7、,1]時(shí),不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.[-5,-3] B.
C.[-6,-2] D.[-4,-3]
解析:當(dāng)x∈(0,1]時(shí),得a≥-33-42+,
令t=,則t∈[1,+∞),a≥-3t3-4t2+t,
令g(t)=-3t3-4t2+t,t∈[1,+∞),則g′(t)=-9t2-8t+1=-(t+1)·(9t-1),顯然在[1,+∞)上,g′(t)<0,g(t)單調(diào)遞減,
所以g(t)max=g(1)=-6,因此a≥-6;同理,當(dāng)x∈[-2,0)時(shí),
得a≤-2.
由以上兩種情況得-6≤a≤-2,顯然當(dāng)x=0時(shí)也成立,
故實(shí)
8、數(shù)a的取值范圍為[-6,-2].
答案:C
9.若函數(shù)f(x)=2x+sin x對(duì)任意的m∈[-2,2],f(mx-3)+f(x)<0恒成立,則x的取值范圍是__________.
解析:f(-x)=-f(x),f(x)為奇函數(shù),
若x∈R時(shí),f′(x)=2+cos x>0恒成立,
∴f(x)在R上為增函數(shù),
又f(x)為奇函數(shù),故
在定義域內(nèi)為增函數(shù),∴f(mx-3)+f(x)<0可變形為f(mx-3)
9、<0,g(-2)<0,解得-30,
且函數(shù)f(x)=ln x+3x-8在(0,+∞)上為增函數(shù),
∴x0∈[2,3],即a=2,b=3.
∴a+b=5.
答案:5
11.已知函數(shù)f(x)=ax+xln x(a∈R).
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[e,+∞)上為增函數(shù),求a的取值范圍;
(2)當(dāng)a=1且k∈Z時(shí),不等式k
10、(x-1)1恒成立.
令g(x)=,則g′(x)=.
令h(x)=x-ln x-2(x>1),
則h′(x)=1-=
11、>0,
∴h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.
∵h(yuǎn)(3)=1-ln 3<0,h(4)=2-2ln 2>0,
∴存在x0∈(3,4)使h(x0)=0,即g′(x0)=0.
即當(dāng)1x0時(shí),h(x)>0,即g′(x)>0.
∴g(x)在(1,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增.
由h(x0)=x0-ln x0-2=0,得ln x0=x0-2,
g(x)min=g(x0)==
=x0∈(3,4),
∴k
12、 x.
(1)若在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)存在區(qū)間D,使得該函數(shù)在區(qū)間D上為減函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)當(dāng)00時(shí),由于函數(shù)y=2mx2-x+1的圖象的對(duì)稱軸x=>0,故需且只需Δ>0,即1-8m>0,解得m<.
故0
13、1.
從而方程mx2-x+ln x=2mx-m-1在(0,+∞)上有且只有一解.
設(shè)g(x)=mx2-x+ln x-(2mx-m-1),
則g (x)在(0,+∞)上有且只有一個(gè)零點(diǎn).
又g(1)=0,故函數(shù)g(x)有零點(diǎn)x=1.
則g′(x)=2mx-1+-2m==.
當(dāng)m=時(shí),g′(x)≥0,
又g(x)不是常數(shù)函數(shù),故g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
∴函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)x=1,滿足題意.
當(dāng)01,
由g′(x)>0,得0;
由g′(x)<0,得1
14、′(x),g(x)的變化情況如下表:
x
(0,1)
1
g′(x)
+
0
-
0
+
g(x)
極大值
極小值
根據(jù)上表知g<0.
又g(x)=mx+m+ln x+1.
∴g>0,
故在上,函數(shù)g(x)又有一個(gè)零點(diǎn),不滿足題意.
綜上所述,m=.
B組 能力提升練
1.若不等式2xln x≥-x2+ax-3對(duì)x∈(0,+∞)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-∞,0) B.(-∞,4]
C.(0,+∞) D.[4,+∞)
解析:2xln x≥-x2+ax-3,
則a≤2ln x+x+,設(shè)h(x)=2l
15、n x+x+(x>0),則h′(x)=.
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h′(x)<0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h′(x)>0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增,所以h(x)min=h(1)=4,所以a≤h(x)min=4.
答案:B
2.(20xx·運(yùn)城模擬)已知函數(shù)f(x)=ln x+tan α的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),若方程f′(x)=f(x)的根x0小于1,則α的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
解析:因?yàn)閒(x)=ln x+tan α,所以f′(x)=,
令f(x)=f′(x),得ln x+tan α=,
即tan α=-ln x.設(shè)g(x)=-ln x,
16、顯然g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
而當(dāng)x→0時(shí),g(x)→+∞,
所以要使?jié)M足f′(x)=f(x)的根x0<1,只需tan α>g(1)=1,
又因?yàn)?<α<,所以α∈.
答案:A
3.(20xx·宜州調(diào)研)設(shè)f(x)=|ln x|,若函數(shù)g(x)=f(x)-ax在區(qū)間(0,4)上有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析:令y1=f(x)=|ln x|,y2=ax,若函數(shù)g(x)=f(x)-ax在區(qū)間(0,4)上有三個(gè)零點(diǎn),則y1=f(x)=|ln x|與y2=ax的圖象(圖略)在區(qū)間(0,4)上有三個(gè)交點(diǎn).由圖象易知,當(dāng)a≤0時(shí),不符合
17、題意;當(dāng)a>0時(shí),易知y1=|ln x|與y2=ax 的圖象在區(qū)間(0,1)上有一個(gè)交點(diǎn),所以只需要y1=|ln x|與y2=ax的圖象在區(qū)間(1,4)上有兩個(gè)交點(diǎn)即可,此時(shí)|ln x|=ln x,由ln x=ax,得a=.令h(x)=,x∈(1,4),則h′(x)=,故函數(shù)h(x)在(1,e)上單調(diào)遞增,在(e,4)上單調(diào)遞減,h(e)==,h(1)=0,h(4)==,所以0).若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是( )
A. B.
C.(1,2) D.(0,+∞
18、)
解析:f′(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a).
由f′(x)=0,得x=-1或a(a>0).
當(dāng)x變化時(shí)f′(x)與f(x)的變化情況如表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,a)
a
(a,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
極大值
極小值
故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-1),(a,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間是(-1,a).
可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,-1)內(nèi)單調(diào)遞增;在區(qū)間(-1,0)內(nèi)單調(diào)遞減.
從而函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn),
當(dāng)且僅當(dāng)解得0
19、值范圍是.
答案:A
5.(20xx·鄭州模擬)若函數(shù)f(x)=x2+-aln x(a>0)有唯一的零點(diǎn)x0,且m0,x>0).因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有唯一零點(diǎn)x0,所以函數(shù)g(x),h(x)的圖象有唯一一個(gè)交點(diǎn),即g(x),h(x)有唯一公切點(diǎn)(x0,y0),即由得x+-2ln x0=0,令φ(x)=x+-2ln x0,則φ(1)=3>0,φ(2)=5-7ln 2>0,φ(e)=-e2+<0,所以x0∈(2,e
20、),所以m=2,n=3,所以m+n=5.
答案:C
6.若函數(shù)f(x)=+1(a<0)沒有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________.
解析:f′(x)==.
當(dāng)a<0時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
極小值
若使函數(shù)f(x)沒有零點(diǎn),
當(dāng)且僅當(dāng)f(2)=+1>0,解得a>-e2,
所以此時(shí)-e2
21、4,4]恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________.
解析:令h(x)=g(x)-f(x)
=x3-x2-3x+m,
則h′(x)=(x-3)(x+1).
所以當(dāng)-40;
當(dāng)-10.
要使f(x)≥g(x)恒成立,即h(x)max≤0,
由上知h(x)的最大值在x=-1或x=4處取得,
而h(-1)=m+,h(4)=m-,
所以m+≤0,即m≤-,
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
答案:
8.(20xx·長(zhǎng)沙模擬)已知函數(shù)f(x)=x|x2-a|,若存在x∈[1,2],使得f(x)<2
22、,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.
解析:當(dāng)x∈[1,2]時(shí),f(x)=|x3-ax|,
由f(x)<2可得-2-5,即a<5;
設(shè)h(x)=-x2+,導(dǎo)數(shù)為h′(x)=-2x-,
當(dāng)x∈[1,2]時(shí),h′(x)<0,
即h(x)在[1,2]上單調(diào)遞減,可得h(x)max=-1+2=1.即有-a<1,即a>-1.
綜上可得,a的取值范圍是
23、-1
24、貴陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)=1-,g(x)=x-ln x.
(1)證明:g(x)≥1.
(2)證明:(x-ln x)f(x)>1-.
證明:(1)g′(x)=,當(dāng)01時(shí),g′(x)>0,
即g(x)在(0,1)上為減函數(shù),在(1,+∞)上為增函數(shù).
所以g(x)≥g(1)=1,得證.
(2)f(x)=1-,f′(x)=,
所以當(dāng)02時(shí),f′(x)>0,
即f(x)在(0,2)上為減函數(shù),在(2,+∞)上為增函數(shù),
所以f(x)≥f(2)=1-,①
又由(1)知x-ln x≥1,②,且①②等號(hào)不同時(shí)取得.
所以(x-ln x)f(x)>1-.