高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章第八節(jié) 第三課時(shí) 定點(diǎn) 定值 探索性問題 文 湘教版

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1、第三課時(shí)定點(diǎn)、定值、探索性問題第三課時(shí)定點(diǎn)、定值、探索性問題解(1)如圖， 設(shè)動(dòng)圓圓心O1(x， y)， 由題意， |O1A|O1M|，當(dāng) O1不在 y 軸上時(shí)， 過 O1作 O1HMN 交 MN 于 H， 則 H是 MN 的中點(diǎn)，|O1M|x242，又|O1A|x42y2， x42y2x242，化簡得 y28x(x0)又當(dāng) O1在 y 軸上時(shí)，O1與 O 重合，點(diǎn) O1的坐標(biāo)(0,0)也滿足方程y28x，動(dòng)圓圓心的軌跡C 的方程為 y28x.思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥1設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用圓在設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用圓在y y軸上截得的弦長軸上截得的弦長構(gòu)建方程，得到圓心的軌跡方程構(gòu)建方程，得到圓心的軌跡方程

2、( (注意對(duì)圓心注意對(duì)圓心是否在是否在y y軸上進(jìn)行討論軸上進(jìn)行討論). ).(2)證明：如圖，由題意，設(shè)直線 l 的方程為 ykxb(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將 ykxb 代入 y28x 中，得 k2x2(2bk8)xb20，其中32kb640.由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1x282bkk2，x1x2b2k2，思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥2設(shè)出直線設(shè)出直線l l的方程，與曲線的方程，與曲線C C的方程聯(lián)立，得到的方程聯(lián)立，得到關(guān)于關(guān)于x x的方程，由根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根的的方程，由根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根的和與積，并利用和與積，并利用x x軸是角軸是角PBQPBQ的角平分線的性的角平分線的

3、性質(zhì)得到質(zhì)得到P,QP,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系式，進(jìn)而得到直線兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系式，進(jìn)而得到直線所過定點(diǎn)所過定點(diǎn). .針對(duì)訓(xùn)練針對(duì)訓(xùn)練 典例(2013江西高考)橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的離心率e32，ab3.思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥1由橢圓的離心率及條件由橢圓的離心率及條件a+b=3a+b=3構(gòu)建方程組，構(gòu)建方程組，解得解得a,ba,b即可即可. .解(1)因?yàn)?e32ca，所以 a23c，b13c.代入 ab3 得，c 3，a2，b1.故橢圓 C 的方程為x24y21.典例(2013江西高考)橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的離心率e32，ab3.(2)如圖，A，B，D 是橢圓 C 的頂點(diǎn)

4、，P 是橢圓 C 上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線 DP 交 x 軸于點(diǎn) N，直線 AD 交 BP 于點(diǎn) M，設(shè) BP 的斜率為 k，MN 的斜率為 m.證明：2mk 為定值思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥2運(yùn)用點(diǎn)斜式設(shè)出直線運(yùn)用點(diǎn)斜式設(shè)出直線BPBP的方程，代入橢圓方程中，的方程，代入橢圓方程中，求得點(diǎn)求得點(diǎn)P P的坐標(biāo)，同理求得點(diǎn)的坐標(biāo)，同理求得點(diǎn)M M的坐標(biāo)，然后由的坐標(biāo)，然后由D,P,D,P,N N三點(diǎn)共線得三點(diǎn)共線得N N的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)的斜率公式進(jìn)行化的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)的斜率公式進(jìn)行化簡即可證明簡即可證明. .解(2)證明：因?yàn)?B(2,0)，P 不為橢圓頂點(diǎn)，則直線BP 的方程為yk(x2)k0，k12

5、 ，把代入x24y21，解得 P8k224k21，4k4k21 .針對(duì)訓(xùn)練針對(duì)訓(xùn)練解(1)拋物線 y28x 的焦點(diǎn)為橢圓E 的頂點(diǎn)，即 a2.又ca12， 故 c1，b 3.橢圓 E 的方程為x24y231.思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥1由拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)得橢圓長半軸長由拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)得橢圓長半軸長a a，由離，由離心率求心率求b b，得到橢圓方程，得到橢圓方程. .典例(2013成都模擬)已知橢圓 E：x2a2y2b21(ab0)以拋物線 y28x 的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，且離心率為12.(2)若直線 l：ykxm 與橢圓 E 相交于 A，B 兩點(diǎn)，與直線 x4相交于 Q 點(diǎn)，P 是橢圓 E 上一點(diǎn)且滿足OP OA

6、 OB (其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn))，試問在 x 軸上是否存在一點(diǎn)T，使得OP TQ為定值？若存在，求出點(diǎn) T 的坐標(biāo)及OP TQ 的值；若不存在，請(qǐng)說明理由思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥2將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出向量系表示出向量OPOP的坐標(biāo)，再表示出向量的坐標(biāo)，再表示出向量TQTQ坐標(biāo)，坐標(biāo)，結(jié)合向量數(shù)量積為定值來確定點(diǎn)結(jié)合向量數(shù)量積為定值來確定點(diǎn)T T的坐標(biāo)的坐標(biāo). .解(2)設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)聯(lián)立ykxm，3x24y212.得(4k23)x28kmx4m2120.由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x28km4k23，y1y2k(x1x2)2m6m4k23.將 P8km4k23，6m4k23 代入橢圓 E 的方程，得64k2m244k23236m234k2321.整理，得 4m24k23.設(shè) T(t,0)，Q(4，m4k)