《高考數(shù)學一輪總復(fù)習 第二章 函數(shù)、導數(shù)及其應(yīng)用 第11講 抽象函數(shù)課件 文》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學一輪總復(fù)習 第二章 函數(shù)、導數(shù)及其應(yīng)用 第11講 抽象函數(shù)課件 文(24頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第11講 抽象函數(shù)考綱要求考點分布考情風向標1.了解函數(shù)模型的實際背景2.會運用函數(shù)的解析式理解和研究函數(shù)的性質(zhì)2014 年 新 課 標卷第 5 題考查抽 象 函 數(shù) 的 奇偶性從近幾年的高考試題來看,對本節(jié)內(nèi)容的考查主要是與周期性、單調(diào)性相結(jié)合,求函數(shù)值、比較大小等,重點探討冪函數(shù)型、指數(shù)函數(shù)型、對數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)的解析式及基本性質(zhì)抽象函數(shù)解析式f(x1x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)f(x1)f(x2)抽象函數(shù)的類型正比例函數(shù)型對數(shù)函數(shù)型指數(shù)函數(shù)型等價形式f(x1x2)f(x1)f(x2) f(x1)f(x2) f(x1x2)實例f(x)2xf(x
2、)log2xf(x)2x12xfx12()()f xf x1已知 f(xy)f(xy)2f(x)f(y),且 f(x)0,則 f(x)是( B )A奇函數(shù)C非奇非偶函數(shù)B偶函數(shù)D不確定解析:令 xy0,則 2f(0)2f(0)2,因為 f(x)0,所以f(0)1.令 x0,則 f(y)f(y)2f(y),f(y)f(y),f(x)為偶函數(shù)故選 B.2函數(shù) f(x)滿足 f(x)f(x2)13,若 f(1)2,則 f(99)()A13B2CCD3若 f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù),它的最小正周期為 T,則 f 的值為()A1322132T4已知函數(shù) f(x)的定義域為(0,),并且對任意正數(shù)
3、x,y 都有 f(xy)f(x)f(y)(1)f(1)_;(2)若 f(8)3,則 f( )_.0212考點 1 正比例函數(shù)型抽象函數(shù)例 1:設(shè)函數(shù) f(x)對任意 x,yR,都有 f(xy)f(x)f(y),且當 x0 時,f(x)0,f(1)2.(1)求證:f(x)是奇函數(shù);(2)試問當3x3 時,f(x)是否有最值?如果有,求出最值;如果沒有,說出理由(1)證明:令 xy0,則有 f(0)2f(0)f(0)0.令 yx,則有 f(0)f(x)f(x),即 f(x)f(x)f(x)是奇函數(shù)(2)解:當3x3 時,f(x)有最值,理由如下:yf(x)在 R 上為減函數(shù)因此 f(3)為函數(shù)的最
4、小值,f(3)為函數(shù)的最大值f(3)f(1)f(2)3f(1)6,f(3)f(3)6.函數(shù)的最大值為 6,最小值為6.任取x10f(x2x1)0.f(x1)f(x2)【規(guī)律方法】(1)利用賦值法解決抽象函數(shù)問題時需把握如下三點:一是注意函數(shù)的定義域,二是利用函數(shù)的奇偶性去掉函數(shù)符號“f ”前的“負號”,三是利用函數(shù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號“f ”(2)解決正比例函數(shù)型抽象函數(shù)的一般步驟為:f(0)0f(x)是奇函數(shù)f(xy)f(x)f(y)單調(diào)性(3)判斷單調(diào)性小技巧:設(shè) x10f(x2x1)0 f(x2) f(x2x1x1) f(x2x1)f(x1)1 時 f(x)0,f(2)1.(1)求證:f(
5、x)是偶函數(shù);(2)求證:f(x)在(0,)上是增函數(shù);(3)解不等式 f(2x21)2.(1)證明:對定義域內(nèi)的任意x1,x2都有f(x1x2)f(x1)f(x2)令x1x,x21,則有f(x)f(x)f(1)又令x1x21,得2f(1)f(1)再令x1x21,得f(1)0.從而f(1)0.于是有f(x)f(x),所以f(x)是偶函數(shù)(3)解:由于 f(2)1,所以 2f(2)f(2)f(4)于是待解不等式可化為 f(2x21)f(4),結(jié)合(1)(2)已證結(jié)論,可得上式等價于|2x21|1,且對任意的 a,bR,有 f(ab)f(a)f(b)(1)求證:f(0)1;(2)求證:對任意的 x
6、R,恒有 f(x)0;(3)求證:f(x)是 R 上的增函數(shù);(4)若 f(x)f(2xx2)1,求 x 的取值范圍0.(1)證明:令 ab0,則 f(0)f(0)2.f(0)0,f(0)1.(2)證明:當 x0 時,x0,f(0)f(x)f(x)1.f(x)1f(x)又當 x0 時,f(x)10.xR 時,恒有 f(x)0.f(x2x1)1.(3)證明:設(shè) x1x2,則x2x10.f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1)x2x10,f(x2x1)1.又f(x1)0,f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x)是 R 上的增函數(shù)(4)解:由 f(x)f(2xx2)1,f(0)1
7、 得 f(3xx2)f(0)f(x)是 R 上的增函數(shù),3xx20.0 x3.x 的取值范圍是x|0 xx2,x1x20,則f(x1x2)1,f(x1)f(x2x1x2)f(x2)f(x1x2)f(x2),得到函數(shù) f(x)是增函數(shù)【互動探究】3對于函數(shù) f(x)定義域中任意的 x1,x2(x1x2),有如下結(jié)論:f(x1x2)f(x1)f(x2);f(x1x2)f(x1)f(x2);f(x1)f(x2)x1x20;f(x1)1x10(x10);f(x1)1.f(x1)當 f(x)2x 時,上述結(jié)論中正確的序號是_.答案:思想與方法 利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解答抽象函數(shù)例題:已知函數(shù) yf(x)是定
8、義在 R 上的奇函數(shù),且 y f為偶函數(shù),對于函數(shù) yf(x)有下列幾種描述:yf(x)是周期函數(shù);x是它的一條對稱軸;(,0)是其圖象的一個對稱中心;其中描述正確的是_(只填序號)2x當x 時,它一定取最大值2解析:已知函數(shù) yf(x)是定義在 R 上的奇函數(shù),且 y f 為偶函數(shù),不妨設(shè) f(x)sinx,顯然錯誤,顯然正確,而有可能不正確,因為函數(shù) f(x)sinx 也滿足條件,而不成立答案:2xf(x1x2)f(x1)f(x2),f(x1x2)f(x1)f(x2),f(x1x2)f(x1)f(x2)分別是正比例、對數(shù)、指數(shù)函數(shù)的抽象形式,解題時可以由具體函數(shù)的性質(zhì)知道我們思考的方式及解題的步驟,但不能用具體函數(shù)來代替抽象的解析式