高中數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)學(xué)案-專題 轉(zhuǎn)化與化歸思想

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1、 專題 轉(zhuǎn)化與化歸思想 【思想方法詮釋】 數(shù)學(xué)問題的解答離不開轉(zhuǎn)化與化歸，它既是一種數(shù)學(xué)思想，又是一種數(shù)學(xué)能力，是高考重點考查的最重要的思想方法．在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，它無個不在，比如：處理立體幾何問題時，將空間問題轉(zhuǎn)化到一個平面上解決；在解析幾何中，通過建立坐標(biāo)系將幾何問題化歸為代數(shù)問題；復(fù)數(shù)問題化歸為實數(shù)問題等． 1．轉(zhuǎn)化與化歸的原則 （1）目標(biāo)簡單化原則：將復(fù)雜的問題向簡單的問題轉(zhuǎn)化． （2）和諧統(tǒng)一性原則：即化歸應(yīng)朝著使待解決問題在表現(xiàn)形式上趨于和諧，在量、形關(guān)系上趨于統(tǒng)一的方向進(jìn)行，使問題的條件和結(jié)論更均勻和恰當(dāng)． （3）具體化原則：即化歸言論自由應(yīng)由抽象到具體． （4

2、）低層次原則：即將高維空間問題化歸成低維空間問題． （5）正難則反原則：即當(dāng)問題正面討論遇到困難時，可考慮問題的反面，設(shè)法從問題的反面去探求，使問題獲解． 2．轉(zhuǎn)化與化歸常用到的方法 （1）直接轉(zhuǎn)化法：把問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題． （2）換元法：運用“換元”把超越式轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問題． （3）數(shù)形結(jié)合法：研究原問題中數(shù)量關(guān)系（解析式）與空間形式（圖形）關(guān)系，通過互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑． （4）構(gòu)造法：“構(gòu)造”一個合適的數(shù)學(xué)模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題． （5）坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用計算方法

3、解決幾何問題，是轉(zhuǎn)化方法的一個重要途徑． （6）類比法：運用類比推理，猜測問題的結(jié)論，易于確定轉(zhuǎn)化途徑． （7）特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的結(jié)論適合原問題． （8）等價問題法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個易于解決的等價命題，達(dá)到轉(zhuǎn)化目的． （9）加強命題法：在證明不等式時，原命題難以得證，往往把命題的結(jié)論加強，即命題的結(jié)論加強為原命題的充分條件，反而能將原命題轉(zhuǎn)化為一個較易證明的命題，比如在證明不等式時：原命題往往難以得證，這時常把結(jié)論加強，使之成為原命題的充分條件，從而易證． （10）補集法：如果下面解決原問題有困難，可把原問題結(jié)果看作集合A，而包含該問題的整

4、體問題的結(jié)果類比為全集U，通過解決全集U及補集使原問題得以解決． 【核心要點突破】 要點考向1：函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化 例1：已知函數(shù)f(x)=x2+2x+alnx．或函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1]上為單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍． 思路精析：單調(diào)增函數(shù)→不等式恒成立→分離參數(shù)→求函數(shù)最值→實數(shù)a的范圍 解析：∵f(x)在區(qū)間(0，1]上為單調(diào)增函數(shù)．∴f’(x)≥0在(0，1]上恒成立． 亦即：a≥-(2x2+2x) 在(0，1]上恒成立， 又在(0，1]上為單調(diào)遞減， ∴當(dāng)a≥0時，f(x)在區(qū)間(0，1]上為單調(diào)增函數(shù) 注：函數(shù)與方程、不等式就像“一胞三兄弟”，解

5、決方程、不等式的問題需要函數(shù)幫助，解決函數(shù)的問題需要方程，不等式的幫助，因此借助于函數(shù)與方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問題化繁為簡，一般可將不等關(guān)系化為最值（值域）問題，從而求出參變量的范圍． 要點考向2：正面與反面的轉(zhuǎn)化 例2：有9張卡片分別寫著數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9，甲、乙二人依次從中抽取一張卡片（不放回），試求： （1）甲抽到寫有奇數(shù)數(shù)字卡片，且乙抽到寫有偶數(shù)數(shù)字卡片的概率． （2）甲、乙二人至少抽到一張奇數(shù)數(shù)字卡片的概率． 思路精析：（1）甲、乙二人依次各抽一張的可能結(jié)果→甲抽到含奇數(shù)，乙抽到含偶數(shù)數(shù)字卡片的結(jié)果→求概率． （2）找對立事件→求對立事件概率

6、→求出原事件概率． 解答：（1）甲、乙二人依次從九張卡片中各抽取一張的可能結(jié)果有，甲抽到寫有奇數(shù)數(shù)字卡片，且乙抽到寫有偶數(shù)數(shù)字卡片的結(jié)果有種，設(shè)甲抽到寫有奇數(shù)數(shù)字卡片，且乙抽到寫有偶數(shù)數(shù)字卡片的概率為P1，則 （2）設(shè)甲、乙二人至少抽到一張奇數(shù)數(shù)字的概率為P2，甲、乙二人至少抽到一張奇數(shù)數(shù)字卡片的對立事件為兩人均抽到寫有偶數(shù)數(shù)字卡片．設(shè)為， 則 注：一般地，一個題目若出現(xiàn)多種成立的情況，則不成立的情況一般較少，宜從反而考慮，多使用于“至多”“至少”這種情形． 要點考向3：命題的等價轉(zhuǎn)化 例3：已知f(x)為定義在實數(shù)R上的奇函數(shù)，且f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù)．當(dāng)時，是否存

7、在這樣的實數(shù)m，使 對所有的均成立？若存在，求出所有適合條件的實數(shù)m；若不存在，請說明理由． 思路精析：由奇偶性及單調(diào)性→f(x)單調(diào)性→關(guān)于的不等式→一元二次不等式恒成立→函數(shù)最值→m的范圍． 解析：由f(x)是R上的奇函數(shù)可得f(0)=0．又在[0,+∞)上是增函數(shù)，故f(x)在R上為增函數(shù)．由題設(shè)條件可得又由f(x)為奇函數(shù)， 可得∵f(x)在R上為增函數(shù)，∴即 ．令于是問題轉(zhuǎn)化為對一切0≤t≤1,不等式t2-mt+2m-2＞0恒成立． 又 ∴存在實數(shù)m滿足題設(shè)的條件， 注：根據(jù)問題的特點轉(zhuǎn)化命題，使原問題轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)，易于解決的新問題，是我們解決數(shù)學(xué)問題的常用思路，常見

8、的有： （1）在三角函數(shù)中，涉及到三角式的變形，一般通過轉(zhuǎn)化與化歸將復(fù)雜的三角問題轉(zhuǎn)化為已知或易解的三角問題，以起到化暗為明的作用，主要的方法有公式化的“三用”（順用、逆用、變形用）、角度的轉(zhuǎn)化、函數(shù)的轉(zhuǎn)化等． （2）換元法：是將一個復(fù)雜的或陌生的函數(shù)、方程、不等式轉(zhuǎn)化為簡單的或熟悉的函數(shù)、方程、不等式的一種重要方法． （3）在解決平面向量與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等知識的交匯題目時，常將平面向量語言與三角函數(shù)，平面幾何、解析幾何語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化． （4）在解決數(shù)列問題時，常將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求解． （5）在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題時，常將函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）、切線

9、問題，轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)f’(x)構(gòu)成的方程、不等問題求解． （6）在解決解析幾何、立體幾何問題時，常常在數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化． （7）實際問題與數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)化． 【跟蹤模擬訓(xùn)練】 一、選擇題（每小題6分，共36分） 1．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（是虛數(shù)單位，是實數(shù)），則 （ ） A． B． C． D．2 2．已知是定義在上的增函數(shù)，函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，若滿足，則當(dāng)時，的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 3．已知分別是雙曲線的左、右焦點，過作垂直于軸的直線交雙曲線于、兩點，若為銳角三角形，則雙曲線的

10、離心率的范圍是( ) (A) (B) (C) (D) 4．將一個正方體截去四個角得到一個四面體BDA1C1，這個四面體的體積是正方體體積的 （ ） 5.對于拋物線y2=4x上任意一點Q，如果點P（a，0）滿足|PQ|≥|a|,則a的取值范圍是（ ） (A)（-∞,0) (B)(-∞,2］ (C)［0,2］ (D)(0,2) 6．設(shè)分別為具有公共焦點的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個公共點，且滿足的值為 （ ） A．2 B． C．4 D． 二

11、、填空題（每小題6分，共18分） 7． ，當(dāng)A∩B有且只有一個元素時，a、b滿足的關(guān)系式是 8. 當(dāng)x∈(1,2)時，不等式x2+mx+4＜0恒成立，則m的取值范圍是_______. 9.如圖,三棱錐P—ABC中,各條棱的長都是2,E是側(cè)棱PC的中點,D是側(cè)棱PB上任一點,則△ADE的最小周長為_____. 三、解答題（10、11題每題15分，12題16分，共46分） 10．已知向量m=(1,1)，向量與向量夾角為，且·=-1， (1)求向量； (2)若向量與向量=(1,0)的夾角為，向量=(cosA,2cos2)，其中A、C為DABC的內(nèi)角，

12、且A、B、C依次成等差數(shù)列，試求|+|的取值范圍。 11．已知可行域的外接圓C與軸交于點A1、A2，橢圓C1以線段A1A2為短軸，離心率 （Ⅰ）求圓C及橢圓C1的方程； （Ⅱ）過橢圓C1上一點P(不在坐標(biāo)軸上)向圓C引兩條切線PA、PB、A、B為切點，直線AB分別與x軸、y軸交于點M、N．求△MON面積的最小值．（O為原點）． 12．設(shè)函數(shù) （Ⅰ）當(dāng)曲線處的切線斜率 （Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值； （Ⅲ）已知函數(shù)有三個互不相同的零點0，，且。若對任意的，恒成立，求m的取值范圍。 參考答案 1．A 2．C 3．A 4．解析：選B．設(shè)正方體棱

13、長為a，則 5． 6．A 7．解析：A∩B有且只有一個元素可轉(zhuǎn)化為直線與圓相切，故 8．【解析】不等式x2+mx+4＜0在（1，2）恒成立， 又x∈(1,2)∴g′(x)＞0,∴g(x)在（1，2）為單調(diào)增函數(shù)，∴m≤-5.答案：m≤-5 9．【解析】把空間問題化歸成平面問題,是立體幾何中化歸思想最重要的內(nèi)容.有這種思想作指導(dǎo),結(jié)合題干圖,由于AE是定長:故只要把側(cè)面PAB、PBC展平,那么當(dāng)A、D、E三點共線時的AE長,即AD+DE的值最小. 在如圖所示的△AEP中,PA=2,PE=1,∠APE=120°,故依余弦定理有AE2=22+12-2·2·1·co

14、s120°=7,所以AE=,于是得△AED的最小周長為.答案： 10．解析：(1)設(shè)=(x,y)??? 則由<,>=得：cos<,>==? ① ??? 由·=-1得x+y=-1? ②聯(lián)立①②兩式得或??? ∴=(0,-1)或(-1,0) (2) ∵<,>=??? 得·=0若=(1,0)則·=-110故1(-1,0) ∴=(0,-1) ??? ∵2B=A+C，A+B+C=p??? TB=?? ∴C=??? +=(cosA,2cos2)? =(cosA,cosC) ??? ∴|+|==== ??? =??? =??? = ∵0

15、) 11．解析：（Ⅰ）由題意可知，可行域是以及點為頂點的三角形，∵，∴為直角三角形，???? ┅┅┅┅┅┅┅2分 ∴外接圓C以原點O為圓心，線段A1A2為直徑，故其方程為． ∵2b=4，∴b=2．又，可得．∴所求橢圓C1的方程是．?┅┅┅4分 （Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），，OA的斜率為，則PA的斜率為，則PA的方程為：化簡為：，???? 同理PB的方程為??????????????? ┅┅┅┅┅┅┅6分 又PA、PB同時過P點，則x1x0+y1y0=4，x2x0+y2y0=4， ∴AB的直線方程為：x0x+y0y=4?????????????? ┅┅┅┅┅┅┅8

16、分 （或者求出以O(shè)P為直徑的圓，然后求出該圓與圓C的公共弦所在直線方程即為AB的方程） 從而得到、所以? ?┅┅8分 當(dāng)且僅當(dāng).?????????? ┅┅┅┅┅┅┅12分 （或者利用橢圓的參數(shù)方程、函數(shù)求最值等方法求的最大值） 12．解析：當(dāng) 所以曲線處的切線斜率為1. （2），令，得到 因為 當(dāng)x變化時，的變化情況如下表： + 0 - 0 + 極小值 極大值 在和內(nèi)減函數(shù)，在內(nèi)增函數(shù)。 函數(shù)在處取得極大值，且= 函數(shù)在處取得極小值，且= （3）由題設(shè)， 所以方程=0由兩個相異的實根，故，且，解得 因

17、為 若，而，不合題意 若則對任意的有 則又，所以函數(shù)在的最小值為0，于是對任意的，恒成立的充要條件是,解得?? 綜上，m的取值范圍是 【備課資源】 1．設(shè)橢圓的半徑焦距為c，直線過(0,a)和(b,0)，已知原點到的距離等于，則橢圓的離心率為 （ ） 解析：選B．由已知得：[ 2．某小組共10名學(xué)生，其中女生3名，現(xiàn)選舉2名代表，至少有1名女生當(dāng)選的概率為（ ） 解析：選B．利用正難則反轉(zhuǎn)化： 3．從雙曲線的左焦點F引圓x2+y2=a2的切線l,切點為T，且l交雙曲線的右支于點P，若點M是線段FP的中點，O為坐標(biāo)原點，則|OM|-|TM|等于（

18、） 4.已知a＞0，f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1)，l是曲線y=f(x)在點P(0,f(0))處的切線. （1）求l的方程； （2）若切線l與曲線y=f(x)有且只有一個公共點，求a的值； （3）證明：對于任意的a=n(n∈N*),函數(shù)y=f(x)總有單調(diào)遞減區(qū)間，并求出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的長度的取值范圍.（區(qū)間［x1,x2］的長度=x2-x1) 【解析】(1)∵f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),f(0)=1. ∴f′(0)=-1, 即切點P(0,1)，l斜率為-1，∴切線l的方程：y=-x+1. (2)切線l與曲線y=f(x)有且只有一個

19、公共點等價于方程ax2-2x+1+ln(x+1)=-x+1， 即ax2-x+ln(x+1)=0有且只有一個實數(shù)解.令h(x)=ax2-x+ln(x+1), 則方程h(x)=0有且只有一個實數(shù)解.∵h(yuǎn)(0)=0,∴方程h(x)=0有一解x=0. 5.設(shè)函數(shù)f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a. (1)當(dāng)a=0時，f(x)≥h(x)在（1，+∞)上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍； (2)當(dāng)m=2時，若函數(shù)k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有兩個不同零點，求實數(shù)a的取值范圍； (3)是否存在實數(shù)m,使函數(shù)f(x)和函數(shù)h(x)在公共定義域上具有相同的單調(diào)性？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由.