高中數(shù)學第1輪 第10章第56講 直線與平面垂直課件 文 新課標 （江蘇專版）

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1、用定義或判定定理用定義或判定定理證明線面垂直證明線面垂直 【例1】如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中點證明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE； 【證明】(1)在四棱錐PABCD中，因為PA底面ABCD，CD平面ABCD，故PACD.又因為ACCD，PAACA，所以CD平面PAC.而AE平面PAC，所以CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，得ABC是等邊三角形，故ACPA.因為E是PC的中點，所以AEPC.由(1)知，AECD，且PCCDC，所以AE平面PCD.而PD平面PCD，所以AEPD.又因為PA底面ABCD，

2、所以PAAB.由已知得ABAD，且PAADA，所以AB平面PAD.又PD平面PAD，所以ABPD.因為ABAEA，所以PD平面ABE. 本題考查直線與直線垂直、直線與平面垂直等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力立體幾何的證明關鍵是學會分析和掌握一些常規(guī)的證明方法如：已知中點證明垂直時要首先考慮等腰三角形中的“三線合一”；已知線段或角度等數(shù)量關系較多時最好標示出來，充分進行計算，從而發(fā)現(xiàn)蘊含的垂直等關系；已知線面垂直時會有哪些結論，是選擇線線垂直還是選擇面面垂直；要證明結論或要得到哪個結論，就必須滿足什么條件等 【變式練習1】如圖，E，F(xiàn)分別為直角三角形ABC的直角邊AC和斜邊AB的中點，

3、沿EF將AEF折起到A1EF的位置，連結A1B，A1C.求證：(1)EF平面A1EC；(2)AA1平面A1BC. 1111111111111111/ /12.EFACABEFBCACBCEFECEFAEAECEEAEAECCEAECEFAECACMEMEACEMAAAECEEMACAAACEFAECA AAECAAEFEFBC因為 ， 分別為和的中點，所以，因為，所以，又 ，平面，平面，所以平面取的中點，連結，又因為 為的中點，所以，所以，所以，又因為平面，平面，所以【證明，又】，所以1111.AABCACBCCAAABC，又 ，所以平面用線面垂直的性質(zhì)用線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直定理證明

4、線線垂直 111111920136.ABCABCACBCBCACCMCCABAM已知在直三棱柱中， ，是的中點，求證：【例 】【證明】如圖，ACB90，所以BCAC.又在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，所以BCCC1.而ACCC1C，所以BC平面AA1C1C，所以BCAM.連結A1C.可以證明RtACMRtAA1C，所以AMA1C.而A1CBCC，所以AM平面A1BC，所以A1BAM. 證明線線垂直常構造一個平面經(jīng)過一條直線與另一條直線垂直，從而達到由線面垂直證明線線垂直的目的 111111111626012?ABCDABC DAAABCDABABCPBBD PACACBDOB

5、 PPBPOD AC【變式練如圖，直四棱柱中，側棱，底面是菱形， ， 為側棱上的動點求證：；設 ，求當?shù)扔诙嗌贂r，平面習2】 11111111111.1.ABCDACBDB DD DABCDACD DBDD DDACBB D DD PBB D DD PAC證明：因為為菱形，所以連結因為底面，所以又 ，所以平面因為平所以析，】面【解 11111111111.60236322362902B PPOD ACPBDOABCDOACBDPAPCOAOCPOACABCABABCBODOD DOBD DBBDOBPD DOOBPDODPOBPODODOACO當 時，平面證明：連結，因為底面是菱形，所以 是，

6、的中點，因為，所以，又因為， ，所以是等邊三角形，在矩形中，有，所以，所以，所以，又 ，所以1.POD AC 平面通過計算證明線通過計算證明線線垂直線垂直 【例3】如 圖 ， 在 正 方 體 A B C D A1B1C1D1中，E是BB1的中點，O是底面正方形ABCD的中心求證：OE平面ACD1. 11111122112212222211111111111.623232.AECEDOD BD EDBaAECEAOOCOEACDBDODDDOaOEBEOBaD ED BB EaDOOED EDOOEDOACODOACACDOEACD如圖，連結，設正方體的棱長為 易證又因為，所以在正方體中易求出：

7、，所以，所以因為 ，平面，所以平面【證明】 要證線面垂直可找線線垂直，這是幾何中證明線面垂直時常用的方法，在證明線線垂直時，要注意從數(shù)量關系方面找垂直，如利用勾股定理等 【變式練習3】直棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，BADADC90，AB2AD2CD2.求證：AC平面BB1C1C. 111111111111.902222452.ABCDABC DBBABCDBBACBADADCABADCDACCABBCBCACBBBCBBBBCBBCCACBBCC直棱柱中，平面，所以又因為， ，所以，所以，所以而 ，平面所以平面【證明】1.有下列四個命題：若一條直線垂直于一個平面內(nèi)無

8、數(shù)條直線，則這條直線與這個平面互相垂直；若兩條直線互相垂直，其中一條垂直于一個平面，則另一條直線與該平面平行；若兩條直線同時垂直于同一個平面，則這兩條直線互相平行；若一條直線和一個平面不垂直，則這個平面內(nèi)不存在與該條直線垂直的直線其中錯誤的命題是_. 2.在正方體ABCDA1B1C1D1中，棱長為2，M是AD1上任意一點，M到平面BCB1的距離是_. 23.如圖，在正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2，G2G3的中點，D是EF的中點，現(xiàn)沿SE，SF及EF把這個正方形折成一個幾何體，使G1，G2，G3三點重合于點G，這樣，下列五個結論：SG平面EFG；SD平面EFG；GF平面SEF；EF

9、平面GSD；GD平面SEF.其中正確的是_. 5.如圖，已知PA矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(1)求證：MNCD；(2)若PDA45，求證：MN平面PCD. 【證明】(1)連結AC，取其中點O，連結NO、MO，并延長MO交CD于R.因為N為PC的中點，所以NO為PAC的中位線，所以NOPA.而PA平面ABCD，所以NO平面ABCD，所以NOCD.又四邊形ABCD是矩形，M為AB的中點，O為AC的中點，所以MOCD.而MONOO，所以CD平面MNO，所以CDMN.(2)連結NR，則NRMPDA45.又O為MR的中點，且NOMR，所以MNR為等腰三角形且NRMNMR45，所以

10、MNR90，所以MNNR.又MNCD，且NRCDR，所以MN平面PCD. 1在線面垂直的定義中，一定要弄清楚“任意”與“無數(shù)”這兩個術語 內(nèi) 涵 的 差 異 ， 后 者 存 在 于 前 者中“任意”的理解最終轉化為“兩條相交直線”，證明時此條件不可缺少 2/ / /.ababbaabaaa判定線面垂直的方法，主要有五種：利用定義；利用判定定理；結合線線平行：若，則；面面垂直的性質(zhì)：若， ，則；面面平行的性質(zhì)：若，則 3面面垂直的性質(zhì)的理解中三個條件也不可缺少，即：兩個平面垂直；其中一個平面內(nèi)的直線；垂直于交線所以無論何時見到已知兩個平面垂直，都要首先找其交線，看是否存在直線垂直于交線來決定是否該作輔助線，這樣就能目標明確，事半功倍