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第三節(jié) 簡單的邏輯聯(lián)結詞、全稱量詞與存在量詞
考點一
含有邏輯聯(lián)結詞的命題的真假判斷
[例1] (2014·青島模擬)給出下列兩個命題，命題p1：y＝ln [(1－x)(1＋x)]為偶函數(shù)；命題p2：y＝ln為奇函數(shù)，則下列命題是假命題的是( )
A．p1∧p2 B．p1∨(非p2)
C．p1∨p2 D．p1∧(非p2)
[自主解答] 由題意知，y＝ln[(1－x)(1＋x)]與y＝ln的定義域均為(－1,1)，對于函數(shù)f(x)＝ln[(1－x)·(1＋x)]，f(－x)＝ln[(1＋
2、x)(1－x)]＝f(x)，即y＝ln[(1－x)(1＋x)]為偶函數(shù)，命題p1為真命題；對于函數(shù)g(x)＝ln，g(－x)＝ln＝－g(x)，即y＝ln是奇函數(shù)，命題p2是真命題，故p1∧(非p2)為假命題．
[答案] D
【方法規(guī)律】
判斷“p∧q”、“p∨q”、“非p”形式命題真假的步驟[來源:]
(1)準確判斷簡單命題p、q的真假；
(2)根據(jù)真值表判斷“p∧q”、“p∨q”、“非p”命題的真假．
已知l，m，n是空間中的三條直線，命題p：若m⊥l，n⊥l，則m∥n；命題q：若直線l，m，n兩兩相交，則直線l，m，n共面，則下列命題為真命題的是( )
A．p∧q
3、 B．p∨q
C．p∨(非q) D．(非p)∧q
解析：選C 命題p中，m，n可能平行，還可能相交或異面，所以命題p為假命題；
命題q中，當三條直線交于三個不同的點時，三條直線一定共面，當三條直線交于一點時，三條直線不一定共面，所以命題q也為假命題．所以命題非p和命題非q都為真命題，故p∨(非q)為真命題．
考點二
根據(jù)命題的真假求解參數(shù)的取值范圍
[例2] 已知命題p：關于x的方程x2－ax＋4＝0有實根；命題q：關于x的函數(shù)y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函數(shù)．若p或q是真命題，p且q是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－12
4、，－4]∪[4，＋∞) B．[－12，－4]∪[4，＋∞)
C．(－∞，－12)∪(－4,4) D．[－12，＋∞)
[自主解答] 命題p等價于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命題q等價于－≤3，即a≥－12.由p或q是真命題，p且q是假命題知，命題p和q一真一假．若p真q假，則a<－12；若p假q真，則－4
5、
【方法規(guī)律】
根據(jù)命題的真假性求參數(shù)的方法步驟
(1)求出當命題p，q為真命題時所含參數(shù)的取值范圍；
(2)判斷命題p，q的真假性；
(3)根據(jù)命題的真假情況，利用集合的交集和補集的運算，求解參數(shù)的取值范圍．
(2014·臺州模擬)已知命題p：關于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，命題q：函數(shù)y＝lg(ax2－x＋a)的定義域為R，如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，則實數(shù)a的取值范圍為________．
解析：由關于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，知0＜a＜1；
由函數(shù)y＝lg(ax2－x＋a)的定義域為R，知不
6、等式ax2－x＋a＞0的解集為R，則解得a＞.
因為p∨q為真命題，p∧q為假命題，所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”，
故或即a∈∪[1，＋∞)．
答案：∪[1，＋∞)
[來源:]
考點三
全稱命題、特稱命題
1．全稱命題與特稱命題是高考的?？純?nèi)容，題型多為選擇題，難度較小，屬容易題．
2．高考對全稱命題、特稱命題的考查主要有以下兩個命題角度：
(1)判斷全稱命題、特稱命題的真假性；
(2)全稱命題、特稱命題的否定．
[例3] (1)(2014·洛陽模擬)下列命題中為假命題的是( )
A．?x∈R,2x－1>0 B．
7、?x∈N*，(x－1)2>0
C．?x0∈R，lg x0<1 D．?x0∈R，tan x0＝2
(2)(2013·重慶高考)命題“對任意x∈R，都有x2≥0”的否定是( )
A．對任意x∈R，都有x2<0 B．不存在x∈R，使得x2<0
C．存在x0∈R，使得x≥0 D．存在x0∈R，使得x<0
(3)(2012·湖北高考)命題“?x0∈?RQ，x∈Q”的否定是 ( )
A．?x0??RQ，x∈Q B．?x0∈?RQ，x?Q
C．?x??RQ，x3∈Q D．?x∈?RQ，x3?Q
[自主解答]
8、 (1)A項，∵x∈R，∴x－1∈R，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得2x－1>0；B項，∵x∈N*，∴當x＝1時，(x－1)2＝0與(x－1)2>0矛盾；C項，當x0＝時，lg ＝－1<1；D項，當x0∈R時，tan x0∈R，∴?x0∈R，tan x0＝2.
(2)全稱命題的否定是特稱命題．“對任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，使得x＜0”．
(3)特稱命題的否定是全稱命題．“?x0∈?RQ，x∈Q”的否定是“?x∈?RQ，x3?Q”．
[答案] (1)B (2)D (3)D
全(特)稱命題問題的常見類型及解題策略
(1)全(特)稱命題的真假判斷．①要判斷一個全稱命題是真命題
9、，必須對限定的集合M中的每個元素x驗證p(x)成立，但要判斷一個全稱命題為假命題，只要能舉出集合M中的一個x＝x0，使得p(x0)不成立即可；②要判斷一個特稱命題為真命題，只要在限定的集合M中，找到一個x＝x0，使p(x0)成立即可，否則這一特稱命題就是假命題．
(2)全(特)稱命題的否定．全稱命題與特稱命題的否定與命題的否定有一定的區(qū)別，否定全稱命題和特稱命題時，一是要改寫量詞，全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；二是要否定結論，而一般命題的否定只需直接否定結論即可．
1．(2014·海淀模擬)命題p：?α∈R，sin(π－α)＝cos α；命題q：?m＞0，雙曲線－
10、＝1的離心率為.則下列結論正確的是( )
A．p是假命題 B．是真命題
C．p∧q是假命題 D．p∨q是真命題
解析：選D 依題意，對于命題p，注意到當α＝時，sin(π－α)＝sin α＝sin＝cos，因此命題p是真命題；對于命題q，注意到雙曲線－＝1的離心率e＝＝，因此命題q是真命題．故是假命題，p∧q是真命題，p∨q是真命題．
2．命題“函數(shù)y＝f(x)(x∈M)是偶函數(shù)”的否定可表示為( )
A．?x0∈M，f(－x0)≠f(x0)
B．?x∈M，f(－x)≠f(x)
C．?x∈M，f(－x)＝f(x)
D．?x0∈M，f(－x0)＝f(x0
11、)
解析：選A 由偶函數(shù)的定義及命題“函數(shù)y＝f(x)(x∈M)是偶函數(shù)”，可知“?x∈M，f(－x)＝f(x)”，該命題是一個全稱命題，其否定是一個特稱命題，即“?x0∈M，
f(－x0)≠f(x0)”．
3．已知a>0，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，若m滿足關于x的方程2ax＋b＝0，則下列選項中的命題為假命題的是( )
A．?x0∈R，f(x0)≤f(m)
B．?x0∈R，f(x0)≥f(m)
C．?x∈R，f(x)≤f(m)
D．?x∈R，f(x)≥f(m)
解析：選C ∵a>0，∴函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c在x＝－處取得最小值．
∴f(m)是函數(shù)f(x)的最
12、小值．故C為假命題．
———————————[課堂歸納——通法領悟]————————————————
1個關系——邏輯聯(lián)結詞與集合的關系
“且”“或”“非”三個邏輯聯(lián)結詞，對應著集合中的“交”“并”“補”．[來源:]
2類否定——含有一個量詞的命題的否定
(1)全稱命題的否定是特稱命題：全稱命題p：?x∈M，p(x)；：?x0∈M， (x0)．
(2)特稱命題的否定是全稱命題：特稱命題p：?x0∈M，p(x0)；：?x∈M，x)．
3點提醒——命題否定中的易錯點
(1)注意命題是全稱命題還是特稱命題，是正確寫出命題的否定的前提．[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
(2)注意命題所含的量詞，對于量詞隱含的命題要結合命題的含義顯現(xiàn)量詞，再進行否定．
(3)“p∨q”的否定是“()∧()”；“p∧q”的否定是“(∨()”．
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高考數(shù)學復習：第一章 ：第三節(jié)簡單的邏輯聯(lián)結詞、全稱量詞與存在量詞突破熱點題型
