新編人教版高中數(shù)學(xué)選修11：3.4 生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例 課時(shí)提升作業(yè)二十五 3.4 含解析

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1、新編人教版精品教學(xué)資料 課時(shí)提升作業(yè)(二十五) 生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例 (25分鐘　60分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y(單位:萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(單位:萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系式為y=-13x3+81x-234,則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為　(　　) A.13萬(wàn)件 B.11萬(wàn)件 C.9萬(wàn)件 D.7萬(wàn)件 【解析】選C.y′=-x2+81,令導(dǎo)數(shù)y′=-x2+81>0,解得09, 在區(qū)間(0,9)上是增函數(shù),在區(qū)間(9,+∞)上是減函數(shù),所以在x=9處取極大值,也是最大值. 2

2、.圓柱形金屬飲料罐的體積一定,要使生產(chǎn)這種金屬飲料罐所用的材料最省,它的高與底面半徑比為　(　　) A.2∶1 B.1∶2 C.1∶4 D.4∶1 【解題指南】設(shè)出高及底面半徑,當(dāng)飲料罐用料最省時(shí),用體積表示出高及半徑后求比值. 【解析】選A. 設(shè)圓柱形飲料罐的高為h,底面半徑為R, 則表面積S=2πRh+2πR2.由V=πR2h, 得h=VπR2,則S(R)=2πRVπR2+2πR2 =2VR+2πR2,令S′(R)=-2VR2+4πR=0, 解得R=3V2π, 從而h=VπR2=Vπ3V2π2=34Vπ=23V2π, 即h=2R,因?yàn)镾(R)只

3、有一個(gè)極值,所以它是最小值,當(dāng)飲料罐的高與底面直徑相等,即h∶R=2∶1時(shí)所用材料最省. 3.已知球O的半徑為R,圓柱內(nèi)接于球,當(dāng)內(nèi)接圓柱的體積最大時(shí),高等 于　(　　) A.233R B.33R C.32R D.3R 【解析】選A.設(shè)球內(nèi)接圓柱的高為h,圓柱底面半徑為r, 則h2+(2r)2=(2R)2,得r2=R2-14h2(00;

4、23R30,此時(shí)V(x)單調(diào)遞增;當(dāng)40

5、時(shí), V′(x)<0,此時(shí)V(x)單調(diào)遞減所以x=40是V(x)的極大值,即當(dāng)箱子的體積最大時(shí),箱子底面邊長(zhǎng)為40. 5.用長(zhǎng)為90cm,寬為48 cm的長(zhǎng)方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的容器,先在四角分別截去一個(gè)大小相同的小正方形,然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角,再焊接而成(如圖),當(dāng)容器的體積最大時(shí),該容器的高為　(　　) A.8cm B.9cm C.10cm D.12cm 【解析】選C.設(shè)容器的高為xcm,容器的體積為V(x)cm3, 則V(x)=(90-2x)(48-2x)x =4x3-276x2+4320x(0

6、4320, 由12x2-552x+4320=0得x=10或x=36(舍), 因?yàn)楫?dāng)00,當(dāng)10

7、6πR2=0, 所以πR(l-6R)=0, 所以l-6R=0,所以R=, 當(dāng)R<時(shí)V′>0,R>時(shí),V′<0,故當(dāng)R=時(shí),V取極大值. 故當(dāng)R=時(shí),圓柱體積有最大值,圓柱體積的最大值是:V=πR2-2πR3=. 答案: 7.統(tǒng)計(jì)表明:某種型號(hào)的汽車(chē)在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/小時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為y=1128 000x3-380x+8,x∈(0,120],且甲、乙兩地相距100千米,則當(dāng)汽車(chē)以　　　　千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí),從甲地到乙地耗油量最少. 【解析】當(dāng)速度為x千米/小時(shí)時(shí),汽車(chē)從甲地到乙地行駛了100x小時(shí),設(shè)耗油量為h(x)升,

8、依題意得h(x)=1128 000x3-380x+8·100x =11 280x2+800x-154(00,h(x)是增函數(shù). 所以當(dāng)x=80時(shí),h(x)取到極小值h(80)=11.25. 故當(dāng)汽車(chē)以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí),從甲地到乙地耗油量最少,最少為11.25升. 答案:80 【補(bǔ)償訓(xùn)練】甲乙兩地相距240km,汽車(chē)從甲地以速度v(km/h)勻

9、速行駛到乙地.已知汽車(chē)每小時(shí)的運(yùn)輸成本由固定成本和可變成本組成,固定成本為160元,可變成本為16 400v3元.為使全程運(yùn)輸成本最小,汽車(chē)應(yīng)以　　　　　速度行駛. 【解析】設(shè)全程運(yùn)輸成本為y元,由題意,得 y=240v160+16 400v3=240160v+16 400v2,v>0, y′=240-160v2+26 400v. 令y′=0,得v=80.當(dāng)v>80時(shí),y′>0; 當(dāng)0

10、100件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為50萬(wàn)元,產(chǎn)量定為 　　　　件時(shí)總利潤(rùn)最大. 【解析】設(shè)產(chǎn)品單價(jià)為p,則有p2=kx,將x=100,p=50代入,得k=250000,所以p=500x. 設(shè)總利潤(rùn)為L(zhǎng),L=L(x) =500xx-1 200+275x3(x>0), 即L(x)=500xx-1200-275x3, L′(x)=250x-2x225, 令L′(x)=0,即250x-2x225=0,得x=25, 因?yàn)閤=25是函數(shù)L(x)在(0,+∞)上唯一的極值點(diǎn),且是極大值點(diǎn),從而是最大值點(diǎn). 答案:25 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.(2015·泰安高二檢測(cè))某工廠共有

11、10臺(tái)機(jī)器,生產(chǎn)一種儀器元件,由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平等因素限制,會(huì)產(chǎn)生一定數(shù)量的次品.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道,每臺(tái)機(jī)器產(chǎn)生的次品數(shù)P(萬(wàn)件)與每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量x(萬(wàn)件)(4≤x≤12)之間滿足關(guān)系:P=0.1x2-3.2lnx+3.已知每生產(chǎn)1萬(wàn)件合格的元件可以盈利2萬(wàn)元,但每產(chǎn)生1萬(wàn)件次品將虧損1萬(wàn)元.(利潤(rùn)=盈利-虧損) (1)試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤(rùn)y(萬(wàn)元)表示為x的函數(shù). (2)當(dāng)每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量x(萬(wàn)件)為多少時(shí)所獲得的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為多少? 【解析】(1)由題意得,所獲得的利潤(rùn)為y=10[2(x-P)-P]=20x-3x2+96lnx-90(4≤x≤12). (

12、2)由(1)知,y′=-6x2+20x+96x=-2(3x+8)(x-6)x 當(dāng)4≤x<6時(shí),y′>0,函數(shù)在[4,6]上為增函數(shù);當(dāng)6

13、中4

14、+2(4

15、體積. 【解析】設(shè)長(zhǎng)方體的寬為xm,則長(zhǎng)為2xm,高為(4.5-3x)m. 由x>0,4.5-3x>0,解得00; 當(dāng)1

16、積最大,最大體積為3m3. (20分鐘　40分) 一、選擇題(每小題5分,共10分) 1.如圖所示,半徑為2的☉M切直線AB于點(diǎn)O,射線OC從OA出發(fā)繞著O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OB.旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,OC交☉M于點(diǎn)P.記∠PMO為x,弓形PnO的面積為S=f(x),那么f(x)的圖象是下圖中的　(　　) 【解析】選A.由所給的圖示可得,當(dāng)0

17、積先是增加得越來(lái)越快,然后是增加得越來(lái)越慢,直到增加率為0,由此可以排除D,故選A. 2.將邊長(zhǎng)為1m的正三角形薄片,沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊,其中一塊是梯形,記S=(梯形的周長(zhǎng))2梯形的面積,則S的最小值是　(　　) A.3233 B.1633 C.833 D.433 【解題指南】設(shè)剪成的小正三角形的邊長(zhǎng)為x,用x表示出梯形周長(zhǎng)、梯形面積后代入求最值. 【解析】選A.設(shè)剪成的小正三角形的邊長(zhǎng)為x,則S=(3-x)212·(x+1)·32·(1-x)=43·(3-x)21-x2(0

18、2x-6)·(1-x2)-(3-x)2·(-2x)(1-x2)2 =43·-2(3x-1)(x-3)(1-x2)2. 由S′(x)=0,00,S(x)單調(diào)遞增; 故當(dāng)x=13時(shí),S的最小值是3233. 二、填空題(每小題5分,共10分) 3.(2015·亳州高二檢測(cè))某超市中秋前30天,月餅銷(xiāo)售總量f(t)與時(shí)間t(0

19、g(t)=f(t)t=t+12t+10(00,得t>23,令g′(t)<0,得0

20、則根據(jù)題意和力的平衡關(guān)系,得 xF(x)=49×1+2x×x2,即F(x)=49x+x(x>0). 令F′(x)=-49x2+1=x2-49x2=0(x>0),得惟一的極值點(diǎn)x=7; 因?yàn)樽钍×Φ母軛U長(zhǎng)確實(shí)存在,所以當(dāng)杠桿長(zhǎng)為7m時(shí)最省力. 答案:7m 三、解答題(每小題10分,共20分) 5.時(shí)下,網(wǎng)校教學(xué)越來(lái)越受到廣大學(xué)生的喜愛(ài),它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢(shì),假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷(xiāo)售量y(單位:千套)與銷(xiāo)售價(jià)格x(單位:元/套)滿足關(guān)系式y(tǒng)=mx-2+4(x-6)2,其中2

21、)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資,辦公等所有開(kāi)銷(xiāo)折合為每套題2元(只考慮銷(xiāo)售出的套數(shù)),試確定銷(xiāo)售價(jià)格x的值,使網(wǎng)校每日銷(xiāo)售套題所獲得的利潤(rùn)最大.(保留1位小數(shù)) 【解析】(1)因?yàn)閤=4時(shí),y=21, 代入關(guān)系式y(tǒng)=mx-2+4(x-6)2, 得m2+16=21,解得m=10. (2)由(1)可知,套題每日的銷(xiāo)售量y=10x-2+4(x-6)2, 所以每日銷(xiāo)售套題所獲得的利潤(rùn) f(x)=(x-2)10x-2+4(x-6)2=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2

22、, 令f′(x)=0,得x=103,或x=6(舍去)且在2,103上,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;在103,6上,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減, 所以x=103是函數(shù)f(x)在(2,6)內(nèi)的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn), 所以當(dāng)x=103≈3.3時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值. 故當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為3.3元/套時(shí),網(wǎng)校每日銷(xiāo)售套題所獲得的利潤(rùn)最大. 6.(2015·江蘇高考)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路,為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計(jì)劃修建一條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線型公路,記兩條相互垂直的公路為l1,l2,山區(qū)邊界曲線為C,計(jì)劃修建的公路為l,如圖所示,M,N為C的兩

23、個(gè)端點(diǎn),測(cè)得點(diǎn)M到l1,l2的距離分別為5千米和40千米,點(diǎn)N到l1,l2的距離分別為20千米和2.5千米,以l1,l2所在的直線分別為y,x軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,假設(shè)曲線C符合函數(shù)y=ax2+b(其中a,b為常數(shù))模型. (1)求a,b的值. (2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn),P的橫坐標(biāo)為t. ①請(qǐng)寫(xiě)出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f(t),并寫(xiě)出其定義域; ②當(dāng)t為何值時(shí),公路l的長(zhǎng)度最短?求出最短長(zhǎng)度. 【解析】(1)由題意知,M點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,40),N點(diǎn)的坐標(biāo)為(20,2.5),代入曲線C的方程y=ax2+b可得:40=a52+b,2.5=a202+b.解得a=1 00

24、0,b=0. (2)①由(1)知曲線C的方程為y=1 000x2(5≤x≤20),y′=-2 000x3,所以y′|x=t=-2 000t3即為l的斜率.又當(dāng)x=t時(shí),y=1 000t2,所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為t,1 000t2,所以l的方程為y-1 000t2=-2 000t3(x-t).令x=0,得y=3 000t2;令y=0,得x=32t.所以f(t)=32t2+3 000t22,其中5≤t≤20; ②由①知f(t)=32t2+3 000t22,其中5≤t≤20.令g(t)=32t2+3 000t22= 94t2+9×106t4,所以g′(t)=92t-4×9×106t5=92·t6-8

25、×106t5=92·t6-(102)6t5.因?yàn)?≤t≤20,令g′(t)<0,得5≤t<102;令g′(t)=0,得t=102;g′(t)>0,得102

26、%. (1)設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)模型為f(x),試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)模型f(x)的基本要求. (2)下面是公司預(yù)設(shè)的兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)模型: ①f(x)=x150+2;②f(x)=4lgx-2. 試分別分析這兩個(gè)函數(shù)模型是否符合公司要求. 【解析】(1)由題意知,公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)模型f(x)的基本要求是: 當(dāng)x∈[10,1000]時(shí), ①f(x)是增函數(shù);②f(x)≥1恒成立;③f(x)≤x5恒成立, (2)①對(duì)于函數(shù)模型f(x)=x150+2: 當(dāng)x∈[10,1000]時(shí),f(x)是增函數(shù), 則f(x)≥1顯然恒成立, 而若使函數(shù)f(x)=x150+2≤

27、x5在[10,1000]上恒成立,整理即29x≥300恒成立,而(29x)min=290,所以f(x)≤x5不恒成立. 故該函數(shù)模型不符合公司要求. ②對(duì)于函數(shù)模型f(x)=4lgx-2: 當(dāng)x∈[10,1000]時(shí),f(x)是增函數(shù), 則f(x)min=f(10)=4lg10-2=2>1. 所以f(x)≥1恒成立. 設(shè)g(x)=4lgx-2-x5,則g′(x)=4lgex-15. 當(dāng)x≥10時(shí),g′(x)=4lgex-15≤2lge-15=lge2-15<0, 所以g(x)在[10,1000]上是減函數(shù), 從而g(x)≤g(10)=4lg10-2-2=0. 所以4lgx-2-x5≤0,即4lgx-2≤x5,所以f(x)≤x5恒成立. 故該函數(shù)模型符合公司要求. 關(guān)閉Word文檔返回原板塊