高中數(shù)學二輪總復習 專題8第26講 數(shù)形結(jié)合思想課件 理 新課標（湖南專用）

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1、專題一 函數(shù)與導數(shù)專題八 數(shù)學思想與方法1數(shù)學研究的對象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，即“數(shù)”與“形”兩個方面“數(shù)”與“形”兩者之間并非是孤立的，而是有著密切的聯(lián)系在一維空間，實數(shù)與數(shù)軸上的點建立了一一對應的關(guān)系在二維空間，實數(shù)對與坐標平面上的點建立了一一對應的關(guān)系，進而可以使函數(shù)解析式與函數(shù)圖象、方程與曲線建立起一一對應的關(guān)系，使數(shù)量關(guān)系的研究可以轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究這種解決數(shù)學問題過程中“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化的研究策略，即是數(shù)形結(jié)合的思想 2321數(shù)形結(jié)合的主要解題方式有：數(shù)轉(zhuǎn)化為形，即根據(jù)所給出的“數(shù)”的特點，構(gòu)造符合條件的幾何圖形，用幾何方法去解決形轉(zhuǎn)化為數(shù)，即根據(jù)題目特點，用代數(shù)方法去研究幾

2、何問題數(shù)形結(jié)合，即用數(shù)研究形，用形研究數(shù)，相互結(jié)合，使問題變得簡捷、直觀、明了數(shù)形結(jié)合的思想在每年的高考中都有所體現(xiàn)，尤其是某些選擇題、填空題，數(shù)形結(jié)合非常有效 063033446()A.B.C.1“”“”D.一水池有兩個進水口，一個出水口，每個水口的進、出水速度如圖甲、乙所示某天 點到 點，該水池的蓄水量如圖丙所示給出以下 個論斷： 點到 點只進水不出水； 點到 點只出水不進水； 點到 點不進水不出水，則一、由 形 到 數(shù) 的轉(zhuǎn)化例1一定正確的是 (0)(0)0()A.3,00,3 B.(3)0,3 C.(3)(3)2D.3,0(3)fxfxx fxfx 函數(shù)的圖象如圖所示，為奇函數(shù)，其定義

3、域為，則不等式的解集是 ， 0334.46020.00300003.1A.A.2 xfxfxxfxxfxxxfxx由甲、乙圖知：進水速度比出水速度要快，所以 點到 點只進水不出水， 點到 點也可能進水，但總畜水量降低 點到 點也可能進、出水量相當，一定正確的是，即當時，則，由圖象知；當時，則，由解圖象故知析：選故選在題設情境為圖象時，常需進行“形”向“數(shù)”的轉(zhuǎn)化、即將形所含的信息轉(zhuǎn)化為數(shù)和式的表達式或關(guān)系式，然后推【評】理求解點 1220,1log11,2()A0B0C0D0230330102021(fxfxxfxxfxfxfxfxfxxyxyxyyzaxya R定義在 上的函數(shù)，既是奇函數(shù)又

4、是周期函數(shù)，若的最小正周期為 ，且當時，則在區(qū)間上是 增函數(shù)且增函數(shù)且二、減函數(shù)且減函數(shù)且已知變量 、 滿足約束條由“數(shù)”到“形”件，若目標函數(shù)的其中轉(zhuǎn)化例)3,0_a僅在點處取得最大值，則 的取值范圍為 0,101,0021,202303111,0B.222fxfxfxfxfxfxfxfxaaxya 由已知易知，在上單調(diào)遞增，且 ，又為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且 ，由于是周期為 的周期函數(shù)，由周期函數(shù)的圖象特征知，在上單調(diào)遞增，且，作出可行域如圖中陰影部分因為 是目標函數(shù)的等值線的斜率的相反數(shù)，由圖可知此斜率小于直線的斜率時，目標函數(shù)僅在點取選項 正確解析：所以，大即值，得最問題涉及與周期函數(shù)

5、、函數(shù)的零點、三角函數(shù)、不等式、線性規(guī)劃、解析幾何等有關(guān)的含參變量綜合問題時，利用數(shù)形結(jié)合思想與方法探究“即快【點評】又準” 22221111111233213101,0()41.2123xyabFabMNMNlxMNeFMMFM NFNNSSSMNkSS S過橢圓的右焦點的直線 長軸除外 與橢圓相交于、兩點，自、向直線 ：作垂線，垂足分別為、，若橢圓的離心率求此橢圓的方程；記、的面積分別為 、，不論直線的斜率 取任意非零實數(shù)，是否存在實數(shù) ，都有成立？若存在，求出三、的值數(shù)形結(jié)合綜合應用；若不存例在，說明理由 22211221112112222222211232()()(4)(4)11113

6、412(34)61.412390cceabacaM xyN xyMyNyxmyxmyMNxmyxmyxyxmymyxy由已知半焦距，又，則，從而，可得橢圓方程為如圖，設，直線則，的方程為，聯(lián)立方程組，消去 得解析：，1221221311221212222634.934114422133481(1)(34)myymy ymS Sxyxymymyy ymm則因為，2222121212222221319(3)424324(1)(34)4.4Syyyyy ymmSS S，所以有，即存在這樣的 1232“”SSS本題由高考題改編而成，第問在轉(zhuǎn)化 、 、 時，恰當運用數(shù)形結(jié)合的方法，將其表示為點的縱坐標的

7、關(guān)系式，從而使問題推算簡單，充分說明在求解有關(guān)解析幾何問題時，數(shù)形結(jié)合給解題帶【點評來的 便利】 0002ln123.2(11 )21e4pfxpxxxpfxffxpeg xxxfxg xp已知函數(shù)若，求曲線在點 ，處的切線方程；若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實數(shù)的取值范圍；設函數(shù)，若在 ， 上至少存在一點 ，使得成立，求實數(shù) 的例取值范圍 22222222ln221222ln102(11 )12222.(11 )02122.1222.pf xxxxffxxxf xfff xfyxppxxpfxypxxxx當時，函數(shù)，曲線在點 ，處的切線的斜率為從而曲線在點 ，處的切線方程為解，即析： 22

8、min12(0)0(0)021(0)11)0100(0)h xpxxpf xh xph xpxxpxph xppppph xfxf xp令，要使在定義域 ，內(nèi)是增函數(shù)，只需在 ，內(nèi)恒成立由題意，的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸方程為，所以，只需，即時，所以在 ，內(nèi)為增函數(shù)，正實數(shù) 的取值，范圍是 minmax2221ee212e2,2e021001e021e3200eg xxxg xxg xg xph xpxxpxyphf xxph xxxxh xfxx 因為在 ， 上是減函數(shù)，所以時，；時，即，當時，其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸在 軸的左側(cè)，且，所以在， 內(nèi)是減函數(shù)當時，因為， ，所以，

9、 max1e01e1021011e011()2ln2ln .211e1112lne2lnee22f xxpf xf xfpxxxf xp xxxxxxpf xxxxee此時，在， 內(nèi)是減函數(shù)故當時，在 ， 上單調(diào)遞減，不合題意；當時，由，所以又由知當時，在 ， 上是增函數(shù)，所以，不合題意； maxminmaxm n2i2121e1021e1e1e(e)2lne214(e)2lne214()1pf xfg xf xg xxf xfpg xeeppeeeep當時，由知在 ， 上是增函數(shù)，又在 ， 上是減函數(shù)，故只需， ，而，即，解得，所以實數(shù)，的取值范圍是 0ln()00152f xxf xxax

10、 af xxf xaRRR已知定義域為 的偶函數(shù)，當時，方程在 上恰有 個不同的實數(shù)解求時，函數(shù)的解析式；備選求實數(shù) 的題 取值范圍 0ln120.f xfxxxf xfaxxx設，則因為為偶函數(shù)，所以【解因為為析】偶函數(shù)， 00055000ln0ln10.lnf xxf xxf xxxf xyxyaxayxyaxayx所以的根關(guān)于對稱由恰有 個不同的實數(shù)解知，個實根中有兩個正根，兩個負根，一個零根，且兩個正根和兩個負根互為相反數(shù)，所以原命題可轉(zhuǎn)化為：當時，的圖象與 軸恰有兩個不同的交點下面研究時的情況：的零點個數(shù)與直線交點的個數(shù)所以當時，遞增，直線下降，故交點的個數(shù)為 ，不合題意，所以由幾何

11、意義知2yax與直線交點的個數(shù)為 時，ln1(ln )ln|1ln111(0)ln1ex tyaxxyxttkxtytxttyaxatttaeae 直線的變化應是從 軸到與相切之間的情形設切點 ，所以切線方程為由切線與重合知，故實數(shù) 的取值，范圍為數(shù)形結(jié)合的原則：(1)等價性原則 在數(shù)形結(jié)合時，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價的，否則解題將會出現(xiàn)漏洞有時，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明，但它同時也是抽象而嚴格證明的向?qū)?2)雙向性原則 在數(shù)形結(jié)合時，既要進行幾何直觀的分析，又要進行代數(shù)抽象的探索，兩方面相輔相成，僅對代數(shù)問題進行幾何分析(或僅對幾何問題進行代數(shù)分析)在許多時候是很難行得通的例如：在解析幾何中，我們主要是運用代數(shù)的方法來研究幾何問題，但是在許多時候，若能充分地挖掘利用圖形的幾何特征，將會使得復雜的問題簡單化 (3)簡單性原則 就是找到解題思路之后，至于是用幾何方法還是用代數(shù)方法或者兼用兩種方法來敘述解題過程，則取決于哪種方法更為簡單，而不是去刻意追求代數(shù)問題運用幾何方法，幾何問題尋找代數(shù)方法