【優(yōu)化方案】2012高中數(shù)學(xué) 第2章2.2.1知能優(yōu)化訓(xùn)練 人教A版選修

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1、 1．雙曲線的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)是F1(3,0)，F(xiàn)2(－3,0)，2b＝4，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A.－＝1　　　　　　　 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案：A 2．方程x＝所表示的曲線是(　　) A．雙曲線 B．橢圓 C．雙曲線的一部分 D．橢圓的一部分 解析：選C.依題意：x≥0，方程可化為：3y2－x2＝1，所以方程表示雙曲線的一部分．故選C. 3．已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且a＋c＝9，b＝3，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是________． 答案：－＝1 4．根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． (1)過(guò)點(diǎn)P，Q且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上； (2)c＝，

2、經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－5,2)，焦點(diǎn)在x軸上． 解：(1)設(shè)雙曲線方程為＋＝1(mn<0)． ∵P，Q兩點(diǎn)在雙曲線上，∴解得 ∴所求雙曲線的方程為－＝1. (2)∵焦點(diǎn)在x軸上，c＝， ∴設(shè)所求雙曲線的方程為－＝1(0<λ<6)． ∵雙曲線過(guò)點(diǎn)(－5,2)， ∴－＝1， 解得λ＝5或λ＝30(舍去)， ∴所求雙曲線的方程為－y2＝1. 一、選擇題 1．動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M(1,0)及點(diǎn)N(3,0)的距離之差為2，則點(diǎn)P的軌跡是(　　) A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．兩條射線 D．一條射線 解析：選D.由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以點(diǎn)P的軌跡是一條以N為端點(diǎn)

3、的射線． 2．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到A(－5,0)的距離與它到B(5,0)距離的差等于6，則P點(diǎn)的軌跡方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1(x≤－3) D.－＝1(x≥3) 解析：選D.由題意c＝5，a＝3，∴b＝4. ∴點(diǎn)P的軌跡方程是－＝1(x≥3)． 3．(2010年高考安徽卷)雙曲線方程為x2－2y2＝1，則它的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A．(，0) B．(，0) C．(，0) D．(，0) 解析：選C.將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式x2－＝1， 所以a2＝1，b2＝，∴c＝＝， ∴右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)．故選C. 4．橢圓＋＝1與雙曲線－＝1有相同的焦點(diǎn)

4、，則a的值是(　　) A. B．1或－2 C．1或 D．1 解析：選D.依題意： 解得a＝1.故選D. 5．k>9是方程＋＝1表示雙曲線的(　　) A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件 解析：選B.當(dāng)k>9時(shí)，9－k<0，k－4>0，方程表示雙曲線．當(dāng)k<4時(shí)，9－k>0，k－4<0，方程也表示雙曲線． ∴k>9是方程＋＝1表示雙曲線的充分不必要條件． 6．雙曲線－＝1上一點(diǎn)P到點(diǎn)(5,0)的距離為15，那么該點(diǎn)到點(diǎn)(－5,0)的距離為(　　) A．7 B．23 C．5或25 D．7或23 解析：選D.(

5、－5,0)和(5,0)都是雙曲線的焦點(diǎn)，||PF1|－|PF2||＝8，∴|PF1|＝15＋8或15－8，即7或23. 二、填空題 7．過(guò)點(diǎn)(1,1)且＝的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． 答案：－y2＝1或－x2＝1 8．橢圓＋＝1和雙曲線－＝1有相同的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)n的值是________． 解析：因?yàn)殡p曲線－＝1的焦點(diǎn)在x軸上， ∴c2＝n2＋16，且橢圓＋＝1的焦點(diǎn)在x軸上， ∴c2＝34－n2，∴n2＋16＝34－n2， ∴n2＝9，∴n＝±3. 答案：±3 9．(2010年高考江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線－＝1上一點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3，則點(diǎn)M到此雙

6、曲線的右焦點(diǎn)的距離為________． 解析：∵－＝1， ∴當(dāng)x＝3時(shí)，y＝±. 又∵F2(4,0)， ∴|AF2|＝1，|MA|＝， ∴|MF2|＝＝4. 故填4. 答案：4 三、解答題 10．已知方程＋＝1表示的圖形是：(1)雙曲線；(2)橢圓；(3)圓．試分別求出k的取值范圍． 解：(1)方程表示雙曲線需滿足(2－k)(k－1)＜0， 解得k＞2或k＜1. 即k的取值范圍是(－∞，1)∪(2，＋∞)． (2)方程表示橢圓需滿足 解得1＜k＜2且k≠. 即k的取值范圍是(1，)∪(，2)． (3)方程表示圓需有2－k＝k－1＞0，即k＝. 11．已知與

7、雙曲線－＝1共焦點(diǎn)的雙曲線過(guò)點(diǎn)P，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解：已知雙曲線－＝1. 據(jù)c2＝a2＋b2，得c2＝a2＋b2＝16＋9＝25，∴c＝5. 設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a>0，b>0)． 依題意，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－a2， 故雙曲線方程可寫為－＝1， 點(diǎn)P在雙曲線上， ∴－＝1. 化簡(jiǎn)得，4a4－129a2＋125＝0， 解得a2＝1或a2＝. 又當(dāng)a2＝時(shí)，b2＝25－a2＝25－＝－<0，不合題意． ∴所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是：x2－＝1. 12．如圖所示，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三內(nèi)角A，B，C滿足2sin A＋sin C＝2sin B，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求頂點(diǎn)C的軌跡方程． 解：如圖所示，以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則 A(－2，0)，B(2，0)． 由正弦定理， 得sinA＝，sinB＝， sinC＝(R為△ABC外接圓半徑)． ∵2sinA＋sinC＝2sinB， ∴2a＋c＝2b， 即b－a＝. 從而有|CA|－|CB|＝|AB| ＝2<|AB|. 由雙曲線的定義知，點(diǎn)C的軌跡為雙曲線的右支． 且a＝，c＝2， ∴b2＝c2－a2＝6. 所以頂點(diǎn)C的軌跡方程為 －＝1(x>)． 5