高考數(shù)學一輪總復(fù)習 第二章 函數(shù)、導數(shù)及其應(yīng)用 第11講 抽象函數(shù)課件 文

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1、第11講 抽象函數(shù)考綱要求考點分布考情風向標1.了解函數(shù)模型的實際背景2.會運用函數(shù)的解析式理解和研究函數(shù)的性質(zhì)2014 年 新 課 標卷第 5 題考查抽 象 函 數(shù) 的 奇偶性從近幾年的高考試題來看，對本節(jié)內(nèi)容的考查主要是與周期性、單調(diào)性相結(jié)合，求函數(shù)值、比較大小等，重點探討冪函數(shù)型、指數(shù)函數(shù)型、對數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)的解析式及基本性質(zhì)抽象函數(shù)解析式f(x1x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)f(x1)f(x2)抽象函數(shù)的類型正比例函數(shù)型對數(shù)函數(shù)型指數(shù)函數(shù)型等價形式f(x1x2)f(x1)f(x2) f(x1)f(x2) f(x1x2)實例f(x)2xf(x

2、)log2xf(x)2x12xfx12()()f xf x1已知 f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且 f(x)0，則 f(x)是( B )A奇函數(shù)C非奇非偶函數(shù)B偶函數(shù)D不確定解析：令 xy0，則 2f(0)2f(0)2，因為 f(x)0，所以f(0)1.令 x0，則 f(y)f(y)2f(y)，f(y)f(y)，f(x)為偶函數(shù)故選 B.2函數(shù) f(x)滿足 f(x)f(x2)13，若 f(1)2，則 f(99)()A13B2CCD3若 f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，它的最小正周期為 T，則 f 的值為()A1322132T4已知函數(shù) f(x)的定義域為(0，)，并且對任意正數(shù)

3、x，y 都有 f(xy)f(x)f(y)(1)f(1)_；(2)若 f(8)3，則 f( )_.0212考點 1 正比例函數(shù)型抽象函數(shù)例 1：設(shè)函數(shù) f(x)對任意 x，yR，都有 f(xy)f(x)f(y)，且當 x0 時，f(x)0，f(1)2.(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；(2)試問當3x3 時，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果沒有，說出理由(1)證明：令 xy0，則有 f(0)2f(0)f(0)0.令 yx，則有 f(0)f(x)f(x)，即 f(x)f(x)f(x)是奇函數(shù)(2)解：當3x3 時，f(x)有最值，理由如下：yf(x)在 R 上為減函數(shù)因此 f(3)為函數(shù)的最

4、小值，f(3)為函數(shù)的最大值f(3)f(1)f(2)3f(1)6，f(3)f(3)6.函數(shù)的最大值為 6，最小值為6.任取x10f(x2x1)0.f(x1)f(x2)【規(guī)律方法】(1)利用賦值法解決抽象函數(shù)問題時需把握如下三點：一是注意函數(shù)的定義域，二是利用函數(shù)的奇偶性去掉函數(shù)符號“f ”前的“負號”，三是利用函數(shù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號“f ”(2)解決正比例函數(shù)型抽象函數(shù)的一般步驟為：f(0)0f(x)是奇函數(shù)f(xy)f(x)f(y)單調(diào)性(3)判斷單調(diào)性小技巧：設(shè) x10f(x2x1)0 f(x2) f(x2x1x1) f(x2x1)f(x1)1 時 f(x)0，f(2)1.(1)求證：f(

5、x)是偶函數(shù)；(2)求證：f(x)在(0，)上是增函數(shù)；(3)解不等式 f(2x21)2.(1)證明：對定義域內(nèi)的任意x1，x2都有f(x1x2)f(x1)f(x2)令x1x，x21，則有f(x)f(x)f(1)又令x1x21，得2f(1)f(1)再令x1x21，得f(1)0.從而f(1)0.于是有f(x)f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)(3)解：由于 f(2)1，所以 2f(2)f(2)f(4)于是待解不等式可化為 f(2x21)f(4)，結(jié)合(1)(2)已證結(jié)論，可得上式等價于|2x21|1，且對任意的 a，bR，有 f(ab)f(a)f(b)(1)求證：f(0)1；(2)求證：對任意的 x

6、R，恒有 f(x)0；(3)求證：f(x)是 R 上的增函數(shù)；(4)若 f(x)f(2xx2)1，求 x 的取值范圍0.(1)證明：令 ab0，則 f(0)f(0)2.f(0)0，f(0)1.(2)證明：當 x0 時，x0，f(0)f(x)f(x)1.f(x)1f(x)又當 x0 時，f(x)10.xR 時，恒有 f(x)0.f(x2x1)1.(3)證明：設(shè) x1x2，則x2x10.f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1)x2x10，f(x2x1)1.又f(x1)0，f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x)是 R 上的增函數(shù)(4)解：由 f(x)f(2xx2)1，f(0)1

7、 得 f(3xx2)f(0)f(x)是 R 上的增函數(shù)，3xx20.0 x3.x 的取值范圍是x|0 xx2，x1x20，則f(x1x2)1，f(x1)f(x2x1x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)，得到函數(shù) f(x)是增函數(shù)【互動探究】3對于函數(shù) f(x)定義域中任意的 x1，x2(x1x2)，有如下結(jié)論：f(x1x2)f(x1)f(x2)；f(x1x2)f(x1)f(x2)；f(x1)f(x2)x1x20；f(x1)1x10(x10)；f(x1)1.f(x1)當 f(x)2x 時，上述結(jié)論中正確的序號是_.答案：思想與方法 利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解答抽象函數(shù)例題：已知函數(shù) yf(x)是定

8、義在 R 上的奇函數(shù)，且 y f為偶函數(shù)，對于函數(shù) yf(x)有下列幾種描述：yf(x)是周期函數(shù)；x是它的一條對稱軸；(，0)是其圖象的一個對稱中心；其中描述正確的是_(只填序號)2x當x 時，它一定取最大值2解析：已知函數(shù) yf(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，且 y f 為偶函數(shù)，不妨設(shè) f(x)sinx，顯然錯誤，顯然正確，而有可能不正確，因為函數(shù) f(x)sinx 也滿足條件，而不成立答案：2xf(x1x2)f(x1)f(x2)，f(x1x2)f(x1)f(x2)，f(x1x2)f(x1)f(x2)分別是正比例、對數(shù)、指數(shù)函數(shù)的抽象形式，解題時可以由具體函數(shù)的性質(zhì)知道我們思考的方式及解題的步驟，但不能用具體函數(shù)來代替抽象的解析式