高等數(shù)學(xué)教學(xué)教案§12 數(shù)列的極限

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1、六六老師數(shù)學(xué)網(wǎng)專用資料： http://y66.80.hk qq：745924769 tel：15327376117 §1.2 數(shù)列的極限 授課次序02 教 學(xué) 基 本 指 標(biāo) 教學(xué)課題 §1.2 數(shù)列的極限 教學(xué)方法 當(dāng)堂講授，輔以多媒體教學(xué) 教學(xué)重點(diǎn) 數(shù)列極限的概念與性質(zhì) 教學(xué)難點(diǎn) 概念的引入、極限的證明與性質(zhì)的推導(dǎo) 參考教材 同濟(jì)大學(xué)編《高等數(shù)學(xué)（第6版）》 自編教材《高等數(shù)學(xué)習(xí)題課教程》 作業(yè)布置 《高等數(shù)學(xué)》標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè) 雙語(yǔ)教學(xué) 數(shù)列：sequence；極限：limit；極限值：limit value

2、；常量：constant quantity； 發(fā)散：diverge；收斂：converge 課堂教學(xué)目標(biāo) 1． 了解數(shù)列極限的概念，知道極限的ε－Ν定義（對(duì)于給出的ε求N的題不作要求） 2． 理解數(shù)列極限的基本性質(zhì) 教學(xué)過(guò)程 1．?dāng)?shù)列極限的定義（25min），（1）從幾個(gè)古典問(wèn)題（芝洛悖論、截丈問(wèn)題）入手引出從有限到無(wú)限人類思維過(guò)程中遇到的困難，（2）再?gòu)母顖A術(shù)入手引出數(shù)列、數(shù)列極限的樸素定義；（3）通過(guò)對(duì)數(shù)列特征的觀察，逐步引出數(shù)列極限的定義； 2．應(yīng)用定義證明極限（20min）介紹幾種重要的數(shù)列的極限的證明過(guò)程，讓學(xué)生明白基本過(guò)程。 3．收斂數(shù)列的性質(zhì)（唯一性、有界性）（

3、45min） 本 節(jié) 課 程 設(shè) 計(jì) 1、極限概念 1. 背景知識(shí)與引入方法 極限概念是微積分理論中最核心的概念，極限方法是數(shù)學(xué)中最重要的思想方法，也是基本的推理工具. 可以說(shuō)，沒(méi)有極限概念，就不可能有高等數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)結(jié)構(gòu)。理解極限概念，才能理解導(dǎo)數(shù)、微分、積分、級(jí)數(shù)等微積分中的其它核心內(nèi)容。 極限的本質(zhì)是用“變化”的思想和“逼近”的思想研究函數(shù)的變化性態(tài)。極限概念的建立是從常量過(guò)渡到變量、從有限過(guò)渡到無(wú)限、從初等數(shù)學(xué)過(guò)渡到高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。 極限思想源遠(yuǎn)流長(zhǎng)。 我國(guó)古代莊子（公元前355-275年，另一說(shuō)為公元前369-286年）的“截杖說(shuō)”，漢代劉徽

4、（公元三世紀(jì)）的“割圓術(shù)”,都體現(xiàn)出樸素的極限思想。劉徽是我國(guó)第一位用極限思想來(lái)考慮問(wèn)題的科學(xué)家，他從圓內(nèi)接六邊形開(kāi)始，每次把邊數(shù)加倍，利用勾股定理求出正12邊形，24邊形，……，直到正192邊形的面積，求出了圓周率, 后來(lái)又計(jì)算到圓內(nèi)接3072邊形面積，得到，奠定了中國(guó)科學(xué)家在數(shù)學(xué)史中的地位。 在歐洲古希臘時(shí)期就萌芽出了“窮竭法”。柏拉圖（Plato，公元前430-349年）的學(xué)生攸多克薩斯（Eudoxus,公元前408-355年）用“窮竭法”證明了一個(gè)極端重要的命題：“取去一半之量，再取去所余之一半，這樣繼續(xù)下去，可以使所余的量小于另一個(gè)任意給定的量”,這正是近代極限論的雛形。 盡管古

5、今中外的學(xué)者們?cè)?jīng)有意無(wú)意地使用了極限方法，但是極限概念的形成卻走過(guò)了一段相當(dāng)漫長(zhǎng)的艱苦歷程. 在十七世紀(jì)微積分誕生的初期，數(shù)學(xué)家們一直覺(jué)得極限概念玄妙而不可捉摸，什么是極限還十分模糊。自十七世紀(jì)中葉微積分建立之后，微積分飛速向前發(fā)展，十八世紀(jì)達(dá)到空前燦爛的程度，其內(nèi)容之豐富，應(yīng)用之廣泛，簡(jiǎn)直令人眼花繚亂。她的進(jìn)步如此快，使人們來(lái)不及梳理一下這門(mén)偉大科學(xué)的理論基礎(chǔ)，由于對(duì)極限概念的理解十分混亂，使微積分遭受到種種非難。十九世紀(jì)初，許多迫切問(wèn)題基本上得到解決，數(shù)學(xué)家開(kāi)始轉(zhuǎn)向重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的工作。 十九世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西 ( Cauchy Augustin Louis,1789-1857) 出版

6、了他的三部代表作: 《分析教程》( 1821年)、《無(wú)窮小分析教程概論》( 1823年) 和《微分計(jì)算教程》( 1829年). 1821年, 他在《分析教程》中給出了極限的定義：“當(dāng)一個(gè)量逐次所取的值無(wú)限趨向于一個(gè)定值，最終使變量的值和該定值之差想要多小就有多小，這個(gè)值就叫所有其它值的極限?！?半個(gè)世紀(jì)后，德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯( Weierstrass , 1815-1897)給出了的極限的 定義，從而使極限概念擺脫了依賴幾何直觀的俗習(xí)，擺脫了“無(wú)限趨近”、“想要多小就有多小”等提法的不明確性,極限概念被嚴(yán)密化，成為微積分學(xué)的堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)工具。此定義仍普遍沿用，也就是我們今天教材中采用的定義。

7、 建議本節(jié)內(nèi)容從樸素直觀的極限例子開(kāi)始, 揭示極限思想,并不斷嚴(yán)密化、抽象化、數(shù)學(xué)化，提煉極限語(yǔ)言， 最后給出、 語(yǔ)言的極限定義。 2. 講解方法 方法１ 首先從具體例子引出函數(shù)極限的形象的、說(shuō)明性的直觀定義，然后在將其逐漸完善，最終得到函數(shù)極限的定義．此后將數(shù)列極限作為函數(shù)極限的特例給出． 方法２ 首先從具體的數(shù)列極限的例子出發(fā)，觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)，從中找出數(shù)列{}以某個(gè)常數(shù)A為極限的特征．將形象的、說(shuō)明性的直觀語(yǔ)言逐漸完善，最終得到數(shù)列的極限定義．此后再將數(shù)列極限拓廣到函數(shù)極限的定義．下面我們主要采用第2種方法． 3. 難點(diǎn)及解決方法 本知識(shí)點(diǎn)的難點(diǎn)：使用, ,定義證明,難點(diǎn)

8、在于理解的存在性在證明中所起的邏輯作用。 解決的主要方法：（1）首先要整理好思路，理順邏輯關(guān)系。不管進(jìn)行了多么復(fù)雜的運(yùn)算過(guò)程，要牢牢把握住四個(gè)關(guān)鍵詞：任給…，存在…，當(dāng)…時(shí)，恒有…。只有這四個(gè)關(guān)鍵詞組成邏輯鎖鏈時(shí)，證明才算完成。（2）要特別注意所選擇的只能與有關(guān)，決不能與自變量有關(guān)。這樣，當(dāng)給定時(shí)，自然也就存在了．（3）要注意的不唯一性，只要存在即可，不要追求最嚴(yán)格和最精確. 對(duì)不等式進(jìn)行適當(dāng)放大或縮小，可以大大簡(jiǎn)化求解過(guò)程。養(yǎng)成放縮不等式的意識(shí)十分重要。（3）可以按例題的層次分成個(gè)幾個(gè)臺(tái)階，內(nèi)容的組織注意逐步加深加難，有一個(gè)循序漸進(jìn)和螺旋式上升的過(guò)程。 4．常見(jiàn)錯(cuò)誤分析 最致命的

9、錯(cuò)誤是對(duì)定義的邏輯關(guān)系理解不清，或者對(duì)語(yǔ)言不會(huì)表述，使證明不知所云。 另一種錯(cuò)誤是在證明中不能把握不等式放大縮小的方向, 常常把不等號(hào)搞反；有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)放大過(guò)度的現(xiàn)象。證明技巧的核心和水平的體現(xiàn)是在不等式的放縮上。 常見(jiàn)錯(cuò)誤之一還有如例5中只取了, 而忘了限定。這雖然不是一種實(shí)質(zhì)性錯(cuò)誤，但是不夠嚴(yán)謹(jǐn)。要知道，在微積分學(xué)習(xí)之初培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牧?xí)慣和意識(shí)是極其重要的。 5．與其他知識(shí)點(diǎn)的關(guān)聯(lián) 微積分的一系列重要概念如連續(xù), 導(dǎo)數(shù), 定積分, 無(wú)窮級(jí)數(shù)等都是建立在極限的定義基礎(chǔ)之上的. 6．?dāng)U展知識(shí) 數(shù)列的上(下)極限 極限性質(zhì) 1. 背景知識(shí)與引入方法 在已經(jīng)給出數(shù)列極限、函數(shù)極限

10、的定義的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究極限的各種性質(zhì)。表面上看好像對(duì)極限特性的學(xué)習(xí)是本小節(jié)的目的，其實(shí)逐步熟悉極限語(yǔ)言的論證方法也是學(xué)習(xí)本小節(jié)內(nèi)容的重要目的，這一點(diǎn)是不容忽略的。應(yīng)該明確地向?qū)W生提出這種要求。 2. 講解方法 總的來(lái)說(shuō)是從幾何直觀出發(fā)，總結(jié)出樸素的思想，然后用，語(yǔ)言來(lái)給出證明。 方法１ 首先研究函數(shù)極限的性質(zhì)，此后將數(shù)列極限作為函數(shù)極限的特例給出． 方法２ 首先從研究數(shù)列極限的性質(zhì)出發(fā)，然后將其拓廣到函數(shù)極限的情形．我們采用第2種方法． 定理1（極限的唯一性） 收斂數(shù)列的極限是唯一的． 首先將數(shù)列的各項(xiàng)在數(shù)軸上標(biāo)示出來(lái)，于是數(shù)列的第n項(xiàng)就與數(shù)軸上的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系

11、．從幾何直觀看數(shù)列收斂于A，就是除有限項(xiàng)以外其它的各項(xiàng)都進(jìn)入到A點(diǎn)的鄰域中去了．可以考慮用反證法對(duì)定理進(jìn)行證明．若假設(shè)數(shù)列同時(shí)收斂于兩個(gè)不同的常數(shù)A和B（不妨設(shè)）, 則在足夠大的N以后數(shù)列的所有項(xiàng)既都進(jìn)入到A點(diǎn)的鄰域中，又都進(jìn)入到B點(diǎn)的鄰域中．而這兩個(gè)集合的交為空集,于是得到矛盾．需要特別注意的是教會(huì)學(xué)生如何把腦子里所想到的事實(shí)用語(yǔ)言寫(xiě)出來(lái)． 證明了定理1之后我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，對(duì)于收斂數(shù)列，它的N以后的所有項(xiàng)都進(jìn)入到某一點(diǎn)的鄰域中去了，故在數(shù)軸的其余地方只能有限多項(xiàng)．綜合以上兩條我們就可以得到收斂數(shù)列的有界性： 定理２（收斂數(shù)列的有界性） 若數(shù)列收斂， 則數(shù)列有界． 在數(shù)列中任意抽取無(wú)限多項(xiàng)并

12、保持這些項(xiàng)在原數(shù)列中的先后次序，這樣得到的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列的子數(shù)列（或子列）． 定理３（收斂數(shù)列與其子列間的關(guān)系） 若數(shù)列收斂于a， 則它的任一子數(shù)列也收斂，且收斂于相同的極限a． 以上三個(gè)定理都是數(shù)列收斂的必要條件．我們通常用其逆命題證明極限不存在．此外，我們可以很容易的將以上定理拓廣到函數(shù)極限的情況． 定理1’ （極限的唯一性） 定理２’（局部有界性） 定理４（局部保號(hào)性） 若，且A＞0（或A< 0），則存在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域，當(dāng)x在該鄰域內(nèi)時(shí)，有（或）. 定理４’ 若，則存在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域，當(dāng)x在該鄰域內(nèi)時(shí)，可以保證。 定理５（保號(hào)性）　若在點(diǎn)的某去心鄰

13、域內(nèi)，而且，那么 在情況下有類似的相應(yīng)結(jié)果． 注意1 定理１’, 定理2’, 定理4, 定理4’, 定理5考慮的都是函數(shù)的局部性質(zhì)．例如對(duì)函數(shù)，有，當(dāng)我們?nèi)r(shí)，函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)有界．而取時(shí)，函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)無(wú)界． 注意2 在定理5中若將換成，定理中的A依然是，而不能推出．事實(shí)上，在原點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)，且極限 存在，但是此時(shí)極限A = 0. 雖然函數(shù)極限與數(shù)列極限是分別定義的，但是本質(zhì)上兩者卻可以互相轉(zhuǎn)化．海涅（Heine）定理就是溝通函數(shù)極限和數(shù)列極限的橋梁． 定理６( Heine ) 3. 難點(diǎn)及解決方法 極限證明歷來(lái)是微積分課程中難點(diǎn)。學(xué)生最怕做證明題，常常一看

14、到證明就頭疼．極限的證明可以先從模仿開(kāi)始，認(rèn)真研讀教科書(shū)中的證明思路和證明手法，理解證明過(guò)程的邏輯關(guān)系，了解證明的直觀幾何意義，是突破這一難點(diǎn)的突破口。我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從反復(fù)的認(rèn)真讀題開(kāi)始，弄清題目的真正含義以及幾何意義．先從幾何直觀上想明白題目怎么做；接下來(lái)再將想清楚的問(wèn)題翻譯成，,語(yǔ)言．比如在例1中我們先考慮數(shù)列的兩個(gè)子列、都以a為極限，而＝{，},從而以a為極限．接下來(lái)的工作就是把這種想法翻譯成語(yǔ)言．我們還可以進(jìn)一步推廣，若數(shù)列，，都以a為極限，則數(shù)列也以a為極限． 4. 常見(jiàn)錯(cuò)誤分析 對(duì)于無(wú)界數(shù)列（或函數(shù)），有些學(xué)生會(huì)把它的極限不存在與極限是無(wú)窮大等同起來(lái)．事實(shí)上二者是不同的．通過(guò)例

15、2就可以清楚地看到，無(wú)界數(shù)列極限不存在時(shí)，不一定趨于無(wú)窮大；而以無(wú)窮大為極限的數(shù)列必定無(wú)界，無(wú)窮大只是數(shù)列極限不存在的一種情況． 5. 與其他知識(shí)點(diǎn)的關(guān)聯(lián) 數(shù)列或函數(shù)極限的某些基本性質(zhì)可以拓展到二維或高維空間。 使用極限性質(zhì)求極限或證明極限不存在是極限運(yùn)算中的基本方法之一． 6. 擴(kuò)展知識(shí) 二元函數(shù)的極限問(wèn)題． 教 學(xué) 基 本 內(nèi) 容 §1.2 數(shù)列的極限 一個(gè)實(shí)際問(wèn)題: 如可用漸近的方程法求圓的面積？ 設(shè)有一圓, 首先作內(nèi)接正四邊形, 它的面積記為A1；再作內(nèi)接正八邊形, 它的面積記為A2；再作內(nèi)接正十六邊形

16、, 它的面積記為A3；如此下去, 每次邊數(shù)加倍, 一般把內(nèi)接正8×2n-1邊形的面積記為An . 這樣就得到一系列內(nèi)接正多邊形的面積: A1, A2, A3, × × × × × × , An, × × × 設(shè)想n 無(wú)限增大（記為n?￥, 讀作n 趨于窮大）, 即內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加, 在這個(gè)過(guò)程中, 內(nèi)接正多邊形無(wú)限接近于圓, 同時(shí)An 也無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值, 這個(gè)確定的數(shù)值就理解為圓的面積. 這個(gè)確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上稱為上面有次序的數(shù)（數(shù)列） A1, A2, A3, × × × , An, × × ×當(dāng)n ?￥時(shí)的極限. 數(shù)列的概念:如果按

17、照某一法則, 使得對(duì)任何一個(gè)正整數(shù)n 有一個(gè)確定的數(shù)xn , 則得到一列有次序的數(shù) x1, x2, x3, × × × , xn , × × × 這一列有次序的數(shù)就叫做數(shù)列, 記為{xn}, 其中第n 項(xiàng)xn 叫做數(shù)列的一般項(xiàng). 數(shù)列的例子: {}: , , , × × × , × × ×; {2n}: 2, 4, 8, × × × , 2n , × × ×; {}: , , , × × × , , × × × ; {(-1)n+1}: 1, -1, 1, × × × , (-1)n+1, × ×

18、× ; {}: 2, , , × × × , , × × × . 它們的一般項(xiàng)依次為 , 2n, , (-1)n+1, . 數(shù)列的幾何意義:數(shù)列{xn}可以看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 它依次取數(shù)軸上的點(diǎn)x1, x2, x3, × × × , xn , × × ×. 數(shù)列與函數(shù):數(shù)列{xn}可以看作自變量為正整數(shù)n 的函數(shù): xn=f (n), 它的定義域是全體正整數(shù). 數(shù)列的極限: 數(shù)列的極限的通俗定義:對(duì)于數(shù)列{xn}, 如果當(dāng)n 無(wú)限增大時(shí), 數(shù)列的一般項(xiàng)xn無(wú)限地接近于某一確定的數(shù)值a, 則稱常數(shù)a 是數(shù)列{xn}的

19、極限, 或稱數(shù)列{xn}收斂a . 記為. 如果數(shù)列沒(méi)有極限, 就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的. 例如 ,, ; 而{2n}, { (-1)n+1}, 是發(fā)散的. 對(duì)無(wú)限接近的刻劃: xn無(wú)限接近于a 等價(jià)于|xn-a |無(wú)限接近于0, 極限的精確定義: 定義 如果數(shù)列{xn}與常a 有下列關(guān)系:對(duì)于任意給定的正數(shù)e (不論它多么小), 總存在正整數(shù)N , 使得對(duì)于n >N 時(shí)的一切xn, 不等式 |xn-a |

20、限, 就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的. ?"e >0, $N?N+, 當(dāng)n>N時(shí), 有|xn-a|0, 要使|xn-1|0, $?N+, 當(dāng)n>N時(shí), 有 |xn-1|=, 所以. 例2. 證明. 分析: |xn-0|. 對(duì)于"e >0, 要使|xn-0|0, $?N+, 當(dāng)n>N時(shí), 有 |xn-0|=, 所以.

21、 例3. 設(shè)|q |<1, 證明等比數(shù)列 1, q , q2, × × × , qn-1, × × ×的極限是0. 分析: 對(duì)于任意給定的e >0, 要使 |x n-0|=| qn-1-0|=|q| n-1log|q|e +1就可以了, 故可取N=[log|q|e +1]。 證明: 因?yàn)閷?duì)于任意給定的e >0, 存在N=[ log|q|e +1], 當(dāng)n>N時(shí), 有 | qn-1-0|=|q| n-1

22、明: 假設(shè)同時(shí)有及, 且a0, 存在充分大的正整數(shù)N, 使當(dāng)n>N時(shí), 同時(shí)有 |xn-a|< 及|xn-b|<, 因此同時(shí)有 及, 這是不可能的. 所以只能有a=b. 數(shù)列的有界性: 對(duì)于數(shù)列{xn}，如果存在著正數(shù)M，使得對(duì)一切xn都滿足 不等式 |xn|￡M, 則稱數(shù)列{xn}是有界的; 如果這樣的正數(shù)M不存在，就說(shuō)數(shù)列{xn}是無(wú)界的 定理2(收斂數(shù)列的有界性) 如果數(shù)列{xn}收斂, 那么數(shù)列{xn}一定有界. 證明: 設(shè)數(shù)列{xn}收斂, 且收斂于a, 根據(jù)數(shù)列極限的定義, 對(duì)于e =1, 存在正整

23、數(shù)N, 使對(duì)于n>N 時(shí)的一切xn , 不等式|xn-a|N時(shí), |xn|=|(xn -a)+a| ￡| xn-a|+|a|<1+|a|. 取M=max{|x 1|, |x 2|, × × ×, |x N |, 1+| a |}, 那么數(shù)列{xn}中的一切xn都滿足不等式 |xn|￡ M.這就證明了數(shù)列{xn}是有界的. 定理3收斂數(shù)列的保號(hào)性) 如果數(shù)列{xn}收斂于a, 且a>0(或a<0), 那么存在正整數(shù)N, 當(dāng)n>N時(shí), 有xn>0(或xn<0). 證 就a>0的情形證明. 由數(shù)列

24、極限的定義, 對(duì), $N?N+, 當(dāng)n>N時(shí), 有, 從而 . 推論 如果數(shù)列{xn}從某項(xiàng)起有xn30(或xn￡0), 且數(shù)列{xn}收斂于a, 那么a30(或a￡0). 證明 就xn30情形證明. 設(shè)數(shù)列{xn}從N1項(xiàng)起, 即當(dāng)n>N 1時(shí)有xn30. 現(xiàn)在用反證法證明, 或a<0, 則由定理3知, $N 2?N+, 當(dāng)n> N 2時(shí), 有xn<0. 取N=max{ N 1, N 2 }, 當(dāng)n>N時(shí), 按假定有x n 30, 按定理3有x n<0, 這引起矛盾. 所以必有a 30. 子數(shù)列: 在數(shù)列{xn}中任意抽取無(wú)限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列中的先后次序,

25、 這樣得到的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列{xn}的子數(shù)列. 例如, 數(shù)列{xn}: 1, -1, 1, -1, × × ×, (-1)n+1× × ×的一子數(shù)列為{x2n}: -1, -1, -1, × × ×, (-1)2n+1× × ×. 定理3(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系) 如果數(shù)列{xn}收斂于a, 那么它的任一子數(shù)列也收斂, 且極限也是a . 證明: 設(shè)數(shù)列是數(shù)列{xn}的任一子數(shù)列. 因?yàn)閿?shù)列{xn}收斂于a, 所以"e >0, $N?N+, 當(dāng)n>N時(shí), 有|xn-a|K時(shí), nk3k>K=N

26、. 于是|-a|N 時(shí), 有|xn-a|