新編高考數(shù)學(xué)三輪講練測(cè)核心熱點(diǎn)總動(dòng)員新課標(biāo)版 專題22 幾何證明選修1 Word版含解析

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1、 【名師精講指南篇】 【高考真題再現(xiàn)】 1．【20xx新課標(biāo)全國(guó)】如圖，直線AB為圓的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E，DB垂直BE交圓于D. （Ⅰ）證明：DB=DC； （Ⅱ）設(shè)圓的半徑為1，BC=，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，求△BCF外接圓的半徑. 【解析】（1）利用弦切角定理進(jìn)行求解；（2）利用（1）中的結(jié)論配合角度的計(jì)算可以得到答案. 2.【20xx高考全國(guó)1】如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且. （Ⅰ）證明：； （Ⅱ）設(shè)不是的直徑，的中點(diǎn)為，且，證明：為等邊三角形. 3.【20xx全

2、國(guó)Ⅱ】如圖所示，為等腰三角形內(nèi)一點(diǎn)，圓與的底邊交于，兩點(diǎn)，與底邊上的高交于點(diǎn)，且與，分別相切于，兩點(diǎn). (1)證明：； (2)若等于圓O的半徑，且，求四邊形的面積. 4.【20xx全國(guó)Ⅰ】如圖所示，是直徑，是切線，交于點(diǎn)E. （1）若D為中點(diǎn)，求證：是的切線； （2）若，求的大小. .解析（1）連接，，如圖所示. 因?yàn)闉橹睆?，所? 又為中點(diǎn)，所以，所以.① 因?yàn)闉榍芯€，所以，即.② 在圓中，，所以.③ 結(jié)合，可得，即. 所以是圓的切線. 【熱點(diǎn)深度剖析】 20xx年高考以圓為幾何背景考查弦切角定

3、理，三角形全等，直角三角形外接圓半徑，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力. 20xx年高考涉及到圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理的推論．20xx年涉及到面積、切線證明、切割線定理。從三年試題來(lái)看，高考對(duì)這部分要求不是太高，要求會(huì)以圓為幾何背景，利用直角三角形射影定理，圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理，相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理證明三角形相似，全等，求線段長(zhǎng)等，但連續(xù)幾年沒(méi)考查相交弦定理，預(yù)測(cè)20xx年高考可能以圓為幾何背景，考查相似三角形的證明、相交線定理，切割線定理，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力. 【重點(diǎn)知識(shí)整合】 一、相似三角

4、形 1．相似三角形 (1)定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比值叫做相似比(或相似系數(shù))． (2)判定 ①判定定理1　兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似． 判定定理2　三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似． 判定定理3　兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似． ②如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么它們相似． 如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么它們相似． 如果一個(gè)直角三角形的斜邊與一條直角邊和另一個(gè)直角三角形的斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似． (3)性質(zhì) ①性質(zhì)定理1　相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高、中線和它們周長(zhǎng)

5、的比都等于相似比． ②性質(zhì)定理2　相似三角形面積的比等于相似比的平方． 相似三角形對(duì)應(yīng)角的平分線的比，外接圓直徑的比、周長(zhǎng)的比，內(nèi)切圓直徑的比、周長(zhǎng)的比都等于相似比． 相似三角形外接圓面積的比，內(nèi)切圓面積的比都等于相似比的平方． 2．平行截割定理 平行截割定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例． 推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例． 3．直角三角形的射影定理： 若Rt△ABC斜邊AB上的高為CD，則CD2＝AD·BD，BC2＝BD·AB，AC2＝AD·AB. 二、圓冪定理與圓錐截線 1．圓的切線 (1)切線判定定理　經(jīng)過(guò)

6、半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． (2)切線性質(zhì)定理　圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑． ①經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)． ②經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心． 推論1　從圓外一點(diǎn)所引圓的兩條切線長(zhǎng)相等． 推論2　經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)和圓心的直線平分從這點(diǎn)向圓所引兩條切線的夾角． (3)內(nèi)切圓、旁切圓　與一個(gè)三角形三邊都相切的圓，叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓；與三角形的一邊和其它兩邊的延長(zhǎng)線都相切的圓，叫做三角形的旁切圓． 2．圓心角定理 圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)． 3．圓周角定理 圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半． 推論1　直徑(或半圓)所對(duì)的圓周角都是直角

7、． 推論2　同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等． 推論3　等于直角的圓周角所對(duì)的弦是圓的直徑． 4．弦切角定理 弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半． 推論：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角． 5．圓冪定理 (1)相交弦定理　圓的兩條相交弦被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等． (2)切割線定理　從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)． (3)割線定理　從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等． 圓冪定理　已知⊙(O，r)，通過(guò)一定點(diǎn)P，作⊙O的任一條割線交圓于A、B兩點(diǎn)，則PA·PB＝定值k. ①當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)

8、，k＝PO2－r2，②當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，k＝r2－OP2，③當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上時(shí)，k＝0，通常把這里的定值k稱作點(diǎn)P對(duì)⊙O的冪． 6．圓內(nèi)接四邊形 (1)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理 ①對(duì)角互補(bǔ)．②外角等于它的內(nèi)對(duì)角 (2)圓內(nèi)接四邊形判定定理 如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形內(nèi)接于圓． 推論　如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角，那么這個(gè)四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓． 【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】 1．輔助線作法： 幾何證明題的一個(gè)重要問(wèn)題就是作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，相似關(guān)系的基礎(chǔ)就是平行截割定理，故作輔助線的主要方法就是作平行線，見中點(diǎn)取中點(diǎn)連線利用中位線定理，見比例點(diǎn)取等比的分點(diǎn)構(gòu)造平行關(guān)系，截取等長(zhǎng)

9、線段構(gòu)造全等關(guān)系，立體幾何中通過(guò)作平行線或連結(jié)異面直線上的點(diǎn)化異為共等等都是常用的作輔助線方法． 2．比例的性質(zhì)的應(yīng)用 相似關(guān)系的證明中，經(jīng)常要應(yīng)用比例的性質(zhì)： 若，則①；②；③；④；⑤；⑥. 3．同一法：先作出一個(gè)滿足命題結(jié)論的圖形，然后證明圖形符合命題已知條件，確定所作圖形與題設(shè)條件所指的圖形相同，從而證明命題成立． 4.證明多點(diǎn)共圓，當(dāng)兩點(diǎn)在一條線段同側(cè)時(shí)，可證它們對(duì)此線段張角相等，也可以證明它們與某一定點(diǎn)距離相等；如兩點(diǎn)在一條線段異側(cè)，則證明它們與線段兩端點(diǎn)連成的凸四邊形對(duì)角互補(bǔ)． 5.與圓有關(guān)的比例線段 (1)應(yīng)用相交弦定理、切割線定理要抓住幾個(gè)關(guān)鍵內(nèi)容：如線段成比例

10、與相似三角形、圓的切線及其性質(zhì)、與圓有關(guān)的相似三角形等． (2)相交弦定理、切割線定理主要是用于與圓有關(guān)的比例線段的計(jì)算與證明．解決問(wèn)題時(shí)要注意相似三角形知識(shí)及圓周角、弦切角、圓的切線等相關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用． 【考場(chǎng)經(jīng)驗(yàn)分享】 1．應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)，對(duì)應(yīng)量必須找準(zhǔn)(對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)邊上的高、中線，對(duì)應(yīng)的角平分線等等)，牢牢把握對(duì)應(yīng)角對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)邊對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角． 2．判定兩三角形相似時(shí)，可以用三邊對(duì)應(yīng)成比例，也可以用兩角對(duì)應(yīng)相等(只要兩角對(duì)應(yīng)相等，第三個(gè)角也對(duì)應(yīng)相等)．但兩邊對(duì)應(yīng)成比例時(shí)，必須有夾角相等的條件． 3．等弧對(duì)等弦、對(duì)等圓心角、對(duì)等圓周角、對(duì)等弦切角的前提

11、是同圓或等圓． 4．相交弦定理、切割線定理、割線定理、切線長(zhǎng)定理統(tǒng)稱為圓冪定理：圓的兩條弦或其延長(zhǎng)線若相交，各弦被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等.當(dāng)兩交點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)為相交弦定理，當(dāng)兩交點(diǎn)在圓外時(shí)為割線定理，兩交點(diǎn)重合時(shí)為切線，一條上兩點(diǎn)重合時(shí)為切割線定理，兩條都重合時(shí)為切線長(zhǎng)定理，應(yīng)用此定理一定要分清兩條線段是指哪兩條． 【名題精選練兵篇】 1.【20xx河北唐山二模】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，AC與BD相交于點(diǎn)F，AE與圓O相切于點(diǎn)A，與CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，∠ADE＝∠BDC． （Ⅰ）證明：A、E、D、F四點(diǎn)共圓； （Ⅱ）證明：AB∥EF． E B O F D C

12、 A 2.【20xx廣西桂林市、北海市、崇左市3月聯(lián)合調(diào)研】如圖,四邊形是圓O的內(nèi)接四邊形,延長(zhǎng)和相交于點(diǎn),,． （1）求的值； （2）若為圓O的直徑,且,求的長(zhǎng)． 【解析】（1）由,,得與相似． 設(shè),,則有,． ∴． （2）由題意知,,,∴， ． ∴,∴．

13、 3.【20xx吉林長(zhǎng)春質(zhì)量監(jiān)測(cè)（二）】 如圖，過(guò)圓外一點(diǎn)的作圓的切線，為切點(diǎn)，過(guò)的中點(diǎn)的直線交圓于、兩點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連接交圓于點(diǎn)，若. （1）求證：∽； (2) 求證：四邊形是平行四邊形. 4.【20xx安徽“江南十校”聯(lián)考】如圖，過(guò)圓O外一點(diǎn)作圓O的兩條切線，其中為切點(diǎn)，為的一條直徑，連并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn). （Ⅰ）證明：； （Ⅱ）若,求的值. 解：（Ⅰ）連接、，因?yàn)?、為圓的切線，所以垂直平分 又為圓的直徑，所以，所以 又為的中點(diǎn)，故為的中點(diǎn)，所以 （Ⅱ）設(shè)，則， 在中，由射影定理可得： ，在

14、中， . = 5.【20xx河南新鄉(xiāng)許昌平頂山二調(diào)】如圖，圓O1與圓O2相交于A、B兩點(diǎn)， AB是圓O2的直徑，過(guò)A點(diǎn)作圓O1的切線交 圓O2于點(diǎn)E，并與BO1的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，PB 分別與圓O1、圓O2交于C，D兩點(diǎn)． （Ⅰ）求證：PA·PD＝PE·PC； （Ⅱ）求證：AD＝AE． 6.【20xx甘肅蘭州實(shí)戰(zhàn)考試】 7.【20xx福建4月質(zhì)檢】 如圖，的兩條中線AD和BE相交于點(diǎn)G，且D,C,E,G四點(diǎn)共圓. (Ⅰ)求證：； (Ⅱ

15、)若GC=1，求AB. 解法一：（Ⅰ）連結(jié)，因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，則． 又因?yàn)闉椤鞯膬蓷l中線， 所以分別是的中點(diǎn)，故∥．所以， 從而． （Ⅱ）因?yàn)闉榕c的交點(diǎn)， 故為△的重心，延長(zhǎng)交于， 則為的中點(diǎn)，且． 在△與△中，因?yàn)?，? 所以△∽△，所以，即．來(lái)源:Z+xx+k.Com] 因?yàn)?，，? 所以，即， 又，所以． 解法二：（Ⅰ）同解法一． 8．【20xx屆陜西省寶雞市九校高三聯(lián)合檢測(cè)】已知圓內(nèi)接△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，且△ADC為正三角形，點(diǎn)E為BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE為圓O的切線． （Ⅰ）求∠BAE 的度數(shù)； （Ⅱ）求證: 【解析】證明:（Ⅰ

16、）在△EAB與△ECA中，因?yàn)锳E為圓O的切線，所以∠EBA =∠EAC，又∠E公用，所以∠EAB =∠ECA，因?yàn)椤鰽CD為等邊三角形，所以 （Ⅱ）因?yàn)锳E為圓O的切線,所以∠ABD=∠CAE ，因?yàn)椤鰽CD為等邊三角形,所以∠ADC =∠ACD, 所以∠ADB=∠ECA,所以△ABD∽△EAC ，所以,即 ，因?yàn)椤鰽CD為等邊三角形,所以AD=AC=CD, ，所以. 9. 【20xx屆河北省唐山市高三第一次模擬】如圖，圓周角的平分線與圓交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D的切線與弦AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，AD交BC于點(diǎn)F. （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）若D，E，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，且弧長(zhǎng)AC等于弧長(zhǎng)BC

17、，求. 10. 【20xx屆甘肅省部分普通高中高三第一次聯(lián)考】如圖所示，為圓的切線，為切點(diǎn)，，的角平分線與和圓分別交于點(diǎn)和. （1）求證 （2）求的值. 11. 如圖所示，已知為圓的直徑，，是圓上的兩個(gè)點(diǎn)，于，交于，交于，． （1）求證：是劣弧的中點(diǎn)；（2）求證：． 【解析】（1）∵ ，∴，∵圓的直徑，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴為劣弧的中點(diǎn)； （2）∵，，∴，∴，∴． 12．如圖，已知是的直徑，是的切線，為切點(diǎn)，，交于點(diǎn)，連接、、、，延長(zhǎng)交于. （1）證明：； （2）證明：. 【解析】（1）∵為的切線，為切點(diǎn)，為的直徑，∴，又∵，∴，∴，

18、又∵，∴， ∴， ∴； （2）由弦切角定理可知，，∴，∵四邊形為圓的內(nèi)接四邊形，∴， 又∵，∴，∴. 13 ．如圖，是的一條切線，切點(diǎn)為，直線，，都是的割線，已知． （1）求證：； （2）若，．求的值． 14．如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，C為切點(diǎn)，連接AC，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CD于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E． （Ⅰ）證明：∠AOC=2∠ACD；（Ⅱ）證明：AB?CD=AC?CE． 15. 如圖，為上的三個(gè)點(diǎn)，是的平分線，交于點(diǎn)，過(guò)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)． （1）證明：平分； （2）證明：． 【解析】 (1)因?yàn)槭恰训那芯€，所以，又因?yàn)樗?即平分.

19、 (2)由⑴可知，且，∽,所以,又因?yàn)?所以， ，所以， 所以 16. 如圖,內(nèi)接于⊙, 是⊙的直徑, 是過(guò)點(diǎn)的直線, 且. . A B C O E D P (Ⅰ)求證: 是⊙的切線; (Ⅱ)如果弦交于點(diǎn), , , , 求. 【名師原創(chuàng)測(cè)試篇】 1．如圖所示，是圓的切線，為切點(diǎn)，是圓的割線，的平分線與，分別交于點(diǎn)，且． (Ⅰ)求證：； (Ⅱ)求的大小． 【解析】(Ⅰ)證明：由題意可知，，由弦切角定理得，則△∽△，則，由三角形角平分線定理得,，則. (Ⅱ)∵，，而，，∴.又在△中，，可知.又，∴. 2. 如圖，是△的外接圓，D

20、是的中點(diǎn)，BD交AC于E． （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）若，O到AC的距離為1，求⊙O的半徑 A C B O． E D 3. 如圖所示, 為圓的切線, 為切點(diǎn),，的角平分線與和圓分別交于點(diǎn)和. （Ⅰ）求證； （Ⅱ）求的值. 4. 如圖，在△ABC中，CM是∠ACB的平分線，△AMC的外接圓O交BC于點(diǎn)N. 若AB=2AC， 求證：BN=2AM. M C N B O · A 【解析】連結(jié)MN，則由BM·BA=BN·BC得： ，又 ,所以，∽， 于是. 因?yàn)镃M是∠ACB的平分線，所以MN=AM，故BN=2AM. 5. 已知P是圓O外一點(diǎn)，PE切圓O于點(diǎn)E，A是圓O上一點(diǎn)，PA交圓O于B點(diǎn)，C為AE一點(diǎn)，PC交BE與D，CE＝DE． （Ⅰ）求證：PC是的平分線 （Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）⊙于點(diǎn)，．∵，∴∠ECD=∠EDC，∵，∴∠CPA=∠CPE，∴PC是∠APE的平分線 （Ⅱ）， ∽，． ，，PE是圓O的切線，PBA是圓O的割線，， =，=．∴. 6. 如圖，內(nèi)接于直徑為的圓，過(guò)點(diǎn)作圓的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，的平分線分別交和圓于點(diǎn)，若. （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求的值.