幾何條件代數(shù)化與代數(shù)運算幾何化

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1、 幾何條件代數(shù)化與代數(shù)運算幾何化 ——突破解析幾何難點之兩方法 解析幾何解題方向：找關(guān)系。 （1）找 k1 , k2 關(guān)系，設(shè)直線方程； （2）找 x1, x2 關(guān)系，找解 題方向；（ 3）找所設(shè)兩變量關(guān)系（如找 k 與 m 關(guān)系，找 x1 x2 與 x1x2 關(guān)系等），進行消元。 方法：代數(shù)運算幾何化。 幾何條件代數(shù)化：把題目中的幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系（一般是坐標(biāo)關(guān)系） 。所謂“代數(shù)運算幾何化”是指：執(zhí)行代數(shù)運算時，要結(jié)合幾何條件。畢竟，解析幾何研 究的是幾何問題。常見文字表述是“點在曲線上” ，通過代數(shù)運算可找到“兩變量之間的

2、關(guān)系”，達到“消元目標(biāo)” 。這是種“消元意識” 。大多數(shù)同學(xué)解析幾何題解不出，缺的就是這種“運算能力和消元意識” 。 其它重要意識： 幾何條件代數(shù)化； 一般問題特殊化； 最值問題多樣化； 去除思維模式化。 下面以春期周考數(shù)學(xué)理科解析幾何題來說明。 1、（第一次周考） x2 y2 1(a b 0) 的右焦點為 F，過點 F 的直線 l 與橢圓 C 相交于 A ， 21. 設(shè)橢圓 C： b2 a2 B 兩點，直線 l 的傾斜角為 60o ， AF 2FB . （ 1）求橢圓 C 的離心率；（ 2）如果 |AB|=

3、 15 ，求橢圓 C 的方程 . 4 分析： 1 、幾何條件代數(shù)化： AF 2FB 本質(zhì)特征： F, A, B且 AF 2 FB ；代數(shù)關(guān) 系： y1 2 y2 或 c x1 2( x2 c) . 15 |AB|= 代數(shù)關(guān)系：弦長公式。 4 解題方向：聯(lián)立直線和橢圓方程解題。 （21）解：設(shè) A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，由題意知 y1 ＜ 0， y2 ＞ 0. （Ⅰ）直線 l 的方程為 y 3 ( x c)，其中 c a2 b2

4、 . y 3( x c), 聯(lián)立 x2 y2 1 得 (3a2 b2 ) y2 2 3b2cy 3b4 0 a2 b2 解得 y1 3b2 (c 2a) , y2 3b2 (c 2a) 因為 AF 2FB ，所以 y1 2 y2 . 3a2 b2 3a2 b2 即 3b2 (c 2a) 2 3b2 (c 2a

5、) 得離心率 e c 2 . ,, 6 分 3a2 b2 3a2 b2 a 3 - 1 - （Ⅱ）因為 AB 1 1 y2 y1 ，所以 2 4 3ab2 15 . 由 c 2 得 b 5 a . 3 3 3a2 b2 4 a 3 3 所以 5 a 15 ，得 a=3， b 5 . 橢圓 C 的方程為 x2 y2 1 . ,, 12 分

6、 4 4 9 5 2、（第二次周考） 21.設(shè) A(x1, y1), B( x2 , y2 ) 是橢圓 y2 x2 1(a b 0) 上的兩點，已知向量 m ( x1 , y1 ), a2 b2 b a n ( x2 , y 2 ) ，若 m n 0 且橢圓的離心率 e 3 ，

7、短軸長為 2， O 為坐標(biāo)原點。 2 b a （ 1）若直線 AB 過橢圓的焦點 （ 為半焦距 ）， 求直線 AB 的斜率 k 的值。 F（0， c） c （ 2）試問： AOB 的面積是否為定值？如果是， 請給予證明； 如果不是， 請說明理由。 分析： 1、幾何條件代數(shù)化：平面向量條件 m n 0 本質(zhì)特征： m 與 n 垂直；代數(shù)關(guān) 系： x1 x2 y1 y2 0 .

8、 b2 a2 A O B的面積 代數(shù)關(guān)系：弦長公式和點到直線的距離公式。 2、一般問題特殊化 直線 AB 分斜率存在與不存在討論。 3 、代數(shù)運算幾何化 利用 m n 0 找 k,b 關(guān)系， 2b2 k 2 4, 把二元轉(zhuǎn)化為一元。 解題方向：聯(lián)立直線和橢圓方程解題。 21.（ 1） 2b

9、2, b 1,e c a2 b2 3 a a ，解得 a= 2, 2 所求橢圓的方程為 y2 x 2 1 4 c 3, 設(shè)直線

10、 的方程為 y kx 3 ，與橢圓方程聯(lián)立，得 y kx 3, 知 AB y 2 x2 1, 4 消元，得 (k 2 4) x2 2 3kx 1 0, A( x , y ), B( x , y ) 則 1 1 2 2

11、 2 3k 1 。 x1 x2 k2 4 , x1 x2 k 2 4 由已知 m n 0得 - 2 - x1 x2 y1 y2 x1 x2 1 ( kx1 3)( kx

12、2 3) (1 k 2 ) x1x2 3k ( x1 x2 ) 3 b2 a2 4 4 4 4 k2 4 ( 1 ) 3k ( 2 3k ) 3 0,解得 k 2 4 k 2 4 4 k 2 4 4 （ 2 ）①當(dāng)直線 AB 斜率不存在時，即 x x , y 1 y , 則聯(lián)立，得 m n 0

13、 整理，得 1 2 2 x12 y12 0, 又點 A ( x , y ) 在橢圓上，故 x12 y12 1 ，解得 | x | 2 ,| y | 2 4 1 1 4 1 2 1 AOB 的面積 S 1 | x1 || y1 y2 | 1 | x1

14、| 2 | y1 | 1 2 2 y kx b, ②當(dāng)直線 AB 斜率存在時，設(shè) AB 的方程為 y=kx+b ,聯(lián)立，得 y 2 x2 1, 整理，得

15、 4 (k 2 4) x2 2kbx b2 4 0 ，由 m n 0 得 x1x2 y1 y2 0, 4 即 x1x2 ( kx1 b)( kx2 b) 0 ， 將 x1 x 2 2kb , x x1 2 2kb 代入整理，得 4

16、 k 2 4 k 2 4 2b2 k2 4, AOB 的面積 S 1 | b | |AB| 1 |b | ( x1 x2 )2 4 x1 x2 2 1 k2 2 | b | 4k2 4b2 16 | b | 8b2 4b2 = k2 4 2b2 1

17、 三角形的面積為定值 1。 2、（第三次周考） 已知 O 為坐標(biāo)原點， F 為橢圓 C ： x2 y 2 1在 y 軸正半軸上的焦點， 20. 2 過 F 且斜率為 2 的直線

18、 l 與 C 交與 A 、 B 兩點，點 P 滿足 OA OB OP 0. (1)證明：點 P 在 C 上； (2)設(shè)點 P 關(guān)于點 O 的對稱點為 Q ，證明： A 、 P 、 B 、 Q 四點在同一圓上 . 分析： 1、幾何條件代數(shù) 化： OA OB OP 0 本質(zhì)特征： OP ( OA OB) ；代 數(shù)關(guān)系： x3 ( x1 x2 ) 2 , y3 ( y1 y2 ) 1, .

19、 2 A、 P 、 B、 Q四點在同一圓上 本質(zhì)特征：找圓心， PQ 與 AB 垂直平分線交于圓 - 3 - 心，圓心到四點距離相等；代數(shù)關(guān)系：找斜率與直線上一點。 解題方向：聯(lián)立直線和橢圓方程解題。 20.(1) F (0,1) , l 的方程為 y 2x 1 ,代入 x2 y2 1并化簡得 4x2 2 2x 1 0. 2 設(shè) A( x1 , y1

20、 ), B( x 2 , y2 ), P( x3 , y3 ) ,則 x1 2 6 2 6 , 4 , x2 4 x1 x2 2 , y1 y2 2( x1 x2 ) 2 1, 2 由題意得 x3 (x1 x2 ) 2 , y3 ( y1 y2 ) 1, 所以點 P 的坐標(biāo)為 ( 2, 1). 2 2 經(jīng)驗證點 P 的

21、坐標(biāo) ( 2 , 1) 滿足方程 x2 y2 1,故點 P 在橢圓 C 上 2 2 (2)由 P ( 2 , 1) 和題設(shè)知， Q ( 2 ,1) ， PQ 的垂直平分線 l1 的方程為 2 2 y 2 x . ① 設(shè)AB的中點為 M ,則M( 2 , 1 ) , AB 的垂直平分線 l 2 的方程為 2 4 2 y 2 x 1 . ② 由①、②得 l1 、 l2 的交點為 N ( 2,

22、1). 2 4 8 8 | NP| ( 2 2 )2 (11)2 3 11,|AB| 1 ( 2) 2 g| x2 x1 | 3 2 , 2 8 8 8 2 |AM| 3 2 , |MN | ( 2 2 ) 2 (1 1)2 3 3 , 4 4 8 2 8 8 |NA| |AM|2 |MN |2 3 11,故 |NP| |NA|,又 |NP| |NQ|, |NA| |N

23、B|,所 8 以 , |NA| |NP| |NB| |NQ 由此知 A 、 P 、 B 、 Q 四點在以 N 為圓心 , NA為半徑的圓上 。 4、（第四次周考） 20.設(shè)橢圓 E : x 2 y 2 1(a,b 0) 過 M（ 2， 2 ），N（ 6 ， 1）兩點， O 為坐標(biāo)原點 . a 2 b 2 （1）求橢圓 E 的方程； - 4 -

24、 （ 2）是否存在圓心在原點的圓 ,使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個交點 A，B， 且 OA OB ？若存在，寫出該圓的方程，并求 |AB |的取值范圍；若不存在，說明理由. 分析： 1、幾何條件代數(shù)化：平面向量條件 OA OB 本質(zhì)特征： OA 與 OB 垂直；代 數(shù)關(guān)系： x1x2 y1 y2 0 . 2、圓的切線 圓心到切線的距離等于半徑，找 k, m 關(guān)系。 |AB|的取值范圍 代數(shù)關(guān)系：弦長公式和范圍問題多樣化。 3、一般問題特

25、殊化 分斜率存在與不存在討論。 無斜率任何條件時， 直線設(shè)成 y kx m . 4、代數(shù)運算幾何化 利用 x1 x2 y1 y2 0找 k, m 關(guān)系， m 2 8 (1 k2 ) 把二元轉(zhuǎn)化為一 3 元。 解題方向：聯(lián)立直線和橢圓方程解題。 20.解：（ 1）將 M , N 的坐標(biāo)代入橢圓 E 的方程得 4 2 1 x 2

26、 y 2 a2 b 2 解得 a 2 8,b 2 4. 6 1 所以橢圓 E 的方程為 1. 1 8 4 a2 b 2 （ 2）證明：假設(shè)滿足題意的圓存在，其方程為 x 2 y2 R2，其中 0 R 2. 設(shè)該圓的任意一條切線 AB 和橢圓 E 交于 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）兩點， 當(dāng)直線 AB 的斜率存

27、在時，令直線 AB 的方程為 y kx m ，① 將其代入橢圓 E 的方程并整理得 (2k 2 1) x2 4kmx 2m2 8 0. 由韋達定理得 x1 x2 4km , x1 x 2 2m 2 8 . ② 2k 2 1 2k 2 1 因為 OA OB， 所以 x1 x2 y1 y2 0.③ 將①代入③并整理得 (1 k 2 ) x1 x2

28、 km( x1 x2 ) m2 0 聯(lián)立②得 m2 8 (1 k 2 ) ④ 3 因為直線 AB 和圓相切，因此 R | m | ,由④得 R 2 6 , 1 k 2 3 所以 存在圓 x2 y 2 8 滿足題意 . 3 - 5 - 當(dāng)切

29、線 AB 的斜率不存在時，易得 x12 x22 8 , 由橢圓方程得 y12 y22 8 3 3 顯然 OA OB， 綜上所述，存在圓 x2 y2 8 滿足題意 . 3 解法一： 當(dāng)切線 AB 的斜率存在時，由①②④得 | AB | ( x x 2 )2 ( y 1 y 2 ) 2 1 1 k 2 ( x1 x2 ) 2 1 k 2 ( x1 x2 )2 4x1 x2 1 k 2 4km ) 2 2m

30、2 8 4 k 2 1 2 k 2 1 ( 2 1 4 2k 2 1 2 2 1 1 2k 2 1 2k 2k 3 k 2 1 1 t 2 2 64 3 ) 2 12. 令 t 2 ，則 2 1，因此 | AB | 32t (1 t) (t 4 2k 1 3 3 所以 32 |AB|2 12，即 4 6 |AB| 2 3.

31、 3 3 當(dāng)切線 AB 的斜率不存在時，易得 |AB| 4 6 ，所以 4 6 |AB| 2 3. 3 3 綜上所述，存在圓心在原點的圓 x 2 y2 8 滿足題意，且 4 6 |AB| 2 3 . 3 3 5、（第五次周考） 20.

32、已知橢圓 x2 y2 1(a b 0) 的離心率為 2 ，且橢圓上任意一點到右焦點 F 的距離 a2 b2 2 的最大值為 2 1. （ 1）求橢圓的方程； （ 2）已知點 C (m,0) 是線段 OF 上異于 O, F 的一個定點（ O 為坐標(biāo)原點） ，是否存在過 點 F 且與 x 軸不垂直的直線 l 與橢圓交于 A, B 兩點，使得 AC BC ，請說明理由。 分析： 1、幾何條

33、件代數(shù)化： AC BC 本質(zhì)特征：點 C 在線段 AB 的垂直平分線上； 代數(shù)關(guān)系：找線段 AB 的中點與中垂線的斜率 . 2、代數(shù)運算幾何化 利用點 C (m,0) 在 x 軸上，令 y 0, 下面就是個范圍問題！點 C 在 線段 OF 上異于 O, F 或不在，由 m 的范圍。范圍問題多樣化。 - 6 - 解題方向：聯(lián)立直線和橢圓方程解題。 6、（第六次周考） 20、如圖， 已知 A 、 B 、C 是長軸長為 4 的橢圓上的三點， 點 A 是長軸的一

34、個頂點， BC 過 橢圓中心 O ，且 AC BC 0， BC 2AC， （ 1）求橢圓的方程； Q PCQ 2 P 、 使 的平分線垂直 AO ，則 （ ）如果橢圓上兩點 是否存在實數(shù) 使 PQ AB ？請說明理由。 分析： 1、幾何條件代數(shù)化： AC BC 0 本質(zhì)特征： AC BC ；代數(shù)關(guān)系：找線段 AB 的中點與中垂線的斜率 . BC 2AC,則 OC AC 本質(zhì)特

35、征： ACO 是等腰直角三角形；代數(shù)關(guān)系：由此知 點 C 的坐標(biāo)，從而求方程； PCQ 的平分線垂直 AO 本質(zhì)特征： 傾斜角互為相反數(shù)； 代數(shù)關(guān)系：設(shè)一直線斜率為 k ， 另一個為 k ； PQ AB 本質(zhì)特征： PQ AB ；代數(shù)關(guān)系：斜率相等。即證 kPQ kAB 1 ，關(guān)鍵在 3 于求出 P,Q 點的坐標(biāo) 解題方向：聯(lián)立直線和橢圓方程解題。 20 解（ 1）以 O 為原點，

36、 OA 所在的直線為 x 軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 則 A（2，0），設(shè)所求橢圓的方程為： x 2 y =1(0

37、?5 分 （ 2）由于∠ PCQ 的平分線垂直 OA（即垂直于 x 軸），不妨設(shè)直線 PC 的斜率為 k，則直 線 QC 的斜率為 -k，直線 PC 的方程為： y=k(x-1)+1, 直線 QC 的方程為 y=-k(x-1)+1, y k( x 1) 1 得： (1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0 （ *） 由 3y 2 4 0 ?????8 分 x2 ∵點 C（ 1，1）在橢圓上，∴ x=1 是方程（ * ）的一個根，則其另一

38、根為 3k 2 6k 1 1 3k 2 ,設(shè) P 3k 2 3k 2 （xP,yP） , Q(xQ ,yQ),xP = 6k 1 6k 1 1 3k 2 , 同理 xQ= 3k 2 , 1 - 7 - 3k 2 6k 1 3k 2 6k 1 yP yQ k( xP xQ ) 2k k ( 1 3k 2 1 3k 2 ) 2k 1 kP

39、Q= xQ xP xQ 3k 2 6k 1 3k 2 6k 1 ??? 10分 xP 3 1 3k 2 1 3k 2 而由對稱性知 B(-1,-1), 又 A（ 2， 0） ∴ kAB= 1 3 ∴ kPQ=kAB，∴ AB 與 PQ 共線，且 AB ≠0,即存在實數(shù) λ，使 PQ =λAB . ?? 12分 7、（第七次周考） 20. 已知直線 l 與拋物線 x

40、2 4 y 相切于點 P(2,1) 且與 x 軸交于點 A,O 為坐標(biāo)原點。 定 點 B(2,0) ，動點 Q 滿足 AB BQ 2 AQ 0 . （ 1）求動點 Q 的軌跡 C 的方程； （ 2）是否存在圓心在原點的圓，只要該圓的切線與動點 Q 的軌跡 C 有兩個不同交點 M , N ，就一定有 OM ON 0 ？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由。 分析： 1 、幾何條件代數(shù)化： OM ON 0 本質(zhì)特征： OM 與 ON 垂直；代數(shù)關(guān)系： x1 x2 y1 y2

41、0 . 圓的切線 圓心到切線的距離等于半徑，找 k, m 關(guān)系。 2、代數(shù)運算幾何化 利用 x1x2 y1 y2 0 找 k,m 關(guān)系，m2 8(1 k 2 ) 把二元轉(zhuǎn)化為一元。 3 解題方向：聯(lián)立直線和橢圓方程解題。同第四次周考題。 8、（第八次周考） x2 y2 b 0) 的離心率為 1 2， 20.已知橢圓 C: 2 2 1(a 3 ，且橢圓上的點到焦點的最近距離為 a b

42、 若橢圓 C 與 x 軸交 A,B 兩點， M 是橢圓 C 上異于 A, B 的任意一點，直線 MA 交直線 l : x 9 于 G 點，直線 MB 交直線 l 于 H 點。 （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）試探求以 GH 為直徑的圓是否恒經(jīng)過 x 軸上的定點？若經(jīng)過，求出定點的坐標(biāo)；若 不經(jīng)過，請說明理由。 分析： 1 、幾何條件代數(shù)化： OM ON 0 本質(zhì)特征： OM 與 ON 垂直；代數(shù)關(guān)系： x1 x2 y1 y2 0 .

43、 圓的切線 圓心到切線的距離等于半徑，找 k, m 關(guān)系。 2、代數(shù)運算幾何化 利用 x1x2 y1 y2 0 找 k,m 關(guān)系，m2 8(1 k 2 ) 把二元轉(zhuǎn)化為一元。 3 - 8 - 解題方向：聯(lián)立直線和橢圓方程解題。同第四次周考題。 9（第九次周考） y B 2 F 20. C : y x 的焦點為 F ，動點 P 在直線 如圖，設(shè)拋物線 A l

44、: x y 2 0上運動，過 P 作拋物線 C 的兩條切線 PA， PB， O x 且與拋物線 C 分別相切于 A， B 兩點． P （ 1）求 △ APB 的重心 G 的軌跡方程． （ 2）證明∠ PFA=∠PFB ． 20.解：（ 1）設(shè)切點 A ， B 坐標(biāo)分別為 x0, x02 和 x1， x12 x1 x0 ， 切線 AP 的方程為： 2x0 x y x02 0 ；切線 BP 的方程為： 2x1 x y x12 0 ；

45、 2 x0 x1 x0 x1 由于 P 既在 AP 又在 BP 上，所以 2x0 xP yP x0 0 x p 解得 2 ，P( , x0 x1) 2x1xP yP x12 0 2 y p x0 x1 所以 △ APB 的重心 G 的坐標(biāo)為 xG x0 x1 xp x p ， 3

46、 y0 y1 yp x02 x12 x0 x1 x0 x1 2 4x2p yp yG x0 x1 3 3 3 3 ， 所以 yP 3yG 4xG2 ，由點 P 在直線 l 上運動，從而得到重心 G 的軌跡方

47、程為： x 3y 4x2 2 0，即 y 1 4x2 x 2 ． 3 （2）方法 1：因為 FA x0，x02 1 ， FP x0 2 x1 ，x0 x1 1 ，F(xiàn)B x1，x12 1 ． 4 4 4 由于 P 點在拋物線外，則 FP 0 ．

48、 x x x0 x1 1 2 1 x0x1 1 FP FA 0 2 1 x0 4 x0 4 ∠ AFP 4 ， cos FP FA 1 2 FP FP x02 x02

49、 4 x0 x1 x x x 1 x21 x x 1 FP FB 1 0 1 1 ∠ 2 4 4 0 1 4 ， 同理有 cos BFP

50、 2 FP FB x12 1 FP FP x12 4 ∠ AFP ∠PFB ． - 9 -