高考數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)練系列 平面向量教案 蘇教版

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1、考綱導(dǎo)讀 平面向量 1．理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念． 2．掌握向量的加法和減法的運(yùn)算法則及運(yùn)算律． 3．掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算法則及運(yùn)算律，理解兩個(gè)向量共線的充要條件． 4．了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算． 5．掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件． 6．掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式以及線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并且能熟練運(yùn)用；掌握平移公式． 7．掌握正、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形． 高考導(dǎo)航 知識網(wǎng)絡(luò) 向量

2、由于具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個(gè)交匯點(diǎn)，成為多項(xiàng)內(nèi)容的媒介． 主要考查： 1．平面向量的性質(zhì)和運(yùn)算法則，共線定理、基本定理、平行四邊形法則及三角形法則． 2．向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用． 3．向量和其它數(shù)學(xué)知識的結(jié)合．如和三角函數(shù)、數(shù)列、曲線方程等及向量在物理中的應(yīng)用． 4．正弦定理、余弦定理及利用三角公式進(jìn)行恒等變形的能力．以化簡、求值或判斷三角形的形狀為主．解三角形常常作為解題工具用于立體幾何中的計(jì)算或證明． 第1課時(shí) 向量的概念與幾何運(yùn)算 基礎(chǔ)過關(guān) 1．向量的有關(guān)概念 ⑴ 既有 又有 的量叫向量．

3、 的向量叫零向量． 的向量，叫單位向量． ⑵ 叫平行向量，也叫共線向量．規(guī)定零向量與任一向量 ． ⑶ 且 的向量叫相等向量． 2．向量的加法與減法 ⑴ 求兩個(gè)向量的和的運(yùn)算，叫向量的加法．向量加法按 法則或 法則進(jìn)行．加法滿足 律和 律． ⑵ 求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫向量的減法．作法是將兩向量的 重合，連結(jié)兩向量的 ，方

4、向指向 ． 3．實(shí)數(shù)與向量的積 ⑴ 實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作．它的長度與方向規(guī)定如下： ① | |＝ ． ② 當(dāng)＞0時(shí)，的方向與的方向 ； 當(dāng)＜0時(shí)，的方向與的方向 ； 當(dāng)＝0時(shí)， ． ⑵ (μ)＝ ． (＋μ)＝ ． (＋)＝ ． ⑶ 共線定理：向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ使得 ． 4．⑴ 平面向量基本定理：如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對

5、于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)、，使得 ． ⑵ 設(shè)、是一組基底，＝，＝，則與共線的充要條件是 ． 典型例題 例1．已知△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)．設(shè)，，求． 解：＝－＝(＋)－＝－＋ 變式訓(xùn)練1.如圖所示，D是△ABC邊AB上的中點(diǎn)，則向量等于（ ） A D B C A．－＋ B．－－ C．－ D．＋ 解:A 例2. 已知向量，，，其中、不共線，求實(shí)數(shù)、，使． 解:＝λ＋μ2－9＝(2λ＋2μ)＋(－3λ＋3μ)2λ＋2μ＝2，且－3λ＋3μ＝－9λ＝2，且μ＝－1 變式訓(xùn)練2：已知平行四邊形AB

6、CD的對角線相交于O點(diǎn)，點(diǎn)P為平面上任意一點(diǎn)，求證： 證明 ＋＝2，＋＝2＋＋＋＝4 例3. 已知ABCD是一個(gè)梯形，AB、CD是梯形的兩底邊，且AB＝2CD，M、N分別是DC和AB的中點(diǎn)，若，，試用、表示和． 解：連NC，則； B O A D C N M 變式訓(xùn)練3：如圖所示，OADB是以向量＝，＝為鄰邊的平行四邊形，又＝，＝，試用、表示，，． 解:＝＋，＝＋， ＝－ 例4. 設(shè)，是兩個(gè)不共線向量，若與起點(diǎn)相同，t∈R，t為何值時(shí)，，t，(＋)三向量的終點(diǎn)在一條直線上？ 解：設(shè) (∈R)化簡整理得： ∵，∴ 故時(shí)，三向量的向量的終點(diǎn)在一直線上． 變式訓(xùn)練4

7、：已知，設(shè)，如果 ，那么為何值時(shí)，三點(diǎn)在一條直線上？ 解：由題設(shè)知，，三點(diǎn)在一條 直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得，即， 整理得. ①若共線，則可為任意實(shí)數(shù)； ②若不共線，則有，解之得，. 綜上，共線時(shí)，則可為任意實(shí)數(shù)；不共線時(shí)，. 小結(jié)歸納 1．認(rèn)識向量的幾何特性．對于向量問題一定要結(jié)合圖形進(jìn)行研究．向量方法可以解決幾何中的證明． 2．注意與O的區(qū)別．零向量與任一向量平行． 3．注意平行向量與平行線段的區(qū)別．用向量方法證明AB∥CD，需證∥，且AB與CD不共線．要證A、B、C三點(diǎn)共線，則證∥即可． 4．向量加法的三角形法則可以推廣為多個(gè)向量求和的多邊形法則

8、，特點(diǎn)：首尾相接首尾連；向量減法的三角形法則特點(diǎn)：首首相接連終點(diǎn)． 第2課時(shí) 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 基礎(chǔ)過關(guān) 1．平面向量的坐標(biāo)表示 分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底，對于一個(gè)向量，有且只有一對實(shí)數(shù)x、y，使得＝x＋y．我們把(x、y)叫做向量的直角坐標(biāo)，記作 ．并且||＝ ． 2．向量的坐標(biāo)表示與起點(diǎn)為 的向量是一一對應(yīng)的關(guān)系． 3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算： 若＝(x1、y1)，＝(x2、y2)，λ∈R，則： ＋＝ －＝ λ＝ 已知

9、A(x1、y1)，B(x2、y2)，則＝ ． 4．兩個(gè)向量＝(x1、y1)和＝(x2、y2)共線的充要條件是 ． 典型例題 例1.已知點(diǎn)A（2，3），B（－1，5），且＝，求點(diǎn)C的坐標(biāo)． 解＝＝(－1，)，＝＝(1, )，即C(1, ) 變式訓(xùn)練1.若，，則= . 解: 提示： 例2. 已知向量＝(cos，sin)，＝(cos，sin)，|－|＝，求cos(α－β)的值． 解:|－|＝＝cos＝cos(α－β)＝ 變式訓(xùn)練2.已知－2＝(－3，1)，2＋＝(－1，2)，求＋． 解

10、＝(－1，1)，＝(1，0)，∴＋＝(0，1) 例3. 已知向量＝(1, 2)，＝(x, 1)，＝＋2，＝2－，且∥，求x． 解:＝(1＋2x，4)，＝(2－x，3)，∥3(1＋2x)＝4(2－x)x＝ 變式訓(xùn)練3.設(shè)＝(ksinθ, 1)，＝(2－cosθ, 1) (0 <θ<π)，∥，求證：k≥． 證明: k＝ ∴k－＝≥0 ∴k≥ A M B C D P 例4. 在平行四邊形ABCD中，A(1，1)，＝(6，0)，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，線段CM與BD交于點(diǎn)P． (1) 若＝(3，5)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)； (2) 當(dāng)||＝||時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡． 解：(1)設(shè)點(diǎn)C的

11、坐標(biāo)為(x0，y0)， 得x0＝10 y0＝6 即點(diǎn)C(10，6) (2) ∵ ∴點(diǎn)D的軌跡為(x－1)2＋(y－1)2＝36 (y≠1) ∵M(jìn)為AB的中點(diǎn) ∴P分的比為 設(shè)P(x，y)，由B(7，1) 則D(3x－14，3y－2) ∴點(diǎn)P的軌跡方程為 變式訓(xùn)練4.在直角坐標(biāo)系x、y中，已知點(diǎn)A(0，1)和點(diǎn)B(－3，4)，若點(diǎn)C在∠AOB的平分線上，且||＝2，求的坐標(biāo)． 解 已知A (0，1)，B (－3，4) 設(shè)C (0，5)， D (－3，9) 則四邊形OBDC為菱形 ∴∠AOB的角平分線是菱形OBDC的對角線OD ∵ ∴ 小結(jié)歸納

12、 1．認(rèn)識向量的代數(shù)特性．向量的坐標(biāo)表示，實(shí)現(xiàn)了“形”與“數(shù)”的互相轉(zhuǎn)化．以向量為工具，幾何問題可以代數(shù)化，代數(shù)問題可以幾何化． 2．由于向量有幾何法和坐標(biāo)法兩種表示方法，所以我們應(yīng)根據(jù)題目的特點(diǎn)去選擇向量的表示方法，由于坐標(biāo)運(yùn)算方便，可操作性強(qiáng)，因此應(yīng)優(yōu)先選用向量的坐標(biāo)運(yùn)算． 第3課時(shí) 平面向量的數(shù)量積 基礎(chǔ)過關(guān) 1．兩個(gè)向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量和，過O點(diǎn)作＝，＝，則∠AOB＝θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量與的 ．當(dāng)θ＝0°時(shí)，與 ；當(dāng)θ＝180°時(shí)，與 ；如果與的夾角是90°，我們說與垂直，記作

13、． 2．兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為θ，則數(shù)量 叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作·，即·＝ ．規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0．若＝(x1, y1)，＝(x2, y2)，則·＝ ． 3．向量的數(shù)量積的幾何意義： ||cosθ叫做向量在方向上的投影 (θ是向量與的夾角)． ·的幾何意義是，數(shù)量·等于 ． 4．向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)、都是非零向量，是單位向量，θ是與的夾角． ⑴ ·＝·＝ ⑵ ⊥ ⑶ 當(dāng)與同向時(shí)，·

14、＝ ；當(dāng)與反向時(shí)，·＝ ． ⑷ cosθ＝ ． ⑸ |·|≤ 5．向量數(shù)量積的運(yùn)算律： ⑴ ·＝ ； ⑵ (λ)·＝ ＝·(λ) ⑶ (＋)·＝ 典型例題 例1. 已知||＝4，||＝5，且與的夾角為60°，求：(2＋3)·(3－2)． 解:(2＋3)(3－2)＝－4 變式訓(xùn)練1.已知||＝3，||＝4，|＋|＝5，求|2－3|的值． 解: 例2. 已知向量＝(sin，1)，＝(1，cos)，－． (1) 若a⊥b，求； (2) 求|＋|的最大值． 解：(1)

15、若，則 即 而，所以 (2) 當(dāng)時(shí)，的最大值為 變式訓(xùn)練2：已知，，其中． (1)求證： 與互相垂直； (2)若與的長度相等，求的值(為非零的常數(shù))． 證明： 與互相垂直 （2）, , ,, 而 ， 例3. 已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足(－)·(＋－2)＝0，判斷△ABC是哪類三角形． 解:設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則()()＝02·＝0BC⊥AD△ABC是等腰三角形. 變式訓(xùn)練3：若，則△ABC的形狀是 . 解: 直角三角形.提示： 例4. 已知向量＝(cosθ, sinθ)和＝(－s

16、inθ, cosθ) θ∈(π, 2π)且||＝，求cos()的值. 解:＝(cosθ－sinθ＋, cosθ＋sinθ)由已知(cosθ－sinθ＋)2＋(cosθ＋sinθ)2＝ 化簡：cos 又cos2 ∵θ∈(π, 2π) ∴cos<0 ∴cos＝－ 變式訓(xùn)練4.平面向量，若存在不同時(shí)為的實(shí)數(shù)和，使,且，試求函數(shù)關(guān)系式. 解：由得 小結(jié)歸納 1．運(yùn)用向量的數(shù)量積可以解決有關(guān)長度、角度等問題．因此充分挖掘題目所包含的幾何意義，往往能得出巧妙的解法． 2．注意·與ab的區(qū)別．·＝0≠＞＝，或＝． 3．應(yīng)根據(jù)定義找兩個(gè)向量的夾角。對于不共起點(diǎn)的兩個(gè)向量

17、，通過平移，使起點(diǎn)重合． 第4課時(shí) 線段的定比分點(diǎn)和平移 基礎(chǔ)過關(guān) 1． 設(shè)P1P2是直線L上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是L上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ使＝λ，λ叫做 ． 2．設(shè)P1（x1、y1），P2（x2、y2），點(diǎn)P（x、y）分的比是λ時(shí)，定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式為： ，中點(diǎn)坐標(biāo)公式： 。 3． 平移公式：將點(diǎn)P（x、y）按向量＝（h、k）平移得到點(diǎn)P'（x'，y'），則 ． 典型例題 例1. 已知點(diǎn)A(－1, －4)，B(5, 2)，線段AB上的

18、三等分點(diǎn)依次為P1、P2，求P1、P2的坐標(biāo)及A、B分所成的比. 解 ⑴ P1(x－2) P2(3, 0) (2) －, －2 變式訓(xùn)練1.設(shè)|AB|＝5，點(diǎn)p在直線AB上，且|PA|＝1，則p分所成的比為 ． 解: 例2. 將函數(shù)y＝2sin（2x＋）＋3的圖象C進(jìn)行平移后得到圖象C'，使C上面的一點(diǎn)P（、2）移至點(diǎn)P'（、1），求圖像C'對應(yīng)的函數(shù)解析式． 解: C'：y＝2sin(2x＋)＋2 變式訓(xùn)練2：若直線2x－y＋c＝0按向量＝(1, －1)平移后與圓x2＋y2＝5相切，則c的值為 （ ） A．8或－2

19、B．6或－4 C．4或－6 D．2或－8 解: A 例3. 設(shè)＝(sinx－1, cosx－1)，，f (x)＝，且函數(shù)y＝f (x)的圖象是由y＝sinx的圖象按向量平移而得，求. 解:＝(－) (k∈z) 變式訓(xùn)練3：將y＝sin2x的圖象向右按作最小的平移，使得平移后的圖象在[kπ＋, kπ＋π] (k∈Z)上遞減，則＝ ． 解:(，0) 例4. 已知△ABC的頂點(diǎn)A(0、0)，B(4、8)，C(6、－4)，點(diǎn)M內(nèi)分所成的比為3，N是AC邊上的一點(diǎn)，且△AMN的面積等于△ABC的面積的一半，求N點(diǎn)的坐標(biāo)． 解:由＝ 得

20、 ∴ N(4，－) 變式訓(xùn)練4.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A（1，2），B（4，1），C（3，4）． (1)求AB邊上的中線CM的長及重心G的坐標(biāo)； (2)在AB上取一點(diǎn)P，使過P且平行于BC的直線PQ把△ABC的面積分成4︰5兩部分（三角形面積：四邊形面積），求點(diǎn)P的坐標(biāo) 解: 小結(jié)歸納 1．在運(yùn)用線段定比分點(diǎn)公式時(shí)，首先要確定有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)和分點(diǎn)，再結(jié)合圖形確定分比． 2．平移公式反映了平移前的點(diǎn)P(x、y)和平移后的點(diǎn)P'(x'、y')，及向量＝(h，k)三者之間的關(guān)系．它的本質(zhì)是＝．平移公式與圖象變換法則，既有區(qū)別又有聯(lián)系，應(yīng)防止混淆． 

21、平面向量章節(jié)測試題 一、選擇題 1. 若A（2，-1），B（-1，3），則的坐標(biāo)是 ( ) A.（1，2） B.（-3，4） C. （3，-4） D. 以上都不對 2.與a=（4，5）垂直的向量是 ( ) A.（-5k,4k） B. (-10，2） C. () D.（5k, -4k） 3. △ABC中,=a, =b,則等于 ( ) A.a+b B.-(a+b) C.a-b

22、 D.b-a (a－b)－(2a+4b)+(2a+13b)的結(jié)果是 ( ) A.ab B.0 C. a+b D. a－b 5.已知|p|=,|q|=3, p與q的夾角為,則以a=5p+2q,b=p－3q為鄰邊的平行四邊形的一條對角線長為 ( ) A.15 B. 6.已知A(2,-2),B(4,3),向量p的坐標(biāo)為(2k-1,7)且p∥,則k的值為 ( ) A. B. C. D.

23、 7. 已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P與△ABC的關(guān)系是 ( ) A. P在△ABC的內(nèi)部 B. P在△ABC的外部 C. P是AB邊上的一個(gè)三等分點(diǎn) D. P是AC邊上的一個(gè)三等分點(diǎn) 8.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，A (1,5)，B(-2,4)，C(-6,-4)，M是BC邊上一點(diǎn),且△ABM的面積是△ABC面積的,則線段AM的長度是 ( ) A.5 B. C.

24、 D. 1,e2是夾角為450的兩個(gè)單位向量,且a=e1+2e2,b=2e1+e2,,則|a+b|的值 ( ) A. B.9 C. D. 10.若|a|=1,|b|=,(a-b)⊥a,則a與b的夾角為 ( ) 0 B.450 C.6000 11.把一個(gè)函數(shù)的圖象按向量a=(,-2)平移后，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=sin(x+)-2,則原函數(shù)的解析式為 ( ) A.y=sinx

25、 B.y=cosx C.y=sinx+2 D.y= -cosx 12.在△ABC中，=c, = a, =b,則下列推導(dǎo)中錯(cuò)誤的是 ( ) A.若a·b<0,則△ABC為鈍角三角形 B. 若a·b=0,則△ABC為直角三角形 C. 若a·b=b·c,則△ABC為等腰三角形 D. 若c·( a+b+c)=0,則△ABC為等腰三角形 二、填空題 13.在△ABC中，已知且則這個(gè)三角形的形狀是 . 的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時(shí)河水的流速為，則船實(shí)際航行的速度的大小和方向是

26、 . 15. 若向量,現(xiàn)用a、b表示c,則c= . 16.給出下列命題:①若a2+b2=0,則a=b=0; ②已知AB,則 ③已知a,b,c是三個(gè)非零向量,若a+b=0,則|a·c|=|b·c| ④已知,e1,e2是一組基底,a=λ1e1+λ2e2則a與e1不共線,a與e2也不共線; ⑤若a與b共線,則a·b=|a|·|b|.其中正確命題的序號是 . 三、解答題 A B N M D C 17.如圖,ABCD是一個(gè)梯形,, M、N分別是的中點(diǎn),已知a,b,試用a、b表示和 1、e

27、2=e1+e2,2e1+8e2,=3(e1-e2) ⑴求證:A、B、D共線; ⑵試確定實(shí)數(shù)k,使ke1+e2和e1+ke2共線. 19.已知△ABC中,A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC邊上的高為AD.⑴求證:AB⊥AC;⑵求點(diǎn)D與向量的坐標(biāo). 20.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(1,2),B(4,1),C(3,4).⑴求AB邊上的中線CM的長;⑵在AB上取一點(diǎn)P,使過P且平行與BC的直線PQ把的面積分成4:5兩部分,求P點(diǎn)的坐標(biāo). 21.已知a、b是兩個(gè)非零向量，證明：當(dāng)b與a+λb(λ∈R)垂直時(shí)，a+λ

28、b的模取得最小值. 22.已知二次函數(shù)f(x) 對任意x∈R，都有f (1-x)=f (1+x)成立，設(shè)向量a=(sinx,2), b=(2sinx,), c=(cos2x,1),d=(1,2)。 （1）分別求a·b和c·d的取值范圍； （2）當(dāng)x∈[0,π]時(shí)，求不等式f(a·b)>f(c·d)的解集. 平面向量章節(jié)測試題參考答案 一、BCDBA；DDADB；BD 二、4km/h,方向與水流方向的夾角為600 ; 15.a－2b ; 16.①③④ 三、17.∵||=2||∴∴a,b－a , =a－b 18.⑴∵5e1+5e

29、2= , ∴又有公共點(diǎn)B,∴A、B、D共線 ⑵設(shè)存在實(shí)數(shù)λ使ke1+e2=λ(e1+ke2) ∴ k=λ且kλ=1 ∴k= 19.⑴由可知即AB⊥AC ⑵設(shè)D（x,y）,∴ ∵ ∴5(x-2)+5(y-4)=0 ∵ ∴5(x+1)－5(y+2)=0 ∴ ∴D() 20.⑴ ⑵設(shè)P（x,y） 21. 當(dāng)b與a+λb(λ∈R)垂直時(shí)，b·(a+λb)=0,∴λ= - | a+λb |== 當(dāng)λ= -時(shí)，| a+λb |取得最小值. ∴當(dāng)b與a+λb(λ∈R)垂直時(shí)，a+λb的模取得最小值. 22. (1）a·b=2sin2x+11 c·d=2cos2x+11 （2）∵f(1-x)=f(1+x) ∴f(x)圖象關(guān)于x=1對稱 當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)m>0時(shí), f(x)在（1，）內(nèi)單調(diào)遞增， 由f(a·b)>f(c·d) a·b > c·d, 即2sin2x+1>2cos2x+1 又∵x∈[0,π] ∴x∈ 當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)m<0時(shí),f(x)在（1，）內(nèi)單調(diào)遞減， 由f(a·b)>f(c·d) a·b > c·d, 即2sin2x+1<2cos2x+1 又∵x∈[0,π] ∴x∈、 故當(dāng)m>0時(shí)不等式的解集為;當(dāng)m<0時(shí)不等式的解集為