新編高考數(shù)學復習：第四章 ：第二節(jié)　平面向量基本定理及坐標表示突破熱點題型

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1、新編高考數(shù)學復習資料 第二節(jié)　平面向量基本定理及坐標表示 考點一 平面向量基本定理的應用 　 [例1]　在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________. [自主解答]　選擇，作為平面向量的一組基底，則＝＋，＝ ＋，＝＋， 又＝λ＋μ＝＋， 于是得即故λ＋μ＝. [答案]　 【互動探究】 在本例條件下，若＝c，＝d，試用c，d表示，. 解：設＝a，＝b，因為E，F(xiàn)分別為CD和BC的中點，所以＝b，＝a，于是有： 解得 即＝(2d－c)＝d－c， ＝(2c－d)＝c－d.　　　　　 【

2、方法規(guī)律】[來源:] 應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì) 應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算，共線向量定理的應用起著至關重要的作用．當基底確定后，任一向量的表示都是唯一的． 如圖，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于點H，M為AH的中點．若＝λ＋μ，則λ＋μ＝________. 解析：因為AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1，BH＝BC.因為點M為AH的中點，所以＝＝(＋)＝＝＋，即λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝. 答案： 考點二 平面向量的坐標運算 　 [

3、例2]　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，設＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.求： (1)3a＋b－3c； (2)滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n； (3)M，N的坐標及向量的坐標． [自主解答]　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c[來源:] ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴解得 (3)設O為坐標原點，∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，

4、∴M的坐標為(0,20)． 又＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N的坐標為(9,2)． 故＝(9－0,2－20)＝(9，－18)． 【方法規(guī)律】 平面向量坐標運算的技巧 (1)向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標． (2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解，并注意方程思想的應用． 已知平行四邊形的三個頂點分別是A(4,2)，B(5,7)，C(－3，4)，求第四個頂點D的坐標． 解：設頂點D(x，y)．若平行四邊形為A

5、BCD. 則由＝(1,5)，＝(－3－x,4－y)， 得所以 若平行四邊形為ACBD，則由＝(－7,2)，＝(5－x，7－y)，得所以 若平行四邊形為ABDC，則由＝(1,5)，＝(x＋3，y－4)， 得所以 綜上所述，第四個頂點D的坐標為(－4，－1)或(12,5)或(－2,9). 高頻考點 考點三平面向量共線的坐標表示　　 1．平面向量共線的坐標表示是高考的?？純?nèi)容，多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較小，屬容易題． 2．高考對平面向量共線的坐標表示的考查主要有以下幾個命題角度： (1)利用兩向量共線求參數(shù)； (2)利用兩向量共線的條件求向量坐標； (3)

6、三點共線問題． [例3]　(1)(2013·陜西高考)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，則實數(shù)m等于(　　) A．－　　　　　　　　　B. C．－或 D．0 (2)(2011·湖南高考)設向量a，b滿足|a|＝2，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標為________． (3)(2014·東營模擬)若三點A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則＋的值等于________． [自主解答]　(1)因為a∥b，所以m2＝2，解得m＝－或m＝. (2)∵a與b方向相反，∴可設a＝λb(λ<0)，∴a＝λ(2，1)＝(

7、2λ，λ)．由|a|＝＝2，解得λ＝－2，或λ＝2(舍)， 故a＝(－4，－2)．[來源:] (3) ＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依題意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以＋＝. [答案]　(1)C　(2)(－4，－2)　(3) 平面向量共線的坐標表示問題的常見類型及解題策略 (1)利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，則利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較方便． (2)利用兩向量共線的條件求向量坐標．一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為

8、λa(λ∈R)，然后結合其他條件列出關于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量． (3)三點共線問題．A，B，C三點共線等價于與共線． 1．(2013·遼寧高考)已知點A(1,3)，B(4，－1)，則與向量同方向的單位向量為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　∵A(1,3)，B(4，－1)， ∴＝(3，－4)，又∵| |＝5， ∴與同向的單位向量為＝. 2．已知向量a＝(m，－1)，b＝(－1，－2)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，則m＝________. 解析：由題意知a＋b＝(m－1，－3)，c＝(－1

9、,2)， 由(a＋b)∥c，得(－3)×(－1)－(m－1)×2＝0， 即2(m－1)＝3，故m＝. 答案： 3．已知點A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，則AC與OB的交點P的坐標為________． 解析：法一：由O，P，B三點共線，可設＝λ＝(4λ，4λ)，則＝－＝(4λ－4,4λ)． 又＝－＝(－2,6)，由與共線，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3,3)， 所以P點的坐標為(3,3)． 法二：設點P(x，y)，則＝(x，y)，因為＝(4,4)，且與共線，所以＝，即x＝y(tǒng). 又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且與共線， 所以(x－

10、4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3，[來源:] 所以P點的坐標為(3,3)． 答案：(3,3) ———————————[課堂歸納——通法領悟]———————————————— 1個區(qū)別——向量坐標與點的坐標的區(qū)別 　在平面直角坐標系中，以原點為起點的向量＝a，點A的位置被向量a唯一確定，此時點A的坐標與a的坐標統(tǒng)一為(x，y)，但應注意其表示形式的區(qū)別，如點A(x，y)，向量a＝＝(x，y)． 2種形式——向量共線的充要條件的兩種形式 　(1)a∥b?b＝λa(a≠0，λ∈R)； (2)a∥b?x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))． 3個注意點——解決平面向量共線問題應注意的問題 　(1)注意0的方向是任意的；[來源:] (2)若a、b為非零向量，當a∥b時，a，b的夾角為0°或180°，求解時容易忽視其中一種情形而導致出錯； (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成＝，因為x2，y2有可能等于0，所以應表示為x1y2－x2y1＝0.