新編高考數(shù)學(xué)文科一輪總復(fù)習(xí) 23

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第3講　函數(shù)的奇偶性與周期性 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、填空題 1．(2013·溫州二模)若函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)，則a的值為_(kāi)_______． 解析　由f(－1)＝－f(1)，得＝， ∴(－1＋a)2＝(1＋a)2解得a＝0. 答案　0 2．(2014·溫嶺中學(xué)模擬)f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝log2(1－x)，則f(3)＝________. 解析　f(3)＝－f(－3)＝－log24＝－2. 答案　－2 3．(2013·重慶卷改編)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bsin x＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))

2、＝5，則f(lg(lg 2))＝________. 解析　∵f(x)＝ax3＋bsin x＋4，① ∴f(－x)＝a(－x)3＋bsin(－x)＋4， 即f(－x)＝－ax3－bsin x＋4，② ①＋②得f(x)＋f(－x)＝8，③ 又∵lg(log210)＝lg＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)， ∴f(lg(log210))＝f(－lg(lg 2))＝5， 又由③式知f(－lg(lg 2))＋f(lg(lg 2))＝8， ∴5＋f(lg(lg 2))＝8，∴f(lg(lg 2))＝3. 答案　3 4．函數(shù)f(x)是周期為4的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)

3、＝x－1，則不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集為_(kāi)_____． 解析　f(x)的圖象如圖． 當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，由xf(x)>0，得x∈(－1,0)； 當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，由xf(x)>0，得x∈?； 當(dāng)x∈(1,3)時(shí)，由xf(x)>0，得x∈(1,3)． ∴x∈(－1,0)∪(1,3)． 答案　(－1,0)∪(1,3) 5．(2014·武漢一模)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0且a≠1)，若g(2)＝a，則f(2)＝________. 解析　依題意知f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)＝a

4、－x－ax＋2，聯(lián)立f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，解得g(x)＝2，f(x)＝ax－a－x，故a＝2，f(2)＝22－2－2＝4－＝. 答案　 6．(2013·青島二模)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x＋2)＝f(x)對(duì)任意x∈R成立，當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)f(x)＝2x，則f ＝________. 解析　因?yàn)閒(x＋2)＝f(x)，故f ＝f ＝－f ＝1. 答案　1 7．設(shè)定義在[－2,2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減，若f(1－m)＜f(m)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 解析　∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)＝f(

5、|x|)． ∴不等式f(1－m)＜f(m)?f(|1－m|)＜f(|m|)． 又當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)是減函數(shù)． ∴解得－1≤m＜. 答案　 8．(2013·臨沂模擬)下列函數(shù)①y＝x3；②y＝|x|＋1；③y＝－x2＋1；④y＝2x中既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的函數(shù)是________． 解析　因?yàn)棰偈瞧婧瘮?shù)，所以不成立．③在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，不成立，④為非奇非偶函數(shù)，不成立，所以填②. 答案?、? 二、解答題 9．f(x)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式． 解　當(dāng)x＜0時(shí)， －x＞0，則 f(－x)＝

6、－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1. 由于f(x)是奇函數(shù)，故f(x)＝－f(－x)， 所以當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝2x2＋3x－1. 因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù)，故f(0)＝0. 綜上可得f(x)的解析式為f(x)＝ 10．設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的周期函數(shù)，且最小正周期為2，且f(1＋x)＝f(1－x)，當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，f(x)＝－x. (1)判定f(x)的奇偶性； (2)試求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,2]上的表達(dá)式． 解　(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)， ∴f(－x)＝f(2＋x)． 又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)， ∴f(x)

7、是偶函數(shù)． (2)當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，－x∈[－1,0]， 則f(x)＝f(－x)＝x； 進(jìn)而當(dāng)1≤x≤2時(shí)，－1≤x－2≤0， f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2. 故f(x)＝ 能力提升題組 (建議用時(shí)：25分鐘) 一、填空題 1．(2013·昆明模擬)已知偶函數(shù)f(x)對(duì)?x∈R都有f(x－2)＝－f(x)，且當(dāng)x∈[－1,0]時(shí)f(x)＝2x，則f(2 013)＝________. 解析　由f(x－2)＝－f(x)得f(x－4)＝f(x)，所以函數(shù)的周期是4，故f(2 013)＝f(4×503＋1)＝f(1)＝f(－1)＝2－1＝. 答案　 2．(2

8、014·鄭州模擬)已知函數(shù)f(x＋1)是偶函數(shù)，當(dāng)1＜x1＜x2時(shí)，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＞0恒成立，設(shè)a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為_(kāi)_______． 解析　∵f(x＋1)是偶函數(shù)，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)， ∴y＝f(x)關(guān)于x＝1對(duì)稱．又1＜x1＜x2， [f(x2)－f(x1)](x2－x1)＞0， 知y＝f(x)在[1，＋∞)是增函數(shù)，又f＝f，且2＜＜3，∴f(2)＜f＜f(3)，即b＜a＜c. 答案　b＜a＜c 3．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知當(dāng)x∈[0,

9、1]時(shí)，f(x)＝1－x，則： ①2是函數(shù)f(x)的周期； ②函數(shù)f(x)在(1,2)上遞減，在(2,3)上遞增； ③函數(shù)f(x)的最大值是1，最小值是0； ④當(dāng)x∈(3,4)時(shí)，f(x)＝x－3. 其中所有正確命題的序號(hào)是________． 解析　由已知條件：f(x＋2)＝f(x)，則y＝f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，①正確；當(dāng)－1≤x≤0時(shí)0≤－x≤1， f(x)＝f(－x)＝1＋x， 函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示： 當(dāng)3＜x＜4時(shí)，－1＜x－4＜0， f(x)＝f(x－4)＝x－3，因此②④正確，③不正確． 答案　①②④ 二、解答題 4．已知函數(shù)f(x)

10、在R上滿足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在閉區(qū)間[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0. (1)試判斷函數(shù)y＝f(x)的奇偶性； (2)試求方程f(x)＝0在閉區(qū)間[－2 014,2 014]上根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論． 解　(1)若y＝f(x)為偶函數(shù)，則f(－x)＝f[2－(x＋2)]＝f[2＋(x＋2)]＝f(4＋x)＝f(x)， ∴f(7)＝f(3)＝0，這與f(x)在閉區(qū)間[0,7]上只有f(1)＝f(3)＝0矛盾；因此f(x)不是偶函數(shù)． 若y＝f(x)為奇函數(shù)，則f(0)＝－f(0)， ∴f(0)＝0，這與f(x)在閉區(qū)間[0,7]上只有f(1)＝f(3)＝0矛盾；因此f(x)不是奇函數(shù)． 綜上可知：函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． (2)由?? f(4－x)＝f(14－x)?f(x)＝f(x＋10)， 從而知函數(shù)y＝f(x)的周期T＝10. 由f(3)＝f(1)＝0，得f(11)＝f(13)＝f(－7)＝f(－9)＝0. 故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有兩個(gè)解，從而可知函數(shù)y＝f(x)在[0,2 014]上有404個(gè)解，在[－2 014,0]上有402個(gè)解，所以函數(shù)y＝f(x)在[－2 014,2 014]上共有806個(gè)解.