第22單元 假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念；一個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)；

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1、第22講 假設(shè)檢驗(yàn) 教學(xué)目的：通過(guò)本單元的學(xué)習(xí)，掌握假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念，會(huì)做一個(gè)正態(tài)總體及兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)。 教學(xué)重點(diǎn)：假設(shè)檢驗(yàn)的基本方法及步驟，一個(gè)正態(tài)總體及兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的方法。 教學(xué)難點(diǎn)：假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理。 教學(xué)時(shí)數(shù)：3學(xué)時(shí)。 教學(xué)過(guò)程： 第七章 假設(shè)檢驗(yàn) §7.1 假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念 1. 問(wèn)題的提出 在實(shí)際問(wèn)題中，我們經(jīng)常要遇到這樣一類問(wèn)題。在一個(gè)總體中原來(lái)參數(shù)為，由于工作或生產(chǎn)條件的改變，參數(shù)可能要變化，是變大了，還是變小了，或者是沒(méi)變？這是我們要知道的。它可以通過(guò)所謂的“假設(shè)檢驗(yàn)”來(lái)實(shí)現(xiàn)。 例如，據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某地區(qū)成年男性平均身高為1

2、72（）。現(xiàn)隨機(jī)抽取一個(gè)樣本，算得平均身高為174（）。能否據(jù)此認(rèn)為該地區(qū)成年男性平均身高提高了，或者是沒(méi)有變？ 如果將該地區(qū)成年男性身高記作總體，這就是檢驗(yàn)的均值的變化情況。當(dāng)檢驗(yàn)平均身高有沒(méi)有變化時(shí)，可以用檢驗(yàn)假設(shè)：； ：表示。稱為原假設(shè)，稱為備擇假設(shè)(一般它是的對(duì)立面)，與統(tǒng)稱為檢驗(yàn)假設(shè)。 當(dāng)檢驗(yàn)平均身高有沒(méi)有提高時(shí)，可以用檢驗(yàn)假設(shè)：； ：表示。也可以用檢驗(yàn)假設(shè)：；： 表示。 又例如，甲、乙兩臺(tái)包裝機(jī)包裝白糖，各隨機(jī)抽取一個(gè)樣本，算得樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為20（）和24（）。問(wèn)能否據(jù)此認(rèn)為甲包裝機(jī)工作更穩(wěn)定一些？ 如果將甲、乙兩臺(tái)包裝機(jī)包裝白糖的質(zhì)量分別記作總體、。這就是比較與的方差與

3、大小?？梢杂脵z驗(yàn)假設(shè)：； ：表示，或者用檢驗(yàn)假設(shè)：； ：表示。 2. 假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理與推理方法 作假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，先提出檢驗(yàn)假設(shè)與，我們首先承認(rèn)原假設(shè)成立，在此基礎(chǔ)上隨機(jī)抽取一個(gè)樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。如果通過(guò)推斷得到一個(gè)合理現(xiàn)象（這個(gè)樣本不是小概率事件），則沒(méi)有理由拒絕原假設(shè)，因此我們接受原假設(shè)，并且拒絕備擇假設(shè)；相反，如果通過(guò)推斷得到一個(gè)不合理現(xiàn)象（這個(gè)樣本是小概率事件），則沒(méi)有理由接受原假設(shè)，因此我們拒絕原假設(shè)，并且接受備擇假設(shè)。這就是假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理，有些類似于反證法。 假設(shè)檢驗(yàn)的推理方法是用置信區(qū)間的方法，根據(jù)已知條件（要充分利用已知信息）選擇一個(gè)分布已知的統(tǒng)計(jì)量，由檢驗(yàn)的顯著性水

4、平（是一個(gè)比較小的數(shù)，常取，，等，一般它是事先給定的）確定一個(gè)的拒絕域，滿足 或 再由取定的樣本值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量。如果，則說(shuō)明這個(gè)樣本是小概率事件，現(xiàn)在小概率事件于一次抽樣中居然發(fā)生了，我們有理由認(rèn)為不合理，于是拒絕，而接受；否則（既），不合理現(xiàn)象沒(méi)有發(fā)生，我們沒(méi)有理由拒絕，于是接受，而拒絕。下面看一個(gè)例子。 例1 某工廠生產(chǎn)的一種電子元件，在正常情況下，其使用壽命服從正態(tài)分布。某日從該廠生產(chǎn)的一批這種電子元件中隨機(jī)抽取16個(gè)，測(cè)得樣本均值，假定電子元件壽命的方差不變，問(wèn)能否認(rèn)為該日生產(chǎn)的這批電子元件的壽命均值？ 解 這里，，檢驗(yàn)假設(shè)為

5、 ：； ： 由服從正態(tài)分布及方差已知，可取統(tǒng)計(jì)量 ， 在成立時(shí)，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。又由于是的估計(jì)，在成立時(shí)，不能過(guò)大，從而也不能過(guò)大。因此，過(guò)大是小概率事件，記 如果取顯著性水平，查表得，此時(shí) 。于是，拒絕，接受。即認(rèn)為該日生產(chǎn)的這批電子元件的壽命均值。 如果取顯著性水平，查表得，此時(shí) 。于是，接受，拒絕。即認(rèn)為該日生產(chǎn)的這批電子元件的壽命均值。 由此例看出顯著性水平不同，結(jié)論可能不同。因此，假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果是與顯著性水平密切相關(guān)的。 3. 雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)與單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn) 在例1中，當(dāng)成立時(shí)，有不能過(guò)

6、大，由此得拒絕域?yàn)?，它位于取值的兩端，這樣的假設(shè)檢驗(yàn)稱為雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)（或雙尾假設(shè)檢驗(yàn)）。如果檢驗(yàn)參數(shù)為，它的檢驗(yàn)假設(shè)一般提法為 ：； ： 在實(shí)際問(wèn)題中，我們更多關(guān)心的是參數(shù)是否大于某一個(gè)值，或者小于某一個(gè)值，例如，在例1中我們將問(wèn)題改為“問(wèn)能否認(rèn)為該日生產(chǎn)的這批電子元件的壽命均值不小于？”更為合理。這時(shí)檢驗(yàn)假設(shè)的提法為 ：； ： 這里，?，F(xiàn)在仍選作為統(tǒng)計(jì)量，而是的估計(jì)，在成立時(shí)，大一些較為合理，它較小就不合理了，因此較小是小概率事件。如果記 但是，由于。因此，不是正態(tài)總體的

7、均值，從而的分布未知，在此我們無(wú)法求得值。為此，再另選一個(gè)量，它服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。當(dāng)成立時(shí)，有，于是 這表明事件是比事件發(fā)生的概率還要小的小概率事件。因此，只要令 對(duì)于本題，如果取顯著性水平，查表得，此時(shí)，，于是拒絕，接受。即認(rèn)為該日生產(chǎn)的這批電子元件的壽命均值顯著小于。 在上述假設(shè)檢驗(yàn)中，由于的拒絕域位于取值的一端，這樣的假設(shè)檢驗(yàn)稱為單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)（或單尾假設(shè)檢驗(yàn)）。 在單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)中，如果的拒絕域位于這個(gè)取值的左端，這樣的假設(shè)檢驗(yàn)稱為左側(cè)單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)（或左側(cè)單尾假設(shè)檢驗(yàn)）。如果檢驗(yàn)參數(shù)為，它的檢驗(yàn)假設(shè)一般提法為 ：；

8、 ： 在上面解題中我們看到，由于的復(fù)雜，導(dǎo)致解題過(guò)程也比較復(fù)雜。為了簡(jiǎn)化解題過(guò)程，可以將左側(cè)單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)中假設(shè)檢驗(yàn)簡(jiǎn)化為 ：； ： 要注意的是，如果接受時(shí)，結(jié)論應(yīng)為。 類似有右側(cè)單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)（或右側(cè)單尾假設(shè)檢驗(yàn)），其檢驗(yàn)假設(shè)為 ：； ： 也可以簡(jiǎn)化為 ：； ： 它的拒絕域位于這個(gè)量取值的右端。 4. 假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟 假設(shè)檢驗(yàn)一般可以按以下五個(gè)步驟進(jìn)行。 （1）根據(jù)要檢驗(yàn)的問(wèn)題提出檢驗(yàn)假設(shè)，包括原假設(shè)與備擇假設(shè)。 （2）根據(jù)已知條件選一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，

9、要求在成立時(shí)，該統(tǒng)計(jì)量分布已知。 （3）根據(jù)顯著性水平，查所選統(tǒng)計(jì)量的分布臨界值，確定的拒絕域。 （4）根據(jù)樣本觀測(cè)值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量，并與臨界值比較。 （5）下結(jié)論。如果計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量在的拒絕域內(nèi)，則拒絕，接受；如果計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量不在的拒絕域內(nèi)，則接受，拒絕 。 5. 假設(shè)檢驗(yàn)可能犯的兩類錯(cuò)誤 在假設(shè)檢驗(yàn)中，由于我們是以局部（一個(gè)樣本）去推斷全局（總體），并且又是依據(jù)“小概率事件原理”下結(jié)論。無(wú)論小概率有多小，還是有發(fā)生的可能。所以利用上面的方法進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，可能要作出錯(cuò)誤的判斷，這種錯(cuò)誤的判斷有兩種情況，這就是所謂的兩類錯(cuò)誤。 （1） 原假設(shè)實(shí)際是正確的，但是經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)將其拒絕了。這樣的錯(cuò)

10、誤稱為“棄真” 錯(cuò)誤，也叫第一類錯(cuò)誤。犯這類錯(cuò)誤的概率不超過(guò)顯著性水平。 （2） 原假設(shè)實(shí)際是不正確的，但是經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)將其接受了。這樣的錯(cuò)誤稱為“存 偽”錯(cuò)誤，也叫第二類錯(cuò)誤。犯這類錯(cuò)誤的概率通常記作。 在樣本容量一定時(shí)，減小，則增大；減小，則增大，二者不可兼顧。要想讓二者都減小，只能通過(guò)增大樣本容量的方法，這樣就要增加檢驗(yàn)的成本。 §7.2 單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 設(shè)總體服從正態(tài)分布，，是容量為的樣本，是樣本均值，是樣本方差。 單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)就是關(guān)于未知參數(shù)與的假設(shè)檢驗(yàn)。 1. 正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn) （1）已知，檢驗(yàn)

11、： 由于已知，選統(tǒng)計(jì)量 在成立時(shí)，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，既，。 ① 若：，如例1中分析，得的拒絕域?yàn)椤? ② 若：，如例1中分析，得的拒絕域?yàn)椤? （注意，此時(shí)，若成立，應(yīng)理解為。在后面的單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)中，均需類似理解。） ③ 若：， 例2 設(shè)某磚廠生產(chǎn)的磚的抗斷強(qiáng)度，，某天從該廠生產(chǎn)的磚中隨機(jī)抽取6塊，測(cè)得抗斷強(qiáng)度如下（單位：）： 32.56 29.66 31.64 30.00 31.87 31.03 檢驗(yàn)這天該廠生產(chǎn)的磚的平均抗斷強(qiáng)度是否仍為？（取

12、顯著性水平 ） 解 這里，，。 設(shè)：； ： 選統(tǒng)計(jì)量 ， 對(duì)顯著性水平，查表得。故 ， 拒絕，接受，即不能認(rèn)為這天該廠生產(chǎn)的磚的平均抗斷強(qiáng)度仍為。 例3 在上例中，檢驗(yàn)這天該廠生產(chǎn)的磚的平均抗斷強(qiáng)度是否不小于？（取顯著性水平） 解 這里，，。 設(shè)：； ： 選統(tǒng)計(jì)量 ， 對(duì)顯著性水平，查表得， ， 拒絕，接受，即認(rèn)為這天該廠生產(chǎn)的磚的平均抗斷強(qiáng)度顯著小于。 注 在單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)中，我們是選左側(cè)單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)，還是選右側(cè)單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)？根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，在均值的假設(shè)檢驗(yàn)中，先計(jì)算樣本均值，如果，選用左側(cè)單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)為好。如果，選用右側(cè)單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)為好。在其它問(wèn)題的單

13、側(cè)檢驗(yàn)中也類似，若作參數(shù)的單側(cè)檢驗(yàn)，當(dāng)由樣本算得的估計(jì)值滿足時(shí)，一般選用左側(cè)單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)好一些；如果時(shí)，一般選用右側(cè)單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)好一些。 （2）未知，檢驗(yàn)： 由于未知，考慮用樣本方差替代，因此選統(tǒng)計(jì)量 . 在 成立時(shí)，服從自由度為的分布，即。 ① 若：， ② 若：， 。 例4 化肥廠用自動(dòng)包裝機(jī)包裝化肥，某日隨機(jī)抽取9包，測(cè)得質(zhì)量（單位：）如下： 49.7 49.8 50.3 50.5 49.7 50.1 49.9 50.5 50.4 若每包化肥的質(zhì)量服從正態(tài)分布，問(wèn)是否可以認(rèn)為

14、這天每包化肥的平均質(zhì)量為50？（取顯著性水平） 解 設(shè)每包化肥質(zhì)量為，則，，， 未知。 設(shè)：； ： 選統(tǒng)計(jì)量 對(duì)顯著性水平，查表得， ， 接受，拒絕。因此，認(rèn)為這天每包化肥的平均質(zhì)量為50。 例5 已知某煉鐵廠的鐵水含碳量服從正態(tài)分布，均值。某日隨機(jī)測(cè)得7爐鐵水，算得平均含碳量，標(biāo)準(zhǔn)差。以顯著性水平檢驗(yàn)這天鐵水含碳量的均值是否顯著提高？ 解 這里， 未知。 設(shè)：； ： 選統(tǒng)計(jì)量 對(duì)顯著性水平，查表得， 拒絕，接受，既認(rèn)為這天該廠鐵水含碳量的均值顯著提高。 注 此題中如果顯著性水平，結(jié)論將如何？請(qǐng)同學(xué)們自己考慮。 2. 正態(tài)總體方

15、差的假設(shè)檢驗(yàn) （1）已知，檢驗(yàn)： 由于已知。于是，選統(tǒng)計(jì)量 在成立時(shí)，服從自由度為的分布，既。 ① 若：，由于。因此，在成立時(shí)，即不能過(guò)大，也不能過(guò)小。 表得，。于是，的拒絕域?yàn)榛颉? ② 若：，在成立時(shí)，即時(shí)，大一些較合理，過(guò)小不合理，過(guò)是小概率事件。因此，令 例6 在例2中，以顯著性水平，檢驗(yàn)這天該廠生產(chǎn)的磚的抗斷強(qiáng)度的標(biāo) 準(zhǔn)差是否為？ 解 這里，而已知。 設(shè)：； ： 由已知，選統(tǒng)計(jì)量 對(duì)顯著性水平，查表得，， 拒絕，接受，既這天該廠生產(chǎn)的磚的抗斷強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)差不能認(rèn)為是。 （2）未知，檢驗(yàn)： 由于未知，用替代前面中的。于

16、是，選統(tǒng)計(jì)量 在成立時(shí)，服從自由度為的分布，即。與前面完全相同的理由得 ① 若：，的拒絕域?yàn)榛颉? ② 若：，的拒絕域?yàn)椤? ③ 若：，的拒絕域?yàn)椤? 例7 自動(dòng)車(chē)床加工某種零件，其直徑（單位：）服從正態(tài)分布，要求。某天開(kāi)工后，隨機(jī)抽取30件，測(cè)得數(shù)據(jù)如下： 零件直徑（） 9.2 9.4 9.6 9.8 10.0 10.2 10.4 10.6 10.8 頻數(shù) 1 1 3 6 7 5 4 2 1 檢驗(yàn)這天加工的零件是否符合要求？（取顯著性水平） 解 這里，未知。 設(shè)：； ： 由未知，選統(tǒng)計(jì)量 對(duì)顯著性水平，查表

17、得， ， 拒絕，接受，即這天加的工零件直徑的方差大于，不符合要求。 §7.3 兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 設(shè)總體和分別服從正態(tài)分布，和，，和分別是總體和的容量為和的樣本，和分別是兩個(gè)樣本的均值，和分別是兩個(gè)樣本的方差。 兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)，就是比較與之間，與之間的關(guān)系。 1. 兩個(gè)正態(tài)總體均值與的比較 （1）當(dāng)及已知時(shí)，檢驗(yàn)： 由于和已知,因此選統(tǒng)計(jì)量 在成立時(shí)，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即，。 ① 若： 由于成立，有，又與分別是與的估計(jì)。因此，不能過(guò)大，所以也不能過(guò)大，過(guò)大是小概率事件。由，得的拒絕域?yàn)椤? ② 若：，此時(shí)，不能過(guò)小，過(guò)小是小概率事件。由，得的拒

18、絕域?yàn)椤? ③ 若：，此時(shí)，不能過(guò)大，過(guò)大是小概率事件。由，得的拒絕域?yàn)椤? 例8 兩種工藝下紡的細(xì)紗的強(qiáng)力與分別服從正態(tài)分布，和，，各抽取容量為50的樣本，算得，。問(wèn)兩種工藝下紡的細(xì)紗的強(qiáng)力有無(wú)明顯差異？（取顯著性水平） 解 這里，為已知。 設(shè)：； ： 由及已知，選統(tǒng)計(jì)量 ， 對(duì)顯著性水平，查表得， 拒絕，接受，即兩種工藝下紡的細(xì)紗的強(qiáng)力有明顯差異。 （2）當(dāng)及未知（但是與相等為已知條件）時(shí)，檢驗(yàn)： 由于及未知，考慮用和分別近似替代和，為使分布已知，應(yīng)選統(tǒng)計(jì)量 在成立及時(shí)，服從自由度為的分布，即。 ① 若：，與前面相同的道理

19、，此時(shí)，不能過(guò)大，過(guò)大是小概率事件。由，查表得。于是，的拒絕域?yàn)椤? ② 若：，類似，不能過(guò)小，過(guò)小是小概率事件。 由，得的拒絕域?yàn)椤? ③ 若：，此時(shí)，不能過(guò)大，過(guò)大是小概率事件。 由，得的拒絕域?yàn)椤? 例9 某燈泡廠在采用一項(xiàng)新工藝的前后，分別抽取10個(gè)燈泡進(jìn)行壽命試驗(yàn)。計(jì)算得到：采用新工藝前燈泡壽命的樣本均值為，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為；采用新工藝后燈泡壽命的樣本均值為，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為。設(shè)燈泡的壽命服從正態(tài)分布，問(wèn)由此是否可以認(rèn)為采用新工藝后燈泡的平均壽命有顯著提高？（取顯著性水平，假定采用新工藝前、后燈泡壽命的方差不變，這將在后面進(jìn)行檢驗(yàn)） 解 設(shè)采用新工藝前燈泡壽命為，，，采用新工藝后

20、燈泡壽命為，，，這里及未知。 設(shè)：； ： 由及未知，選統(tǒng)計(jì)量 對(duì)顯著性水平，查表得。由，，，，，計(jì)算得 拒絕，接受，即采用新工藝后燈泡的平均壽命有顯著提高。 2．兩個(gè)正態(tài)總體方差與的比較 （1）當(dāng)與已知時(shí)，檢驗(yàn)： 由于與已知，選統(tǒng)計(jì)量 在成立時(shí)，，。 ① 若： ， 由知，在成立時(shí)，即不能過(guò)大，也不能過(guò)小。過(guò)大與過(guò)小是小 上側(cè)臨界值表，得，，，。于是，的拒絕域?yàn)?，或，? ② 若： ， 在成立時(shí)，即時(shí)，大一些較合理，過(guò)小不合理，過(guò)是小概率事件。 ,,于是，的拒絕域?yàn)?，? 例10 甲、乙兩臺(tái)包裝機(jī)包裝的白糖質(zhì)量都服從均值為的正態(tài)分布

21、 從它們包裝的白糖中隨機(jī)抽取如下樣本（單位：）： 甲機(jī)： 998 1005 1001 1002 996 995 乙機(jī)： 1010 989 992 990 1007 比較甲、乙兩臺(tái)包裝機(jī)哪臺(tái)工作更穩(wěn)定一些？（取顯著性水平） 解 設(shè)甲、乙兩臺(tái)包裝機(jī)包裝的白糖質(zhì)量分別記作和，則 ，， ， 比較兩臺(tái)包裝機(jī)哪臺(tái)工作更穩(wěn)定，就是比較與的大小。這里已知，算得 = 設(shè)：； ： 由于與已知，選統(tǒng)計(jì)量 對(duì)顯著性水平，查表得 , , 拒絕，接受，即甲包裝機(jī)工作更穩(wěn)定一些。 （2）當(dāng)與未知時(shí)，檢驗(yàn)： 由于與未知，用與分別替代與。于是，應(yīng)選統(tǒng)計(jì)量 在成立時(shí)，，。與上面完全相同的理由，得 ① 若： ， 則的拒絕域?yàn)? ，或， ② 若： ，則的拒絕域?yàn)? ， ③ 若： ，則的拒絕域?yàn)? ， 例11 以顯著性水平，檢驗(yàn)例9中。 解 設(shè)采用新工藝前燈泡壽命為，，，采用新工藝后燈泡壽命為，，，這里與未知。 ：；： 選統(tǒng)計(jì)量 對(duì)顯著性水平，，，，。 ， 接受，拒絕，即可以認(rèn)為。 19