高考數(shù)學(xué) 第四章 第四節(jié) 平面向量的應(yīng)用課件 文 北師大版

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1、第四節(jié) 平面向量的應(yīng)用1.1.向量在平面幾何中的應(yīng)用向量在平面幾何中的應(yīng)用（1 1）常解決的平面幾何問題：平面向量在平面幾何中的應(yīng)用）常解決的平面幾何問題：平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂主要是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、長度、夾角等問題直、長度、夾角等問題. .（2 2）解決常見平面幾何問題用到的向量知識）解決常見平面幾何問題用到的向量知識問題類型問題類型所用知識所用知識公式表示公式表示線平行、點(diǎn)線平行、點(diǎn)共線問題共線問題共線向量共線向量定理定理ab_其中其中a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2

2、,y,y2 2) )垂直問題垂直問題數(shù)量積的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì)ab_a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2) )夾角問題夾角問題數(shù)量積數(shù)量積的定義的定義coscos = = （為向量為向量a, ,b的夾角）的夾角）a=b( (b0) )x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0=0ab=0=0 x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0=0|a ba b_（3 3）用向量方法解決平面幾何問題的）用向量方法解決平面幾何問題的“三步法三步法”. .平面幾何問題平面幾何問題 向量問題向量問題 解決向量問題解決向量問題 解決幾解決幾何

3、問題何問題設(shè)向量設(shè)向量運(yùn)算運(yùn)算還原還原2.2.平面向量在物理中的應(yīng)用平面向量在物理中的應(yīng)用（1 1）由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解）由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成和向量的減法和加法相似，可以用向量的知識來解決與合成和向量的減法和加法相似，可以用向量的知識來解決. .(2)(2)物理學(xué)中的功是一個(gè)標(biāo)量，是力物理學(xué)中的功是一個(gè)標(biāo)量，是力F與位移與位移s的數(shù)量積的數(shù)量積, ,即即W=W=Fs=|=|F|s|cos (|cos (為為F與與s的夾角）的夾角）. . 判斷下面結(jié)論是否正確（請?jiān)诶ㄌ栔写蚺袛嘞旅娼Y(jié)論是否正確（請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被蚧颉啊保? .（1 1

4、）若）若 則則A,B,CA,B,C三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線.( ).( )（2 2）解析幾何中的坐標(biāo)、直線平行、垂直、長度等問題都可）解析幾何中的坐標(biāo)、直線平行、垂直、長度等問題都可以用向量解決以用向量解決.( ).( )（3 3）實(shí)現(xiàn)平面向量與三角函數(shù)、平面向量與解析幾何之間的）實(shí)現(xiàn)平面向量與三角函數(shù)、平面向量與解析幾何之間的轉(zhuǎn)化的主要手段是向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化的主要手段是向量的坐標(biāo)運(yùn)算.( ).( )（4 4）在）在ABCABC中，若中，若 則則ABCABC為鈍角三角形為鈍角三角形.( ).( )AB AC ，AB BC 0 ，【解析【解析】（1 1）正確）正確. .因?yàn)橐驗(yàn)?有相同的起點(diǎn)有相同的起

5、點(diǎn)A A，故，故A A，B B，C C三點(diǎn)共線，故正確三點(diǎn)共線，故正確. .（2 2）正確）正確. .解析幾何中的坐標(biāo)、直線平行、垂直、長度等問題解析幾何中的坐標(biāo)、直線平行、垂直、長度等問題可利用向量的共線、數(shù)量積、模等知識解決，故正確可利用向量的共線、數(shù)量積、模等知識解決，故正確. .（3 3）正確）正確. .由于向量的坐標(biāo)把數(shù)和形結(jié)合在一起，所以在向量由于向量的坐標(biāo)把數(shù)和形結(jié)合在一起，所以在向量的應(yīng)用中，坐標(biāo)運(yùn)算起到的應(yīng)用中，坐標(biāo)運(yùn)算起到“橋梁橋梁”的作用的作用. .（4 4）錯(cuò)誤）錯(cuò)誤. .由由 可得角可得角B B為銳角，但三角形為銳角，但三角形的形狀不能判定的形狀不能判定. .故不正確

6、故不正確. .答案：答案：（1 1） （2 2） （3 3） （4 4）AB ACAB,AC 且AB BC 0BA BC 0 ，得1.1.一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力F1 1, ,F2 2, ,F3 3( (單位：牛頓單位：牛頓) )的作用而的作用而處于平衡狀態(tài)，已知處于平衡狀態(tài)，已知F1 1, ,F2 2成成6060角，且角，且F1 1, ,F2 2的大小分別為的大小分別為2 2和和4 4，則，則F3 3的大小為的大小為( )( )(A)6 (B)2 (C) (D)(A)6 (B)2 (C) (D)【解析【解析】選選D.|D.|F3 3| |2 2=|=|F1 1| |2

7、 2+|+|F2 2| |2 2+2|+2|F1 1|F2 2|cos 60|cos 60=28,=28,所以所以| |F3 3|= |= 選選D.D.2 7,2 52 72.2.若不重合的四點(diǎn)若不重合的四點(diǎn)P P，A A，B B，C C，滿足，滿足 則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)m m的值為的值為( )( )(A)2 (B)3 (C)4 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5(D)5【解析【解析】選選B. B. 所以所以 故故m=3.m=3.PAPBPC, 0ABACmAP ,PAPBPCPAPAABPAAC ，0ABAC3PA3AP, 3. 3. 在在ABCABC中，中，CC9090，且，且CACACBCB

8、3 3，點(diǎn)，點(diǎn)M M滿足滿足則則 等于等于( )( )(A)2 (B)3 (C)4 (A)2 (B)3 (C)4 (D)6(D)6【解析【解析】選選B.B.由題意可知，由題意可知，BM 2MA ，CM CB 1CM CBCAAB CB31CA CBAB CB3103 23cos453.3 () 4.4.在在ABCABC中，已知向量中，已知向量 滿足滿足 且且 則則ABCABC為為( )( )(A)(A)等邊三角形等邊三角形 (B)(B)直角三角形直角三角形(C)(C)等腰非等邊三角形等腰非等邊三角形 (D)(D)三邊均不相等的三角形三邊均不相等的三角形【解析【解析】選選A.A.由由 知知ABC

9、ABC為等腰三角形，且為等腰三角形，且ABABAC.AC.由由 知，知， 的夾角為的夾角為6060，所以，所以ABCABC為等邊三角形，故選為等邊三角形，故選A.A.ABAC() BC0|AC|AB ABAC1,2|AC|AB ABAC() BC0|AC|AB ABAC12|AC|AB AB AC 與ABAC 與5.5.在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系xOyxOy中，若定點(diǎn)中，若定點(diǎn)A(1A(1，2)2)與動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)P(xP(x，y)y)滿滿足足 則點(diǎn)則點(diǎn)P P的軌跡方程是的軌跡方程是_【解析【解析】由由 得得(x(x，y)y)(1(1，2)2)4 4，得得x x2y2y4 4，即，即x+2y

10、-4=0.x+2y-4=0.答案：答案：x x2y2y4 40 0OP OA 4 ，OP OA 4 ，考向考向 1 1 向量在平面幾何中的應(yīng)用向量在平面幾何中的應(yīng)用【典例【典例1 1】（1 1）平面上）平面上O,A,BO,A,B三點(diǎn)不共線，設(shè)三點(diǎn)不共線，設(shè) 則則OABOAB的面積等于的面積等于( )( )（2 2）（）（20132013九江模擬）若等邊九江模擬）若等邊ABCABC的邊長為的邊長為 平面內(nèi)一平面內(nèi)一點(diǎn)點(diǎn)M M滿足滿足OA,OB ，ab 222222222222A B11C D22aba baba baba baba b12CMCBCAMA MB_.63 ，則2 3，【思路點(diǎn)撥【思

11、路點(diǎn)撥】（1 1）先求出向量）先求出向量a，b夾角的余弦，再求出其正夾角的余弦，再求出其正弦，求出三角形的面積化簡即可弦，求出三角形的面積化簡即可. .（2 2）建立平面直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算即）建立平面直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可可. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】（1 1）選）選C.C.設(shè)設(shè)a，b的夾角為的夾角為，由條件得，由條件得22222OAB22222222cos,sin1 cos1 ()1,|11Ssin122|1|2|1.2 a ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba bababa b（2 2）以）以BCBC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，的

12、中點(diǎn)為原點(diǎn)，BCBC所在直線為所在直線為x x軸建立如圖所示的平軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題設(shè)條件可知面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題設(shè)條件可知A(0A(0，3)3)，B3,0 ,C3,0 .設(shè)設(shè)M(x,yM(x,y) )，則，則 由由 得得, ,x=0 x=0，y=2,y=2,點(diǎn)點(diǎn)M M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(0,2).(0,2).答案：答案：-2-2CMx3,y，CB2 3,0 CA3,3 . ，12CMCBCA63 12x3,y2 3,0(3,3)3,2 ,63 MA01 MB32MA MB2. ， ， 【拓展提升【拓展提升】平面幾何問題的向量解法平面幾何問題的向量解法（1 1）坐標(biāo)法）坐標(biāo)法.

13、 .把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了相關(guān)點(diǎn)與向量具體把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了相關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決題得到解決. .(2)(2)基向量法基向量法. .適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來進(jìn)行求解關(guān)于未知量的方程來進(jìn)行求解. .【提醒【提醒】 用坐標(biāo)法解題時(shí)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是解題的關(guān)鍵，用坐標(biāo)法解題時(shí)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是解題的關(guān)鍵，用基向量解題時(shí)要選擇適當(dāng)?shù)幕子没蛄拷忸}時(shí)要

14、選擇適當(dāng)?shù)幕? .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】(1)(1)如圖，如圖，O O，A A，B B是平面上的三點(diǎn)，是平面上的三點(diǎn)，向量向量 C C為線段為線段ABAB的中點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)，設(shè)P P為線段為線段ABAB的垂直平分線的垂直平分線CPCP上任意一點(diǎn)，向量上任意一點(diǎn)，向量 若若 =( )=( )(A)8 (B)6 (A)8 (B)6 (C)4 (C)4 (D)0(D)0OA =OB = ，abOP ，p42，則abp ab【解析【解析】選選B.B.由由 知知| |p- -b|=|=|p- -a| |，| |p- -b| |2 2=|=|p- -a| |2 2，p2 2-2-2pb+ +b2 2= =

15、p2 2-2-2pa+ +a2 2，得得2 2pa-2-2pb= =a2 2- -b2 2=16-4=12=16-4=12，p( (a- -b)=6.)=6.BPAP ，(2)(2)（20132013重慶模擬）在直角梯形重慶模擬）在直角梯形ABCDABCD中，中，ABCD,ADAB,ABCD,ADAB,B= AB=2CD=2,MB= AB=2CD=2,M為腰為腰BCBC的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,則則 =( )=( )(A)1 (B)2 (A)1 (B)2 (C)3 (C)3 (D)4 (D)4【解析【解析】選選B.B.如圖，以點(diǎn)如圖，以點(diǎn)A A為原點(diǎn)，以為原點(diǎn)，以ABAB所所在直線為在直線為x x軸建

16、立平面直角坐標(biāo)系，由題意軸建立平面直角坐標(biāo)系，由題意知知B(2,0),D(0,1),C(1,1).B(2,0),D(0,1),C(1,1).故故,4MA MD 3 1M( , ).2 22313 1MA(,),MD(, ),222 231MA MD()2.24 考向考向 2 2 向量與三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用向量與三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用【典例【典例2 2】（1 1）（）（20122012陜西高考）設(shè)向量陜西高考）設(shè)向量a=(1,cos )=(1,cos )與與b=(-1,2cos )=(-1,2cos )垂直，則垂直，則coscos 2 2等于等于( )( )(A) (B) (A) (B) (C

17、)0 (C)0 (D)-1(D)-1（2 2）（）（20132013保定模擬）已知點(diǎn)保定模擬）已知點(diǎn)A(1,1),B(1,-1), A(1,1),B(1,-1), (R (R) )，O O為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn). .若若 求求sin 2sin 2的值；的值；若實(shí)數(shù)若實(shí)數(shù)m,nm,n滿足滿足 的最大值的最大值. .C( 2cos , 2sin )BCBA2 ，22mOAnOBOCm3n ，求2212【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】（1 1）由向量垂直關(guān)系，可計(jì)算）由向量垂直關(guān)系，可計(jì)算coscos 2 2的值的值. .（2 2）由由 得到關(guān)于得到關(guān)于的關(guān)系式，兩邊平方可求的關(guān)系式，兩邊平方可求解；解；用含用

18、含的關(guān)系式表示的關(guān)系式表示m,nm,n，然后轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值，然后轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題求解問題求解. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】（1 1）選）選C.C.已知已知a=(1,cos )=(1,cos )，b=(-1,2cos)=(-1,2cos)， ab，ab=0=0，-1+2cos-1+2cos2 2=cos=cos 2=0 2=0，故選，故選C.C.BCBA2 （2 2） 即即sin +cossin +cos = , = ,兩邊平方得兩邊平方得222cos12sin12 2 sincos4,2 2 sincos42, 22BCBAAC 111 sin2sin2.22 ，22由由 得得 解

19、得解得當(dāng)當(dāng)sin(sin(+ )=-1+ )=-1時(shí)，時(shí)，(m-3)(m-3)2 2+n+n2 2有最大值有最大值16.16.mOAnOBOC mn,mn2cos , 2sin,2mcossin,22ncossin,2mn2cos ,mn2sin ,2222m3nmn6m93 2 sincos106sin()10,4 4【互動(dòng)探究【互動(dòng)探究】在本例題（在本例題（2 2）的第）的第小題中，若將條件小題中，若將條件“ ”“ ”改為改為“ ”“ ”，則如何解答？，則如何解答？【解析【解析】由條件知由條件知由由 得得tan =-1.tan =-1.BCBA2 BCOA BC2cos1, 2sin1OA

20、1,1 （），BCOA 2cos12sin10 ，2222sin cos2tansin22sin cos1.sincostan1 【拓展提升【拓展提升】向量與三角函數(shù)綜合題的答題策略向量與三角函數(shù)綜合題的答題策略(1)(1)當(dāng)題目條件中給出的向量坐標(biāo)中含有三角函數(shù)并求有關(guān)三當(dāng)題目條件中給出的向量坐標(biāo)中含有三角函數(shù)并求有關(guān)三角函數(shù)的問題時(shí)，解題時(shí)首先利用向量相等、共線或垂直等將角函數(shù)的問題時(shí)，解題時(shí)首先利用向量相等、共線或垂直等將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，然后利用三角函數(shù)的知識解決問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，然后利用三角函數(shù)的知識解決. .(2)(2)當(dāng)題目條件中給出的向量坐標(biāo)中含有三角函數(shù)當(dāng)題目條件

21、中給出的向量坐標(biāo)中含有三角函數(shù), ,并且求向量并且求向量的?；蚱渌蛄康谋磉_(dá)形式，解題時(shí)要通過向量的運(yùn)算，將問的?；蚱渌蛄康谋磉_(dá)形式，解題時(shí)要通過向量的運(yùn)算，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的有界性，求得最值（或值域）題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的有界性，求得最值（或值域）. .【變式備選【變式備選】已知向量已知向量a=(cos=(cos ,-2) ,-2)，b=(sin ,1),=(sin ,1),且且ab，則，則2sin cos2sin cos 等于等于( )( )(A)3 (B)-3 (A)3 (B)-3 (C) (C) (D) (D) 【解析【解析】選選D.D.由由ab得得coscos =-2sin =-2

22、sin ，45452221tan22sin cos2tan42sin cos.sincostan15 考向考向 3 3 向量與解析幾何知識的綜合應(yīng)用向量與解析幾何知識的綜合應(yīng)用【典例【典例3 3】（1 1）已知兩點(diǎn)）已知兩點(diǎn)M(M(3 3，0)0)，N(3N(3，0)0)，點(diǎn)，點(diǎn)P P為坐標(biāo)平為坐標(biāo)平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且 則動(dòng)點(diǎn)則動(dòng)點(diǎn)P(xP(x，y)y)到點(diǎn)到點(diǎn)M(M(3 3，0)0)的距離的距離d d的最小值為的最小值為( )( )(A)2 (B)3 (A)2 (B)3 (C)4 (C)4 (D)6(D)6（2 2）在平行四邊形）在平行四邊形ABCDABCD中，中，A(1A(1，1

23、)1)， =(6,0)=(6,0)，點(diǎn)，點(diǎn)M M是線段是線段ABAB的中點(diǎn)，線段的中點(diǎn)，線段CMCM與與BDBD交于點(diǎn)交于點(diǎn)P.P.若若 =(3,5)=(3,5)，求點(diǎn)，求點(diǎn)C C的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；當(dāng)當(dāng) 時(shí)，求點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P P的軌跡的軌跡MN MPMN NP0 ，AB AD AB|AD| 【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】（1 1）先判斷點(diǎn)）先判斷點(diǎn)P P的軌跡，然后根據(jù)點(diǎn)的軌跡，然后根據(jù)點(diǎn)M M的特點(diǎn)求的特點(diǎn)求解解. .（2 2）設(shè)出點(diǎn)設(shè)出點(diǎn)C C的坐標(biāo)，根據(jù)的坐標(biāo)，根據(jù) 可得所求；可得所求；設(shè)出設(shè)出點(diǎn)點(diǎn)P P的坐標(biāo)的坐標(biāo)(x,y(x,y) )，由條件得四邊形，由條件得四邊形ABCDABCD為菱形，根據(jù)為

24、菱形，根據(jù)可求得可求得x,yx,y間的關(guān)系，即得點(diǎn)間的關(guān)系，即得點(diǎn)P P的軌跡方程，進(jìn)而可得軌跡的軌跡方程，進(jìn)而可得軌跡. .ACADAB BPAC 【規(guī)范解答【規(guī)范解答】（1 1）選）選B.B.因?yàn)橐驗(yàn)镸(-3M(-3，0)0)，N(3N(3，0)0)，所以，所以由由 化簡得化簡得y y2 2=-12x=-12x，所以點(diǎn)，所以點(diǎn)M M是拋物線是拋物線y y2 2=-12x=-12x的焦點(diǎn)，所以點(diǎn)的焦點(diǎn)，所以點(diǎn)P P到點(diǎn)到點(diǎn)M M的的距離的最小值就是原點(diǎn)到距離的最小值就是原點(diǎn)到M(-3M(-3，0)0)的距離，所以的距離，所以d dminmin=3.=3.MN6,0MN6,MPx3,y ,NP

25、x3,y . ，22|MN| MPMN NP06x3y6 x30 ，得（2 2）設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)C C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x(x0 0，y y0 0) )，又又即即(x(x0 01 1，y y0 01)1)(9(9，5)5)，x x0 01010，y y0 06 6，即點(diǎn)，即點(diǎn)C(10,6).C(10,6).設(shè)設(shè)P(x,yP(x,y) )，則則=(x-7,y-1)=(x-7,y-1)，ACADAB3 56 09 5 ， ， ， ，BPAPABx1,y 1(6,0) 平行四邊形平行四邊形ABCDABCD為菱形為菱形 (x (x7 7，y y1)1)(3x(3x9 9，3y3y3)3)0 0，即即(x(x7

26、)(3x7)(3x9)9)(y(y1)(3y1)(3y3)3)0.0.xx2 2y y2 210 x10 x2y2y22220 0即即(x-5)(x-5)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4.=4. 1ACAMMCAB3MP211AB3(APAB)3APAB223 x 1 3 y 16 03x9 3y3 ， ， ， ABAD ，BPAC ，又當(dāng)又當(dāng)y=1y=1時(shí)，點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P P在在ABAB上，與題意不符上，與題意不符, ,故點(diǎn)故點(diǎn)P P的軌跡是以的軌跡是以(5(5，1)1)為圓心，為圓心，2 2為半徑的圓且去掉與直線為半徑的圓且去掉與直線y=1y=1的兩個(gè)交點(diǎn)的兩個(gè)交點(diǎn)【拓展提升【拓展提升

27、】向量在解析幾何中的向量在解析幾何中的“兩個(gè)兩個(gè)”作用作用（1 1）載體作用：向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于）載體作用：向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包包裝裝”，解決此類問題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去，解決此類問題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向向量外衣量外衣”，導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距，導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題. .(2)(2)工具作用：利用工具作用：利用abab=0,=0,aba=b（b0）, ,可可解決垂直、平行問題，特別地，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對解決垂直、平行問題

28、，特別地，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較可行的方法于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較可行的方法. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】已知點(diǎn)已知點(diǎn)A(-1,0)A(-1,0)，B(1,0)B(1,0)，動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M M的軌跡的軌跡C C滿足滿足AMB=2AMB=2， 并寫出軌跡并寫出軌跡C C的方程的方程. .2AM BM cos3AMBM ，求的值，【解析【解析】設(shè)設(shè)M(x,yM(x,y) )，在，在MABMAB中，中，|AB|=2|AB|=2，AMB=2AMB=2，根據(jù)余弦定理得根據(jù)余弦定理得22222AMBM2 AM BM cos24,AM|BM|2 A

29、M BM 1cos24,AM|BM|4 AM BM cos4. 22AM BM cos3AMBM4 34,AMBM4. ，而又又因此點(diǎn)因此點(diǎn)M M的軌跡是以的軌跡是以A,BA,B為焦點(diǎn)的橢圓為焦點(diǎn)的橢圓( (去掉去掉x x軸上的兩點(diǎn)軸上的兩點(diǎn)),a=2),a=2，c=1.c=1.所以軌跡所以軌跡C C的方程為的方程為AM|BM| 4 2AB ，22xy1 y0 .43【易錯(cuò)誤區(qū)【易錯(cuò)誤區(qū)】忽視分類致誤忽視分類致誤【典例【典例】（20132013漢中模擬）已知向量漢中模擬）已知向量（1 1）若）若ABCABC為直角三角形，求為直角三角形，求k k值值. .（2 2）若）若ABCABC為等腰直角三

30、角形，求為等腰直角三角形，求k k值值. .AB2k, 1 AC(1,k). ，【誤區(qū)警示【誤區(qū)警示】解答本題時(shí)容易出現(xiàn)以下錯(cuò)誤：解答本題時(shí)容易出現(xiàn)以下錯(cuò)誤：（1 1）解決第）解決第(1)(1)問時(shí)容易誤認(rèn)為只有問時(shí)容易誤認(rèn)為只有AA為直角，從而導(dǎo)致解為直角，從而導(dǎo)致解答不完整答不完整. .（2 2）解決第）解決第(2)(2)問時(shí)不知在上一問的基礎(chǔ)上進(jìn)行，沒有分類驗(yàn)問時(shí)不知在上一問的基礎(chǔ)上進(jìn)行，沒有分類驗(yàn)證證, ,導(dǎo)致無法解題或結(jié)果錯(cuò)誤導(dǎo)致無法解題或結(jié)果錯(cuò)誤. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1) (1) 若若A=90A=90，則，則(2-k,-1)(2-k,-1)(1,k)=0(1,k)=0，解得

31、，解得k=1;k=1;若若B=90B=90，則，則 (2-k,-1)(2-k,-1)(k-1,k+1)=0,(k-1,k+1)=0,得得k k2 2-2k+3=0,-2k+3=0,無解無解; ;AB2k, 1 AC(1,k). ，BCACABk1,k1 . ABAC ，ABAC ，若若C=90C=90，則，則(1,k)(1,k)(k-1,k+1)=0(k-1,k+1)=0，得，得k k2 2+2k-1=0+2k-1=0，解得解得綜上所述，當(dāng)綜上所述，當(dāng)k=1k=1時(shí)，時(shí)，ABCABC是以是以A A為直角頂點(diǎn)的直角三角形；為直角頂點(diǎn)的直角三角形；當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，ABCABC是以是以C C為直角頂點(diǎn)

32、的直角三角形為直角頂點(diǎn)的直角三角形. .ACBC ，k12. k12 (2)(2)當(dāng)當(dāng)k=1k=1時(shí)，時(shí)， 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，得得當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 得得 綜上所述，當(dāng)綜上所述，當(dāng)k=1k=1時(shí)，時(shí)，ABCABC是以是以BCBC為斜邊的等腰直角三角形為斜邊的等腰直角三角形. .AB1, 1 AC1,1 ，ABAC2 ；k12 AC1, 12BC22, 2 ，22AC42 2 BC84 2ACBC ，；k12 AC1, 12BC22,2 ，22AC42 2 BC84 2ACBC ，.【思考點(diǎn)評【思考點(diǎn)評】1.1.向量共線、向量的模、向量的數(shù)量積向量共線、向量的模、向量的數(shù)量積設(shè)設(shè)a=(x=(x1 1,y

33、,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),則則abx x1 1y y2 2=x=x2 2y y1 1, , abx x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0.=0.2.2.向量數(shù)量積的作用向量數(shù)量積的作用向量數(shù)量積在幾何中有著廣泛的應(yīng)用，利用向量的數(shù)量積可解向量數(shù)量積在幾何中有著廣泛的應(yīng)用，利用向量的數(shù)量積可解決長度、夾角和垂直等問題決長度、夾角和垂直等問題. .在應(yīng)用時(shí)要注意數(shù)量積的坐標(biāo)表在應(yīng)用時(shí)要注意數(shù)量積的坐標(biāo)表示與向量共線的坐標(biāo)表示的區(qū)別，在這里容易因?yàn)樾问缴系幕焓九c向量共線的坐標(biāo)表示的區(qū)別，在這里容易因?yàn)樾问缴系幕煜鴮?dǎo)致錯(cuò)誤淆而導(dǎo)致錯(cuò)誤. .2211|x

34、ya，1.1.（20132013延安模擬）已知延安模擬）已知D D為為ABCABC的邊的邊BCBC上的中點(diǎn)，上的中點(diǎn)，ABCABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P P，滿足，滿足 則則 等于等于 ( )( )(A) (B) (C)1 (A) (B) (C)1 (D)2(D)2【解析【解析】選選C.C.由于由于D D為為BCBC邊上的中點(diǎn)，因此由向量加法的平行邊上的中點(diǎn)，因此由向量加法的平行四邊形法則，易知四邊形法則，易知 因此結(jié)合因此結(jié)合 即得即得 因此易得因此易得P P，A A，D D三點(diǎn)共線且三點(diǎn)共線且D D是是PAPA的中點(diǎn)，所以的中點(diǎn)，所以PABPCP 0 ，PD|AD| PBPC2

35、PD ，PABPCP 0 ，PA2PD ，PD1.AD 13122.2.（20132013寶雞模擬）寶雞模擬）ABCABC中，中， 則則ABCABC的形狀為的形狀為( )( )(A)(A)直角等腰三角形直角等腰三角形 (B)(B)銳角等腰三角形銳角等腰三角形(C)(C)鈍角等腰三角形鈍角等腰三角形 (D)(D)不等邊三角形不等邊三角形【解析【解析】選選B.B.由由得得又又 故故AA是銳角，故選是銳角，故選B.B.ABACOCBO0 （）（） ，AB AC6 ，ABACOCBO0 （）（） ，ABAC BC0ABAC . （），AB AC6 ，3.3.（20132013馬鞍山模擬）馬鞍山模擬）a

36、, ,b為非零向量，為非零向量，“函數(shù)函數(shù)f(xf(x)=)=( (ax+x+b) )2 2為偶函數(shù)為偶函數(shù)”是是“ab”的的( )( )(A)(A)充分不必要條件充分不必要條件 (B)(B)必要不充分條件必要不充分條件(C)(C)充要條件充要條件 (D)(D)既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件【解析【解析】選選C.f(xC.f(x)=)=a2 2x x2 2+2+2abx+x+b2 2, ,a, ,b為非零向量，為非零向量，若若f(xf(x) )為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)，則f(-x)=f(xf(-x)=f(x) )恒成立，恒成立，a2 2x x2 2-2-2abx+x+b2 2= =a2

37、2x x2 2+2+2abx x+ +b2 2，4 4abx=0 x=0. .又又xRxR，ab=0=0，ab；若若ab，ab=0,f(x)=0,f(x)=a2 2x x2 2+ +b2 2,f(x),f(x)為偶函數(shù)為偶函數(shù). .綜上，綜上，選選C.C.4.4.（20132013安慶模擬）已知三個(gè)力安慶模擬）已知三個(gè)力f1 1= =（-2,-1-2,-1），），f2 2=(-3,2),=(-3,2),f3 3= =（4 4，-3-3）同時(shí)作用于某物體上一點(diǎn)，為使物體保持平衡，）同時(shí)作用于某物體上一點(diǎn)，為使物體保持平衡，再加上一個(gè)力再加上一個(gè)力f4 4, ,則則f4 4=( )=( )(A)(

38、A)（-1-1，-2-2） (B)(B)（1 1，-2-2）(C)(C)（-1-1，2 2） (D)(D)（1 1，2 2）【解析【解析】選選D.D.由物理知識知：由物理知識知：f1 1+ +f2 2+ +f3 3+ +f4 4=0,=0,故故f4 4=-(=-(f1 1+ +f2 2+ +f3 3)=(1,2).)=(1,2).5.5.（20122012江蘇高考）如圖，在矩形江蘇高考）如圖，在矩形ABCDABCD中，中， BC=2,BC=2,點(diǎn)點(diǎn)E E是是BCBC的中點(diǎn)，點(diǎn)的中點(diǎn)，點(diǎn)F F在邊在邊CDCD上，上，若若 的值是的值是_._.AB2，AB AF2AE BF ，則【解析【解析】以以

39、A A點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)為原點(diǎn)，ABAB所在直線為所在直線為x x軸，軸，ADAD所在直線為所在直線為y y軸軸建立平面直角坐標(biāo)系，則建立平面直角坐標(biāo)系，則設(shè)設(shè)所以所以答案：答案：AB2,0 ,AE2,1 , F t,2 AFt,2 . ，AB AF2t2,t1, AE BF2,112,22. 21.1.設(shè)向量設(shè)向量a與與b的夾角為的夾角為，定義，定義a與與b的的“向量積向量積”：ab是一是一個(gè)向量，它的模個(gè)向量，它的模 | |ab|=|=|a|b|sin|sin ，若，若 則則| |ab|=( )|=( )(A) (B) (C)2 (A) (B) (C)2 (D)4 (D)4【解析【解析】選選C.

40、C.3, 1 a，1, 3b，32 31| | sin2 22.2 a bab333cos,0,|2 22 a ba b，1sin2 ，2.2.已知已知O O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A A（-1-1，1 1）, ,若點(diǎn)若點(diǎn)M M（x x，y y）為平面區(qū)）為平面區(qū)域域 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 的取值范圍是的取值范圍是( )( )(A)(A)-1,0-1,0 (B)(B)0,10,1(C)(C)0,20,2 (D)(D)-1,2-1,2xy2,x1,y2OA OM 【解析【解析】選選C.C.由題意，不等式組由題意，不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示：表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所

41、示：由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算易得：由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算易得：令令-x+y=z,-x+y=z,即即y=x+z,y=x+z,易知目標(biāo)函數(shù)易知目標(biāo)函數(shù)y=x+zy=x+z過點(diǎn)過點(diǎn)B B（1 1，1 1）時(shí)，）時(shí)，z zminmin=0,=0,目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)y=x+zy=x+z過點(diǎn)過點(diǎn)C(0,2)C(0,2)時(shí)，時(shí)，z zmaxmax=2,=2,故故 的取值范圍是的取值范圍是0,20,2. .xy2,x1,y2OA OMxy ，OA OM 3.3.設(shè)集合設(shè)集合D=D=平面向量平面向量 ，定義在，定義在D D上的映射上的映射f f滿足對任意滿足對任意xDD，均有均有f(f(x) =) =x(R(R且且

42、0).0).若若| |a|=|=|b| |且且a, ,b不共線，則不共線，則(f(f(a)-f()-f(b)()(a+ +b)=_)=_；若若A(1,2),B(3,6)A(1,2),B(3,6)，C(4,8),C(4,8),且且 則則=_.=_.f BCAB ，【解析【解析】 |a|=|=|b| |且且a, ,b不共線，不共線，(f(f(a)-f()-f(b)( (a+ +b)=()=(a-b) )( (a+ +b) )=(|=(|a| |2 2-|-|b| |2 2)=0.)=0.又又f( )=(1,2)f( )=(1,2)，(1,2)=(2,4),(1,2)=(2,4),=2.=2.答案：答案：0 20 2BC1,2 AB2,4 , ，BC