).
[對癥下藥] 如圖所示,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(200,0),B(0,220),C(0,300).直線l的方程為y=(x-200)tanα,即y=.
設(shè)此人距山崖的水平距離為x,則P(x,)(x>200).由經(jīng)過兩點的直線的斜率公式
kPC=,kPB=.由直線PC到直線PB的角的公式 55、得
tan∠BPC==
要使tan∠BPC達到最大,只須x+達到最?。删挡坏仁?
x+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=時上式取得等號.故當(dāng)x=320時tan∠BPC最大.由此實際問題知,0<∠BPC<,所以tan∠BPC最大時,∠BPC最大,故當(dāng)此人距山崖水平距離為320米時,觀看鐵塔的視角∠BPC最大.
5.某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本(即固定投入)為0.5萬元,但每生產(chǎn)100件需要增加投入0.25萬元,市場對此產(chǎn)品的需要量為500件,銷售收入為函數(shù)為R(x)=5x-(0≤x≤5),其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位:百件). (1)把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)f(x).(2)年產(chǎn)量是多少時,當(dāng) 56、年公司所得利潤最大? (3)年產(chǎn)量是多少時,當(dāng)年公司不虧本?(取=4.65).
[考場錯解] (1)設(shè)年產(chǎn)量為x(百件),所以f(x)=5x-(0.5+0.25x)
(2)f(x)=- (x-4.75)2+∴當(dāng)x=4.75(百件)時[f(x)]max=×21.5625=10.78125(萬元)
(3)∵f(x)≥0,∴(x-4.75)2+≥0,解得0.1≤x≤9.4 ∴年產(chǎn)量10件到940件之間不虧本.
[專家把脈] 上述解答忽視了“市場對產(chǎn)品的需要量為500件”條件,事實上,當(dāng)產(chǎn)品生產(chǎn)量超過500件時,市場銷售最多只能是500件,事實上,因此,這時不能用 R(x)=5x-表 57、示收入,而是R(5).
[對癥下藥] (1)設(shè)年產(chǎn)量x(百件),所以f(x)=
(2)當(dāng)0≤x≤5時,f(x)=-5x-(0.5+0.25x)=-(x-4.75)2+
∴當(dāng)x=4.75(百件)時,[f(x)]max=×21.5625(萬元)
當(dāng)x>5時,f(x)=12-0.25x<12-1.25<×21.5625∴x=4.75時,[f(x)]max=×21.5625
即年產(chǎn)量是475件時,當(dāng)年公司所得利潤最大.
(3)當(dāng)0≤x≤5時,由f(x)≥0,-(x-4.75)2+≥0
∴0.1≤x≤5.(ⅱ)當(dāng)x>5時,12-0.25x≥05 58、≤x≤48.
即生產(chǎn)量在10件到4800件不虧本.
專家會診
與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題經(jīng)常涉及到物價、路程、產(chǎn)值、環(huán)保、稅收、市場信息等實際問題,也可涉及角度、面積、體積、造價的最優(yōu)化問題,解答這類問題的關(guān)鍵是建立相關(guān)函數(shù)的解析式,然后應(yīng)用函數(shù)知識加以解決.在求得數(shù)學(xué)模型的解后應(yīng)回到實際問題中去,看是否符合實際問題.
四、典型習(xí)題導(dǎo)練
1、則的值為 .
2、已知是定義在上的單調(diào)遞增函數(shù),且滿足,則實數(shù)的取值范圍是
A. B. C. D.
3、定義函數(shù),若存在常數(shù)C,對任意的,存在唯一的,使得,則稱函數(shù)在 59、D上的均值為C.已知,則函數(shù)上的均值為( )
A. B. C. D.10
4、若關(guān)于的不等式的解集為非空集,則實數(shù)的取值范圍是_________
5、已知,,規(guī)定:當(dāng)時, ;當(dāng)時, ,則
A. 有最小值,最大值1 B. 有最大值1,無最小值
C. 有最小值,無最大值 D. 有最大值,無最小值
6、下列函數(shù)中,滿足“對任意的,當(dāng)時,總有”的是( )
A. B. C. D.
7、已知的展開式中的常數(shù)項為,是以為周期的 偶函數(shù),且當(dāng)時,,若在區(qū)間內(nèi),函數(shù)有4個零點,則實數(shù)的取值范圍是 .
8、已知函數(shù),,則的圖 60、象只能是( )
① ② ③ ④
A. ① B. ② C. ③ D. ④
9、已知函數(shù)是(-∞,+∞)上的偶函數(shù),若對于,都有=,且當(dāng)x∈[0,2)時,=log2(x+1),則的值為( )
A.-2 B.-1 C.2 D.1
10、如果直線和函數(shù)的圖像恒過同一個定點,且該定點始終落在圓的內(nèi)部或圓上,那么的取值范圍是________.
11、設(shè)集合函數(shù)
且, 則的取值范圍是 .
12、已知函數(shù),且關(guān)于的方程有且只有一個實根,則實數(shù)的 61、范圍是( )
A. B. C. D.
13、若函數(shù),則函數(shù)在,上的不同零點個數(shù)為
A.2 B.3 C.4 D.5
14、定義在(—1,1)上的函數(shù)f(x)滿足:;當(dāng)時,有;若,,R=f(0).則P,Q ,R的大小關(guān)系為
A. B. C. D.不能確定
15、設(shè),若,滿足,則的取值范圍是 .
16、已知函數(shù),則當(dāng)時,下列結(jié)論正確的是
A. B.C. D.
17、直線與曲線有四個交點,則的取值范圍是
A . B. C. D.
18、若對于定義在上的函數(shù),其函數(shù)圖象是連續(xù)的,且存在常數(shù)(),使得對任意的實數(shù)x成立,則稱是“同伴函數(shù)”.下列關(guān)于“同伴函數(shù)”的敘述中正確的是
A.“同伴函數(shù)”至少有一個零點 B. 是一個“同伴函數(shù)”
C. 是一個“同伴函數(shù)” D. 是唯一一個常值“同伴函數(shù)”
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