新編高三數學復習 第8篇 第4節(jié) 雙曲線

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1、 第八篇　第4節(jié) 一、選擇題 1．(20xx安徽高三開學考試)已知雙曲線－＝1上一點M到A(5,0)的距離為3，則M到其左焦點的距離等于(　　) A．6　　　　　　　　　　 B．7 C．8 D．9 解析：由雙曲線的方程知a＝3，b＝4. 故c＝＝＝5. 所以A為雙曲線的右焦點，設左焦點為F，則由雙曲線的定義得||MA|－|MF||＝2a＝6，即|3－|MF||＝6， 解得|MF|＝9. 答案：D 2．(高考湖北卷)已知0<θ<，則雙曲線C1：－＝1與C2：－＝1的(　　) A．實軸長相等 B．虛軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等 解析

2、：雙曲線C1的半焦距c1＝＝1，雙曲線C2的半焦距c2＝＝1，故選D. 答案：D 3．(20xx泰安高三期末)以雙曲線－＝1的右焦點為圓心且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程為(　　) A．(x－)2＋y2＝ B．(x－)2＋y2＝3 C．(x－3)2＋y2＝ D．(x－3)2＋y2＝3 解析：由雙曲線方程知a＝，b＝，∴c＝＝3. 故雙曲線的右焦點為(3,0)，漸近線方程為y＝±x. 不妨取y＝x，即x－y＝0， ∵圓心到漸近線的距離等于圓的半徑， 即r＝＝， ∴圓的方程為(x－3)2＋y2＝3.故選D. 答案：D 4．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)，過其右焦點且

3、垂直于實軸的直線與雙曲線交于M、N兩點，O是坐標原點．若OM⊥ON，則雙曲線的離心率為(　　) A． B． C． D． 解析：設右焦點為F(c,0)， 則M，N， 又OM⊥ON， 故c2－＝0， 即b2＝ac， 從而c2－a2＝ac， 即e2－e－1＝0， 解得e＝(舍去負值)，故選C. 答案：C 5．(20xx陜西師大附中高三第四次模擬)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個焦點與拋物線y2＝4x的焦點重合，且雙曲線的離心率等于，則該雙曲線的方程為(　　) A．5x2－y2＝1 B.－＝1 C.－＝1 D．5x2－y2＝1 解析：因為雙曲線－＝1的

4、一個焦點與拋物線y2＝4x的焦點重合，所以c＝1，又因為雙曲線的離心率等于，所以＝，所以a＝，所以b2＝c2－a2＝，所以該雙曲線的方程為5x2－y2＝1.故選D. 答案：D 6．設連接雙曲線－＝1(a>0，b>0)與－＝1(b>0，a>0)的四個頂點的四邊形面積為S1，連接四個焦點的四邊形面積為S2，則的最大值是(　　) A．2 B．4 C． D．1 解析：S1＝2ab， S2＝2·＝2(a2＋b2)≥4ab， ∴≤＝.故選C. 答案：C 二、填空題 7．已知F1、F2分別為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點，點P在雙曲線C上，且∠F1PF2＝60°，則|PF1|·

5、|PF2|＝_______________________________. 解析：由題意知a＝1，b＝1，c＝，∴|F1F2|＝2， 在△PF1F2中，由余弦定理得 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝|F1F2|2＝8， 即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝8， ① 由雙曲線定義得||PF1|－|PF2||＝2a＝2，兩邊平方得 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4， ② ①－②得|PF1||PF2|＝4. 答案：4 8．(20xx廣東茂名市教學質量檢測)已知雙曲線x2－ky2＝1的一個焦點是(，0)，則

6、其漸近線方程為________． 解析：方程化為標準方程，得x2－＝1， 故a2＝1，b2＝，由題意 c2＝1＋＝5，解得k＝，所以雙曲線方程為x2－＝1，其漸近線方程為y＝±2x. 答案：y＝±2x 9．(高考陜西卷)雙曲線－＝1的離心率為，則m等于________． 解析：由雙曲線方程知a＝4， 又e＝＝，解得c＝5， 故有16＋m＝25，解得m＝9. 答案：9 10．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率e＝2，且它的一個頂點到較近焦點的距離為1，則雙曲線C的方程為________． 解析：雙曲線中，頂點與較近焦點距離為c－a＝1， 又e＝＝2， 兩式聯(lián)立

7、得a＝1，c＝2， ∴b2＝c2－a2＝4－1＝3， ∴方程為x2－＝1. 答案：x2－＝1 三、解答題 11．已知雙曲線關于兩坐標軸對稱，且與圓x2＋y2＝10相交于點P(3，－1)，若此圓過點P的切線與雙曲線的一條漸近線平行，求此雙曲線的方程． 解：切點為P(3，－1)的圓x2＋y2＝10的切線方程是 3x－y＝10. ∵雙曲線的一條漸近線與此切線平行，且雙曲線關于兩坐標軸對稱， ∴兩漸近線方程為3x±y＝0. 設所求雙曲線方程為9x2－y2＝λ(λ≠0)． ∵點P(3，－1)在雙曲線上，代入上式可得λ＝80， ∴所求的雙曲線方程為－＝1. 12．已知雙曲線－＝1

8、(a>0，b>0)的離心率為2，焦點到漸近線的距離等于，過右焦點F2的直線l交雙曲線于A、B兩點，F1為左焦點． (1)求雙曲線的方程； (2)若△F1AB的面積等于6，求直線l的方程． 解：(1)依題意，b＝，＝2?a＝1，c＝2， ∴雙曲線的方程為x2－＝1. (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由(1)知F2(2,0)． 易驗證當直線l斜率不存在時不滿足題意， 故可設直線l：y＝k(x－2)， 由 消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0， k≠±時，x1＋x2＝， x1x2＝， y1－y2＝k(x1－x2)， △F1AB的面積S＝c|y1－y2|＝2|k|·|x1－x2| ＝2|k|· ＝12|k|· ＝6. 得k4＋8k2－9＝0， 則k＝±1. 所以直線l方程為y＝x－2或y＝－x＋2.