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1、數學專題三開放探究型問題開放探究型問題的內涵：所謂開放探究型問題是指已知條件、解題依據、解題方法、問題結論這四項要素中，缺少解題要素兩個或兩個以上，需要通過觀察、分析、比較、概括、推理、判斷等探索活動來確定所需求的條件或結論或方法(1)常規(guī)題的結論往往是唯一確定的，而多數開放探究題的結論是不確定或不是唯一的，它是給學生有自由思考的余地和充分展示思想的廣闊空間；(2)解決此類問題的方法，可以不拘形式，有時需要發(fā)現問題的結論，有時需要盡可能多地找出解決問題的方法，有時則需要指出解題的思路等對于開放探究型問題，需要通過觀察、比較、分析、綜合及猜想，展開發(fā)散性思維，充分運用已學過的數學知識和數學方法，
2、經過歸納、類比、聯想等推理的手段，得出正確的結論在解開放探究題時，常通過確定結論或補全條件，將開放性問題轉化為封閉性問題三個解題方法(1)條件開放型問題：由已知的結論反思題目應具備怎樣的條件，即從題目的結論出發(fā)，結合圖形挖掘條件，逆向追索，逐步探尋，是一種分析型思維方式它要求解題者善于從問題的結論出發(fā)，逆向追索，多途尋因；(2)結論開放型問題：從剖析題意入手，充分捕捉題設信息，通過由因導果，順向推理或聯想、類比、猜測等，從而獲得所求的結論；(3)條件和結論都開放型：此類問題沒有明確的條件和結論，并且符合條件的結論具有多樣性，需將已知的信息集中進行分析，探索問題成立所必須具備的條件或特定的條件應
3、該有什么結論，通過這一思維活動得出事物內在聯系，從而把握事物的整體性和一般性4 2 2(2015齊齊哈爾)如圖，點B，A，D，E在同一直線上，BDAE，BCEF，要使ABCDEF，則只需添加一個適當的條件是_(只填一個即可)BCEF或BACEDF3(答案不唯一) BDFC 條件開放型問題 【例1】已知四邊形ABCD，ABCD，要得出四邊形ABCD是平行四邊形的結論，還應具備什么條件？解：當ABCD時，只要具備下列條件之一，便可得出四邊形ABCD是平行四邊形(1)ADBC；(2)ABCD；(3)AC；(4)BD；(5)AB180【點評】判斷一個四邊形是平行四邊形的基本依據是：平行四邊形的定義及其
4、判定定理，而本題告訴的四邊形已有一組對邊平行的條件，由此可以想到：兩組對邊分別平行；一組對邊平行且相等；一組對邊平行，一組對角相等都能得到平行四邊形的結論對應訓練1(2014巴中)如圖，在四邊形ABCD中，點H是BC的中點，作射線AH，在線段AH及其延長線上分別取點E，F，連接BE，CF.(1)請你添加一個條件，使得BEH CFH，你添加的條件是_，并證明(2)在問題(1)中，當BH與EH滿足什么關系時，四邊形BFCE是矩形，請說明理由EHFH結論開放型問題 【例2】(2015菏澤)如圖，已知ABC90，D是直線AB上的點，ADBC.(1)如圖，過點A作AFAB，并截取AFBD，連接DC，DF
5、，CF，判斷CDF的形狀并證明；(2)如圖，E是直線BC上一點，且CEBD，直線AE，CD相交于點P，APD的度數是一個固定的值嗎？若是，請求出它的度數；若不是，請說明理由【點評】解結論開放型問題時要充分利用已知條件或圖形特征，進行猜想、歸納、類比，透徹分析出給定條件下可能存在的結論現象，然后經過論證作出取舍，這是一種歸納類比型思維它要求解題者充分利用條件進行大膽而合理的猜想，發(fā)現規(guī)律，得出結論，這類題主要考查解題者的發(fā)散性思維能力和知識應用能力對應訓練2(2015涼山州)如圖，在正方形ABCD中，G是BC上任意一點，連接AG，DEAG于E，BFDE交AG于F，探究線段AF，BF，EF三者之間
6、的數量關系，并說明理由存在開放型問題 【例3】(2014龍東)如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A在y軸正半軸上，頂點B在x軸正半軸上，OA，OB的長分別是一元二次方程x27x120的兩個根(OAOB)(1)求點D的坐標(2)求直線BC的解析式(3)在直線BC上是否存在點P，使PCD為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，說明理由【點評】本題是一道典型的“存在性問題”，主要利用了解一元二次方程、正方形的性質、全等三角形的判定與性質、待定系數法求一次函數解析式、等腰直角三角形的判定與性質，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵，考查了等腰三角形存在的條件，有一定的開放性綜
7、合開放型問題【例4】看圖說故事請你編一個故事，使故事情境中出現的一對變量x，y滿足圖示的函數關系式，要求：指出變量x和y的含義；利用圖中數據說明這對變量變化過程的實際意義，其中須涉及“速度”這個量解：該函數圖象表示小明騎車離出發(fā)地的路程y(單位： km)與他所用的時間x(單位： min)的關系小明以400 m/ min的速度勻速騎了5 min，在原地休息了6 min，然后以500 m/ min的速度勻速騎車回出發(fā)地(本題答案不唯一)【點評】解決綜合開放性問題時，需要類比、試驗、創(chuàng)新和綜合運用所學知識，建立合理的數學模型，從而使問題得以解決綜合開放型問題的解題方法一般不唯一或解題路徑不明確，要求
8、解題者不墨守成規(guī)，敢于創(chuàng)新，積極發(fā)散思維，優(yōu)化解題方案和過程對應訓練4(2015酒泉)已知ABC內接于 O，過點A作直線EF.(1)如圖所示，若AB為 O的直徑，要使EF成為 O的切線，還需要添加的一個條件是(至少說出兩種)：_或者_；(2)如圖所示，如果AB是不過圓心O的弦，且CAEB，那么EF是 O的切線嗎？試證明你的判斷BAE90EACABC解：(1)BAE90EACABC，理由是：BAE90，AEAB，AB是直徑，EF是 O的切線AB是直徑，ACB90，ABCBAC90，EACABC，BAEBACEACBACABC90，即AEAB，AB是直徑，EF是 O的切線(2)EF是 O的切線證明
9、：作直徑AM，連接CM，則ACM90，MB，MCAMBCAM90，CAEB，CAMCAE90，AEAM，AM為直徑，EF是 O的切線試題(2014青島)已知：如圖，ABCD中，O是CD的中點，連接AO并延長，交BC的延長線于點E.(1)求證：AOD EOC；(2)連接AC，DE，當BAEB_時，四邊形ACED是正方形？請說明理由審題視角(1)根據平行線的性質可得DOCE，DAOE， 再 根 據 中 點 定 義 可 得 D O C O ， 然 后 可 利 用 A A S 證 明AOD EOC；(2)當BAEB45時，四邊形ACED是正方形，首先證明四邊形ACED是平行四邊形，再證對角線互相垂直且
10、相等可得四邊形ACED是正方形(2)當BAEB45時，四邊形ACED是正方形理由：AODEOC，OAOE.又OCOD，四邊形ACED是平行四邊形BAEB45，ABAE，BAE90.四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，ABCD.COEBAE90. ACED是菱形ABAE，ABCD，AECD.菱形ACED是正方形故答案為：45.答題思路第一步：審題，仔細觀察圖形并考慮證明結論所需的條件；第二步：由已知的結論反思題目應具備怎樣的條件，即從題目的結論出發(fā)，逆向追索，逐步探求；第三步：找到證明結論所需的條件后，從已知條件和探索出的條件出發(fā)一步一步的證明結論；第四步：反思回顧，查看關鍵點、注意易錯點(本題第(2)問是從BAEB45出發(fā)證得四邊形ACED是正方形)，完善解題步驟
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