高二數(shù)學(xué)必修5 基本不等式1 課件

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1、不等關(guān)系嗎？或圖中找出一些相等關(guān)系設(shè)計(jì)的你能在這個(gè)圖古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)的屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上圖是在北京召開的第一、新課引入一、新課引入ICM2002會(huì)標(biāo)會(huì)標(biāo)趙爽：弦圖趙爽：弦圖一、新課引入一、新課引入實(shí)黃實(shí)，加差實(shí)，亦成弦以勾股之差自相乘為中，朱實(shí)二，倍之為朱實(shí)四圖，又可以勾股相乘為弦證明方法敘述為：按開方除之，即弦實(shí)股各自乘，并之，為弦勾股定理表述為：勾將勾股定理的理論證明，價(jià)值的文獻(xiàn)它記述了有圖注文是數(shù)學(xué)史上極余字的勾股圓方了詳細(xì)注釋其中一段為該書寫了序言，并作，入研究了周髀算經(jīng)貢獻(xiàn)是約在年深要三國(guó)時(shí)代的人他的主中國(guó)數(shù)學(xué)家，東漢末至ADBCEFGHab22ab不等式：不等

2、式： 一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，我們有，我們有當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。時(shí)，等號(hào)成立。222ababABCDE(FGH)ab證明推導(dǎo)證明推導(dǎo)1：結(jié)論： 如果a、bR,那么 a+b2ab (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)) 以公式(1)為基礎(chǔ),運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)公式(2)這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法綜合法。如果a、bR,那么有 ( a-b ) 0 ( 1 )把(1)式左邊展開，得 a -2ab+b 0 a+b 2ab ( 2 )(2)式中取等號(hào)成立的充要條件是什么？式中取等號(hào)成立的充要條件是什么？證明推導(dǎo)證明推導(dǎo)2：:基本不等式22

3、(1)2( ,_);abab a b預(yù)備不等式(2)( ,_).2abab a b均值不等式()分析法證明不等式?)2(,.,的幾何解釋得出不等式試用這個(gè)圖形連接的弦垂直于作過(guò)點(diǎn)上一點(diǎn)點(diǎn)是是圓的直徑如圖BDADDEABCbBCaACABAB證明推導(dǎo)證明推導(dǎo)3：證明推導(dǎo)證明推導(dǎo)4：均值不等式的幾何解釋是均值不等式的幾何解釋是: 半徑不小于半弦半徑不小于半弦.均值不等式的代數(shù)解釋為均值不等式的代數(shù)解釋為: 兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小它們的等比中項(xiàng)不小它們的等比中項(xiàng).兩個(gè)不等式的適用范圍不同兩個(gè)不等式的適用范圍不同結(jié)論推廣結(jié)論推廣公式公式 如果a1，a2，an 0 ，且 n1，那么 (

4、a1+a2+an ) / n 叫做這n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù) ， 叫做這n個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)幾何平均數(shù) 。a1a2a nn結(jié)論：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數(shù)。如果a1，a2，an 0 ，且 n1，那么 (a1+a2+an ) / n nnaaa21結(jié)論舉例結(jié)論舉例1. 如果a、bR,那么a+b2ab (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))2 如果a、b、c 0,那么a+b+c 3abc (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào))推論推論 如果a、b 0,那么(a+b)/2 (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))ab推論推論 如果a、b、c 0,那么(a+b+c)/3 (當(dāng)且僅當(dāng)a=

5、b=c時(shí)取“=”號(hào))abc3二、新課講解二、新課講解1. ,:a b例均為正數(shù) 證明以下不等式;112) 1 (baab.22)2(22baba:重要結(jié)論222( ,).1122abababa bRab其中當(dāng)且僅當(dāng)其中當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)時(shí)取等號(hào).三、探索三、探索由a、b、cR，依次對(duì)其中的兩個(gè)運(yùn)用公式(2)，有a +b 2ab;b +c 2bc;c +a 2ca.把以上三式疊加，得 a +b +c ab+bc+ca （a、b、cR） ( 3 ) (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào)) 從以上推導(dǎo)過(guò)程中可以學(xué)到一種處理兩項(xiàng)以上的和式問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想與方法迭代與疊加迭代與疊加.證明： a +b +c

6、ab+bc+ca （a、b、cR ） (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào)) 由于 a+b=(a+b)(a-ab+b), 啟示我們把公式a+b2ab變成 a-ab+bab, 兩邊同乘以a +b，為了得到同向不等式，這里要求a、b0, 得到 a+bab+ab。 ( 4 )結(jié)論結(jié)論 如果a、b、c0,那么a+b+c 3abc (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào))四、再探索四、再探索 由公式(3) 的推導(dǎo)方法，再增加一個(gè)正實(shí)數(shù)c，對(duì)b、c , c、a 迭代(4)式，并應(yīng)用公式(2)，得 2(a+b+c)a(b+c)+b(c+a)+c(a+b) a 2bc+b 2ca+c 2ab=6abc a+b+c3ab

7、c ( 5 )(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào)）證明證明 如果a、b、c0,那么a+b+c 3abc (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào))五、繼續(xù)探索五、繼續(xù)探索結(jié)論結(jié)論 如果a、b、c0,那么(a+b+c)/3 (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào))在公式(5)中用 、 、 分別替換a、b、c，可得 ( ) + ( ) + ( ) 3 a + b +c 33a3a3a3b3b3b3c3c3c3abc （a+b+c)/3 ( 7 ) (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào)）3abc證明證明 如果a、b、c0,那么(a+b+c)/3 (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào))221.2 ( ,)ababab R22

8、22.( ,).1122abababa bRab3.3. 如果a、b、c0,那么a+b+c 3abc (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào))4. 4. 如果a、b、c0,那么(a+b+c)/3 (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào))5.n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數(shù)。如果a1，a2，an 0 ，且 n1，那么 (a1+a2+an ) / n nnaaa21其中當(dāng)且僅當(dāng)其中當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)時(shí)取等號(hào). .2,)1(”號(hào)）”號(hào)）時(shí)取“時(shí)取“（當(dāng)（當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) baabbaRba . 21,)2( aaRba時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)變式：變式：3種情況，種情況，5個(gè)結(jié)論個(gè)結(jié)論 ：abbaabba

9、Rba22,22 ，時(shí)，有時(shí)，有當(dāng)當(dāng)abbaabbaRba22,22 ，時(shí)，有時(shí)，有當(dāng)當(dāng)”不成立”不成立，顯然“，顯然“時(shí)，有時(shí)，有當(dāng)當(dāng) abbaba2022推廣：推廣：（1 1）兩個(gè)正數(shù)積為定值，和有最小值。）兩個(gè)正數(shù)積為定值，和有最小值。（2 2）兩個(gè)正數(shù)和為定值，積有最大值。）兩個(gè)正數(shù)和為定值，積有最大值。應(yīng)用要點(diǎn)：應(yīng)用要點(diǎn)：一正一正 二定二定 三相等三相等2、(04重慶）已知重慶）已知?jiǎng)t則x y 的最大值是的最大值是 。232(0,0)xyxy練習(xí)：練習(xí)：1、當(dāng)、當(dāng)x0時(shí)，時(shí)， 的最小值為的最小值為 ，此，此時(shí)時(shí)x= 。1xx21思考：當(dāng)思考：當(dāng)x0時(shí)表時(shí)表達(dá)式又有何最值達(dá)式又有何最值呢？呢？16P100A組第組第1題題