《高考數(shù)學(xué)思想方法專題數(shù)形結(jié)合思想》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)思想方法專題數(shù)形結(jié)合思想（25頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、高考數(shù)學(xué)思想方法專題：第二講 數(shù)形結(jié)合思想
【思想方法詮釋】
一、數(shù)形結(jié)合的思想
所謂的數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)含義，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙、和諧地結(jié)合起來，并充分利用這種“結(jié)合”，尋找解題思路，使問題得到解決，數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法。數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從形的直觀和數(shù)的嚴謹兩方面思考問題，拓寬了解題思路，是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機結(jié)合．
數(shù)形結(jié)合的實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖象結(jié)合起來，關(guān)鍵是
2、代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化．
二、數(shù)形結(jié)合思想解決的問題常有以下幾種：
1．構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍；
2．構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍；
3．構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系；
4．構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式；
5．構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問題；
6．構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題；
7．構(gòu)建方程模型，求根的個數(shù)；
8．研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等。
三、數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常見方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時
3、發(fā)揮奇特功效，具體操作時，應(yīng)注意以下幾點：
1．準確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域；
2．用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）的解的個數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個函數(shù)的表達式（有時可能先作適當調(diào)整，以便于作圖）然后作出兩個函數(shù)的圖象，由圖求解。
四、在運用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題時，需做到以下四點：
1．要清楚一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征；
2．要恰當設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；
3．要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復(fù)和遺漏；
4．精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，以便于問
4、題求解。
【核心要點突破】
要點考向1：利用數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)式的幾何意義解題
例1：實系數(shù)一元二次方程x2+ax+2b=0有兩個根，一個根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一個根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，求：
（1）點（a,b）對應(yīng)的區(qū)域的面積；
（2）的取值范圍；
（3）(a-1)2+(b-2)2的值域．
思路精析：列出a,b滿足的條件→畫出點(a,b)對應(yīng)的區(qū)域→求面積→根據(jù)的幾何意義求范圍→根據(jù)(a-1)2+(b-2)2的幾何意義求值域．
解析：方程x2+ax+2b=0的兩根在區(qū)間（0，1）和（1，2）上的幾何意義分別是：函數(shù)y=f(x)= x2+ax+2b與x軸的兩個交點的橫坐標分別在
5、區(qū)間（0，1）和（1，2）內(nèi)，
由此可得不等式組
由，解得A（-3，1）．
由，解得C（-1，0）．
∴在如圖所示的aOb坐標平面內(nèi)，滿足條件的點(a,b)對應(yīng)的平面區(qū)域為△ABC（不包括邊界）．
（1）△ABC的面積為（h為A到Oa軸的距離）．
（2）幾何意義是點(a,b)和點D(1,2)邊線的斜率．
由圖可知
（3）∵(a-1)2+(b-2)2表示的區(qū)域內(nèi)的點(a,b)與定點(1,2)之間距離的平方，
注：如果等式、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)蘊含著明顯的幾何特征，就要考慮用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解題，即所謂的幾何法求解，比較常見的對應(yīng)有：
（1）連線的斜率；
（2）之
6、間的距離；
（3）為直角三角形的三邊；
（4）圖象的對稱軸為x=．只要具有一定的觀察能力，再掌握常見的數(shù)與形的對應(yīng)類型，就一定能得心應(yīng)手地運用數(shù)形結(jié)合的思想方法．
要點考向2：用數(shù)形結(jié)合求方程根的個數(shù)，解決與不等式有關(guān)的問題
例2：（1）已知：函數(shù)f(x)滿足下面關(guān)系：①f(x+1)=f(x-1);②當x∈[-1,1]時，f(x)=x2,則方程f(x)=lgx解的個數(shù)是（ ）
(A)5 (B)7 (C)9 (D)10
(2)設(shè)有函數(shù)f(x)=a+ 和g(x)= ,已知x∈[-4,0]時，恒有f(x)≤g(x)，求實數(shù)a的范圍．
思
7、路精析：（1）畫出f(x)的圖象→畫出y=lgx的圖象→數(shù)出交點個數(shù)．
（2）f(x)≤g(x)變形為→畫出的圖象→畫出的圖象→尋找成立的位置
解析：（1）選C．由題間可知，f(x)是以2為周期，值域為[0，1]的函數(shù)．又f(x) =lgx，則x∈（0，10]，畫出兩函數(shù)圖象，則交點個數(shù)即為解的個數(shù)．由圖象可知共9個交點．
（2）f(x)≤g(x)，即，變形得，令…………①，………………②
①變形得，即表示以（-2，0）為圓心，2為半徑的圓的上半圓；
②表示斜率為，縱截距為1-a的平行直線系．設(shè)與圓相切的直線為AT，其傾斜角為，則有tan=,,
要使f(x)≤g(x)在x∈
8、[-4,0]時恒成立，則②成立所表示的直線應(yīng)在直線AT的上方或與它重合，故有1-a≥6,∴a≤-5．
注：（1）用函數(shù)的圖象討論方程（特別是含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程）的解的個數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個熟悉函數(shù)的表達式（不熟悉時，需要作適當變形轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)），然后在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象，圖象的交點個數(shù)即為方程解的個數(shù)．
（2）解不等式問題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點，選擇適當?shù)膬蓚€（或多個）函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系來解決不等式的解的問題，往往可以避免繁瑣的運算，獲得簡捷的解答．
（
9、3）函數(shù)的單調(diào)性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的升、降；奇偶性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的對稱性；最值（值域）經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的最高、最低點的縱坐標．
要點考向2：數(shù)形結(jié)合在解析幾何中的應(yīng)用
例3：已知橢圓的中心在原點，一個焦點，且長軸長與短軸長的比是．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若橢圓在第一象限的一點的橫坐標為，過點作傾斜角互補的兩條不同的直線，分別交橢圓于另外兩點，，求證：直線的斜率為定值；
（Ⅲ）求面積的最大值．
解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為．
由題意………………………………………………2分
解得 ，．
所以橢圓的方程為．………………………………………………4分
（Ⅱ）由題意知，兩直線，的斜
10、率必存在，設(shè)的斜率為，則的直線方程為.
由得
.………………6分
設(shè)，，則
，
同理可得，
則，.
所以直線的斜率為定值. ……………………………………8分
（Ⅲ）設(shè)的直線方程為.
由得.
由，得.……………………………………10分
此時，.
到的距離為，
則
.
因為使判別式大于零，
所以當且僅當時取等號，
所以面積的最大值為．………………………………………………………13分
注：1．數(shù)形結(jié)合思想中一個非常重要的方面是以數(shù)輔形，通過方程等代數(shù)的方法來研究幾何問題，也就是解析法，解析法與幾何法結(jié)合來解題，會有更大的功效．
2．此類題目的求解
11、要結(jié)合該類圖形的幾何性質(zhì)，將條件信息或結(jié)論信息結(jié)合在一起，觀察圖形特征，轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言，即方程（組）或不等式（組），從而將問題解決．
要點考向2：數(shù)形結(jié)合在立體幾何中的應(yīng)用
例4：如圖1,在直角梯形中,,,,為線段的中點.將沿折起,使平面平面,得到幾何體,如圖2所示.
(Ⅰ) 求證:平面；
(Ⅱ) 求二面角的余弦值.
解析:（Ⅰ）在圖1中,可得,從而,故.
取中點連結(jié),則,又面面,
面面,面,從而平面. …………………4分
∴，又,.
∴平面. ………………………………………………6分
（Ⅱ）建立空間直角坐標系如圖所示,則,,
12、,. ………………………………………………8分
設(shè)為面的法向量,
則即,解得.
令,可得.
又為面的一個法向量，
∴.
∴二面角的余弦值為.
注：1．應(yīng)用空間向量可以解決的常見問題有空間角中的異面直線所成的角、線面角、二面角；位置關(guān)系中的平行、垂直及點的空間位置．其一般思路是：盡量建立空間直角坐標系，將要證、要求的問題轉(zhuǎn)化為坐標運算．
2．立體幾何問題的求解往往將題目所給信息先轉(zhuǎn)換成幾何圖形性質(zhì)，結(jié)合該類圖形的幾何性質(zhì)，將條件信息和結(jié)論信息結(jié)合在一起，觀察圖形特征，為代數(shù)法求解找到突破口．
【跟蹤模擬訓(xùn)練】
一、選擇題（每小題6分，共36分）
1.方程lgx=si
13、nx的根的個數(shù)( )
(A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)4個
2．已知全集U=R，集合A={x|x2-3x-10<0},B={x|x>3},則右圖中陰影部分表示的集合為( )
A．(3,5) B．(-2,+) C．(-2,5) D．(5,+)
3．在平面直角坐標系xOy中，已知平面區(qū)域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0}，則平面區(qū)域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面積為（ ）
(A)2 (B)1 (C) (D)
4．函數(shù)圖象如圖，則函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為（
14、 ）
－2
3
y
x
0
A． B．C． D．
5．不等式組有解，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知f(x)是定義在（-3，3）上的奇函數(shù)，當0
15、(x,y)|x+y+m≥0}，則使AB成立的實數(shù)m的取值范圍是______.
三、解答題（10、11題每題15分，12題16分，共46分）
10．如圖，已知四棱錐的底面是正方形，⊥底面，且，點、分別在側(cè)棱、上，且
（Ⅰ）求證：⊥平面；
（Ⅱ）若，求平面與平面的所成銳
二面角的大小
11．如圖，，是通過某市開發(fā)區(qū)中心0的兩條南北和東西走向的道路，連接M、N兩地的鐵路是一段拋物線弧，它所在的拋物線關(guān)于直線L1對稱．M到L1、L2的距離分別是2 km、4km，N到L1、L2的距離分別是3 km、9 kin．
（1）建立適當?shù)淖鴺讼担髵佄锞€弧MN的方程；
（Ⅱ）
16、該市擬在點0的正北方向建設(shè)一座工廠，考慮到環(huán)境問題，要求廠址到點0的距離大于5km而不超過8km，并且鐵路上任意一點到工廠的距離不能小于km．求此廠離點0的最近距離．（注：工廠視為一個點）
12．已知函數(shù)f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m.
(1)求f(x)在區(qū)間［t,t+1］上的最大值h(t);
(2)是否存在實數(shù)m,使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由.
參考答案
1．【解析】選C.在同一坐標系中作出y=lgx與y=sinx的圖象，如圖.其交點數(shù)為3.
2．答案：B
3．
作出
17、不等式組表示的平面區(qū)域B，如圖所示，根據(jù)圖形可知該區(qū)域為等腰直角三角形，可求出面積，所以平面區(qū)域B的面積為1．
4．答案：D
5．答案：A
6．【解析】選B.根據(jù)對稱性畫出
f(x)在（-3,0）上的圖象如
圖，結(jié)合y=cosx在(-3,0),
(0,3)上函數(shù)值的正負,
易知不等式f(x)cosx<0的解集是
7．【解析】由題意知，設(shè)，則k為過圓(x-2)2+y2=1上的點及原點的直線斜率，作圖如下：
又由對稱性，可得答案：
答案：
8．【解析】令f(x)=x2-4|x|+5=(|x|-2)2+1，其圖象如圖.
畫直線y=m,由圖象知當1
18、5時，方程有四個不相等的實根.
答案：（1，5）
9．【解析】由于集合A，B都是點的集合,故可結(jié)合圖形進行分析、求解.集合A是一個圓x2+(y-1)2=1上的點的集合,集合B是一個不等式x+y+m≥0表示的平面區(qū)域內(nèi)的點的集合, 要使AB，則應(yīng)使圓被平面區(qū)域所包含（如圖），
即直線x+y+m=0應(yīng)與圓相切或相離(在圓的下方)，而當直線與圓相切時有
故m的取值范圍是m≥-1.
答案：m≥-1
10．解：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系又
PA=AD=2，則有P（0，0，2），D（0，2，0）
……3分
（Ⅰ）
又……………7分
（Ⅱ）設(shè)則有
同理可得即得……
19、…………9分
由
而平面PAB的法向量可為
故所求平面AMN與PAB所成銳二面角的大小為…………12分
11．解析：（1）分別以、為軸、軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則M（2，4），N（3，9）
設(shè)MN所在拋物線的方程為，則有
，解得
∴所求方程為（2≤≤3） 5分
（說明：若建系后直接射拋物線方程為，代入一個點坐標求對方程，本問扣2分）
（2）設(shè)拋物線弧上任意一點P（，）（2≤≤3）
廠址為點A（0，）（5＜t≤8，由題意得≥
∴≥0 7分
令，∵2≤≤3，∴4≤≤9
∴對于任意的，不等式≥0恒成立（*） 8分
設(shè)，∵≤8
20、∴≤.
要使（*）恒成立，需△≤0，即≤0 10分
解得≥，∴的最小值為
所以，該廠距離點O的最近距離為6.25km 12分
12．【解析】（1）f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16.
①當t+1<4即t<3時，f(x)在
［t,t+1］上單調(diào)遞增(如圖①).
h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)
=-t2+6t+7.
②當t≤4≤t+1即3≤t≤4時，f(x)的最大值為h(t)=f(4)=16(如圖②)
③當t>4時，f(x)在［t,t+1］上單調(diào)遞減（如圖③），
h(t)=f(t)=-t2+8t.
(2)函數(shù)y=f(x
21、)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點，即函數(shù)φ(x)=g(x)-f(x)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個不同的交點.
∵φ(x)=x2-8x+6lnx+m,
當x∈(0,1)時φ′(x)>0,φ(x)是增函數(shù);
當x∈(1,3)時,φ′(x)<0,φ(x)是減函數(shù);
當x∈(3,+∞)時,φ′(x)>0,φ(x)是增函數(shù);
當x=1或x=3時，φ′（x）=0.
∴φ(x)極大值=φ（1）=m-7,
φ(x)極小值=φ（3）=m+6ln3-15.
∵當x充分接近0時，φ（x）<0，
當x充分大時,φ(x)>0,
∴要使φ(x)的圖象與x軸正半軸有三個不同的交
22、點，
即7c
(B)b≥c或b≤c中至少有一個正確
(C)b
23、)+c=0有兩個不同的根.且一個根在（0,1）內(nèi)，另一個根為1.
∴b
24、x|-1
25、60°,求NB與平面ABC所成角的余弦值.
【解析】如圖，
建立空間直角坐標系M-xyz.令MN=1,則有A(-1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0).
(1)∵MN是l1、l2的公垂線，l1⊥l2,∴l(xiāng)2⊥平面ABN，
∴l(xiāng)2平行于z軸.故可設(shè)C(0,1,m).于是
內(nèi)容總結(jié)
（1）高考數(shù)學(xué)思想方法專題：第二講 數(shù)形結(jié)合思想
【思想方法詮釋】
一、數(shù)形結(jié)合的思想
所謂的數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)含義，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙、和諧地結(jié)合起來，并充分利用這種“結(jié)合”，尋找解題思路，使問題得到解決，數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法
高考數(shù)學(xué)思想方法專題數(shù)形結(jié)合思想
