山東省陽(yáng)信縣第一實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 垂徑定理課件 新人教版

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1、24.2.1垂徑定理駛向勝利的彼岸2022-2-2問(wèn)題：?jiǎn)栴}：前面我們已探討過(guò)軸對(duì)稱(chēng)圖形，哪位同學(xué)前面我們已探討過(guò)軸對(duì)稱(chēng)圖形，哪位同學(xué)能敘述一下軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義能敘述一下軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義? ?我們是用我們是用什么方法研究軸對(duì)稱(chēng)圖形的什么方法研究軸對(duì)稱(chēng)圖形的? ? I創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課 駛向勝利的彼岸2022-2-2講授新課 圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎? 如果是，它的對(duì)稱(chēng)軸是什么? 你能找到多少條對(duì)稱(chēng)軸? 討論：你是用什么方法解決上述問(wèn)題的? 歸納：圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)軸是任歸納：圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)軸是任意一條過(guò)圓心的直線(xiàn)意一條過(guò)圓心的直線(xiàn)駛向勝利的彼岸（一）想一想（一）想

2、一想2022-2-2探索垂徑定理 1 1在一張紙上任意畫(huà)一個(gè)在一張紙上任意畫(huà)一個(gè)OO，沿圓周將圓剪下，把這個(gè)圓，沿圓周將圓剪下，把這個(gè)圓對(duì)折，使圓的兩半部分重合對(duì)折，使圓的兩半部分重合2 2得到一條折痕得到一條折痕CDCD3 3在在OO上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)A A，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A A作作CDCD折痕折痕 的垂線(xiàn)，得到新的折的垂線(xiàn)，得到新的折痕，其中，點(diǎn)痕，其中，點(diǎn)M M是兩條折痕的交點(diǎn)，即垂足是兩條折痕的交點(diǎn)，即垂足4 4將紙打開(kāi)，新的折痕與圓交于另一點(diǎn)將紙打開(kāi)，新的折痕與圓交于另一點(diǎn)B B，如圖，如圖. .問(wèn)題：（問(wèn)題：（1）右圖是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？右圖是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？如果是，其對(duì)稱(chēng)軸是什么？如果是

3、，其對(duì)稱(chēng)軸是什么？ （2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？ 說(shuō)一說(shuō)你的理由。說(shuō)一說(shuō)你的理由。駛向勝利的彼岸做一做：按下面的步驟做一做做一做：按下面的步驟做一做2022-2-2 歸納：總結(jié)得出總結(jié)得出垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。且平分弦所對(duì)的弧。駛向勝利的彼岸由由 CD是直徑是直徑 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.AM=BM,1.1.在半徑為在半徑為3030的的OO中，弦中，弦AB=36AB=36，則，則O O到到ABAB的距離是的距離是= = 。 OABP24mm注意：解決有關(guān)弦的問(wèn)題，過(guò)圓心

4、作注意：解決有關(guān)弦的問(wèn)題，過(guò)圓心作弦的垂線(xiàn)，或作垂直于弦的直徑，也弦的垂線(xiàn)，或作垂直于弦的直徑，也是一種常用輔助線(xiàn)的添法是一種常用輔助線(xiàn)的添法2022-2-2 例例1如右圖所示，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是如右圖所示，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧一段圓弧(即圖中即圖中CD，點(diǎn)，點(diǎn)O是是CD的圓心的圓心)，其中其中CD=600m，E為為CD上一點(diǎn)，且上一點(diǎn)，且OECD，垂足為，垂足為F，EF=90 m求這段彎求這段彎路的半徑路的半徑 分析分析 要求彎路的半徑，連接要求彎路的半徑，連接OCOC，只要求出，只要求出OCOC的長(zhǎng)便可以了的長(zhǎng)便可以了. .因?yàn)橐阎驗(yàn)橐阎狾ECDOECD，所以，所以CFCFCDCD

5、300 cm300 cm，OFOFOE-EFOE-EF，此時(shí)得到了一個(gè)此時(shí)得到了一個(gè)RtRtCFOCFO, ,利用勾股定理便可列出方程利用勾股定理便可列出方程. .例題講解駛向勝利的彼岸例題講解例2如圖， O直徑AB和弦CD相交于點(diǎn)E，AE=2，EB=6，DEB=30，求弦CD長(zhǎng)15 B A C E D O過(guò)O作OFCD于F，AE=2，EB=6，OE=2，EF=，OF=1，連結(jié)OD，在RtODF中，42=12+DF2，DF= ，CD=2 15探索垂徑定理的逆定理 1.想一想：如下圖示，想一想：如下圖示，AB是是 O的弦的弦(不是直徑不是直徑)，作一條平，作一條平分分AB的直徑的直徑CD，交，交

6、AB于點(diǎn)于點(diǎn)M 同學(xué)們利用圓紙片動(dòng)手做一做，然后回答：（同學(xué)們利用圓紙片動(dòng)手做一做，然后回答：（1）此圖是軸）此圖是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎對(duì)稱(chēng)圖形嗎?如果是，其對(duì)稱(chēng)軸是什么如果是，其對(duì)稱(chēng)軸是什么?（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？說(shuō)一說(shuō)你的理由。有哪些等量關(guān)系？說(shuō)一說(shuō)你的理由。駛向勝利的彼岸n由由 CD是直徑是直徑 AM=BM可推得可推得 AC=BC,CDAB,AD=BD.平分弦（平分弦（）的直徑垂直于弦）的直徑垂直于弦,并且平并且平 分弦所對(duì)的兩條弧分弦所對(duì)的兩條弧.n你可以寫(xiě)出相應(yīng)的命題嗎你可以寫(xiě)出相應(yīng)的命題嗎?n相信自己是最棒的相信自己是最棒的!知知“二二”推推“三三” 如圖如圖,在

7、下列五個(gè)條件中在下列五個(gè)條件中:只要具備其中兩個(gè)條件只要具備其中兩個(gè)條件,就可推出其余三個(gè)結(jié)論就可推出其余三個(gè)結(jié)論. 想一想想一想OABCDM 過(guò)圓心的直線(xiàn)過(guò)圓心的直線(xiàn), AM=BM, CDAB, AC=BC,AD=BD.垂徑定理及逆定理垂徑定理及逆定理 想一想想一想OABCDM條件結(jié)論命題垂直于弦的直徑平分弦垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧并且平分弦所的兩條弧.平分弦平分弦(不是直徑不是直徑)的直徑垂直于弦的直徑垂直于弦,并且平并且平 分弦所對(duì)的兩條弧分弦所對(duì)的兩條弧.平分弦所對(duì)的一條弧的直徑平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的并且平分弦所對(duì)的另一條弧另

8、一條弧.弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心,并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧. 垂直于弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心垂直于弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心,并且平并且平分弦和所對(duì)的另一條弧分弦和所對(duì)的另一條弧.平分弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心平分弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧并且平分弦所對(duì)的另一條弧.平分弦所對(duì)的兩條弧的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心平分弦所對(duì)的兩條弧的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我垂徑定理的推論垂徑定理的推論 如果圓的兩條弦互相平行如果圓的兩條弦互相平行,那么

9、這兩條弦所夾的弧相那么這兩條弦所夾的弧相等嗎等嗎? 老師提示老師提示: 這兩條弦在圓中位置有兩種情況這兩條弦在圓中位置有兩種情況:練練 習(xí)習(xí)OABCD1.兩條弦在圓心的同側(cè)兩條弦在圓心的同側(cè)OABCD2.兩條弦在圓心的兩側(cè)兩條弦在圓心的兩側(cè)垂徑定理的推論垂徑定理的推論 圓的兩條平行弦所夾的弧相等圓的兩條平行弦所夾的弧相等.作業(yè)課本87頁(yè)習(xí)題1.8.10題做在本子上每課必練34頁(yè)第二課時(shí)應(yīng)用 憶一憶憶一憶 垂徑定理垂徑定理垂直于弦的直徑平分弦垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧并且平分弦所的兩條弧. 垂徑定理的逆定理垂徑定理的逆定理平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦平分弦（不是直徑）的直徑垂

10、直于弦,并且平并且平 分弦所對(duì)的兩條分弦所對(duì)的兩條弧弧.垂徑定理的推論垂徑定理的推論 圓的兩條平行弦所夾的弧相等圓的兩條平行弦所夾的弧相等.趙州趙州石拱橋石拱橋 例例1.1300多年前多年前,我國(guó)隋朝建造的趙州石拱橋我國(guó)隋朝建造的趙州石拱橋(如圖如圖)的橋拱的橋拱是圓弧形是圓弧形,它的跨度它的跨度(弧所對(duì)是弦的長(zhǎng)弧所對(duì)是弦的長(zhǎng))為為 37.4 m,拱高拱高(弧的中弧的中點(diǎn)到弦的距離點(diǎn)到弦的距離,也叫弓形高也叫弓形高)為為7.2m,求橋拱的半徑求橋拱的半徑(精確到精確到0.1m).RDOABC37.4m7.2m船能過(guò)拱橋嗎船能過(guò)拱橋嗎 變形題：變形題： 如圖如圖,某地有一圓弧形拱橋某地有一圓弧形

11、拱橋,橋下水面寬為橋下水面寬為7.2米米,拱頂高出拱頂高出水面水面2.4米米.現(xiàn)有一艘寬現(xiàn)有一艘寬3米、船艙頂部為長(zhǎng)方形并高出水米、船艙頂部為長(zhǎng)方形并高出水面面2米的貨船要經(jīng)過(guò)這里米的貨船要經(jīng)過(guò)這里,此貨船能順利通過(guò)這座拱橋嗎？此貨船能順利通過(guò)這座拱橋嗎？ 解解:如圖如圖,用用 表示橋拱表示橋拱, 所在圓的圓心為所在圓的圓心為O,半徑為半徑為Rm,經(jīng)過(guò)圓心經(jīng)過(guò)圓心O作弦作弦AB的垂線(xiàn)的垂線(xiàn)OD,D為垂足為垂足,與與 相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)C.根根據(jù)垂徑定理?yè)?jù)垂徑定理,D是是AB的中點(diǎn)的中點(diǎn),C是是 的中點(diǎn)的中點(diǎn),CD就是拱高就是拱高.由題設(shè)得由題設(shè)得ABABABAB. 5 . 121, 4 . 2,

12、 2 . 7MNHNCDABABAD21, 6 . 32 . 721DCOCOD. 4 . 2 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)4 . 2(6 . 3222RR即解得解得 R3.9（m）.在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,22HNONOH. 6 . 35 . 19 . 322OH即. 21 . 25 . 16 . 3DH此貨船能順利通過(guò)這座拱橋此貨船能順利通過(guò)這座拱橋.OD=R-2.4=3.9-2.4=1.5DH=OH-OD練一練練一練 在直徑為在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所

13、示如圖所示.若油面寬若油面寬AB = 600mm，求油的最大深度，求油的最大深度. BAOED 600變形題變形題 在直徑為在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示圖所示.若油面寬若油面寬AB = 600mm，求油的最大深度，求油的最大深度. BAO600 650DC方法規(guī)律方法規(guī)律 想一想想一想 EOABDC已知：如圖，直徑已知：如圖，直徑CDAB，垂足為，垂足為E .若半徑若半徑R = 2 ，AB = , 求求OE、DE 的長(zhǎng)的長(zhǎng). 若半徑若半徑R = 2 ，OE = 1 ，求，求AB、DE 的長(zhǎng)的長(zhǎng).32由由 、兩題的啟發(fā)，你能總結(jié)出什

14、么規(guī)律嗎？?jī)深}的啟發(fā)，你能總結(jié)出什么規(guī)律嗎？方法總結(jié)方法總結(jié)n 對(duì)于一個(gè)圓中的弦長(zhǎng)對(duì)于一個(gè)圓中的弦長(zhǎng)a、圓心到弦的距離、圓心到弦的距離d、圓半、圓半徑徑r、弓形高、弓形高h(yuǎn)，這四個(gè)量中，只要已知其中任意兩，這四個(gè)量中，只要已知其中任意兩個(gè)量，就可以求出另外兩個(gè)量，如圖有：個(gè)量，就可以求出另外兩個(gè)量，如圖有：d + h = r222)2(adrhda2O試一試試一試駛向勝利的彼岸挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我填一填填一填 1、判斷：、判斷： 垂直于弦的直線(xiàn)平分這條弦垂直于弦的直線(xiàn)平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的兩并且平分弦所對(duì)的兩條弧條弧. （ ） 平分弦所對(duì)的一條弧的直徑一定平分這條弦所對(duì)的平分弦所對(duì)的一條弧的

15、直徑一定平分這條弦所對(duì)的另一條弧另一條弧. （ ） 經(jīng)過(guò)弦的中點(diǎn)的直徑一定垂直于弦經(jīng)過(guò)弦的中點(diǎn)的直徑一定垂直于弦.（ ） 圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行. （ ） 弦的垂直平分線(xiàn)一定平分這條弦所對(duì)的弧弦的垂直平分線(xiàn)一定平分這條弦所對(duì)的弧. （ ）2：如圖，已知圓：如圖，已知圓O的直徑的直徑AB與與 弦弦CD相交于相交于G，AECD于于E， BFCD于于F，且圓，且圓O的半徑為的半徑為 10，CD=16 ，求，求AE-BF的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。3:如圖，如圖，CD為圓為圓O的直徑，弦的直徑，弦AB交交CD于于E， CEB=30，DE=9，CE=3，求弦，求弦A

16、B的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。GEFAOBCDEDOCAB小小 結(jié)結(jié)直徑平分弦直徑平分弦 直徑垂直于弦直徑垂直于弦=直徑平分弦所對(duì)的弧直徑平分弦所對(duì)的弧 直徑垂直于弦直徑垂直于弦 直徑平分弦（不是直徑）直徑平分弦（不是直徑）直徑平分弦所對(duì)的弧直徑平分弦所對(duì)的弧 直徑平分弧所對(duì)的弦直徑平分弧所對(duì)的弦 直徑平分弧直徑平分弧 直徑垂直于弧所對(duì)的弦直徑垂直于弧所對(duì)的弦垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決弦長(zhǎng)、半徑、弦垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等計(jì)算問(wèn)題心距等計(jì)算問(wèn)題=、圓的軸對(duì)稱(chēng)性、圓的軸對(duì)稱(chēng)性、垂徑定理及其逆定理的圖式作業(yè) 1.課本88頁(yè)9.13.14題做在本子上 2.每課必練