高中數學 212 求曲線的方程課件 新人教A版選修21

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1、第二章第二章圓錐曲線與方程圓錐曲線與方程 2.12.1曲線與方程曲線與方程2 21.21.2求曲線的方程求曲線的方程 1.掌握求曲線方程的方法步驟 2了解解析法的思想，體驗用坐標法研究幾何問題的方法與過程 3培養(yǎng)數形結合的能力. 新 知 視 界 1坐標法與解析幾何 借助于坐標系，用坐標表示點，把曲線看成滿足某種條件的點的集合或軌跡，用曲線上點的坐標(x，y)所滿足的方程f(x，y)0表示曲線，通過研究方程的性質間接地來研究曲線的性質，這就是坐標法數學中，用坐標法研究幾何圖形的知識形成的學科叫做解析幾何 2平面解析幾何研究的主要問題是： (1)根據已知條件，求出表示平面曲線的方程； (2)通過方

2、程，研究平面曲線的性質 3求曲線(圖形)的方程，有下面幾個步驟： (1)建立適當的坐標系，用有序實數對(x，y)表示曲線上任意一點的坐標； (2)寫出適合條件的點的集合； (3)用坐標表示條件，列出方程f(x，y)0； (4)化簡方程f(x，y)0； (5)說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上 一般地，步驟(5)可以省略不寫，如有特殊情況，可以適當說明另外也可以省略(2)，直接列出曲線方程 嘗 試 應 用 1動點P到點(1，2)的距離為3，則動點P的軌跡方程為() A(x1)2(y2)29 B(x1)2(y2)29 C(x1)2(y2)23 D(x1)2(y2)23 解析：由題意知，點P

3、的軌跡滿足圓的定義，圓心為(1，2)，半徑為3，所以方程為(x1)2(y2)29. 答案：B 2已知在直角坐標系中一點A(3,1)，一條直線l：x1，平面內一動點P，點P到點A的距離與到直線l的距離相等，則點P的軌跡方程是() A(y1)28(x1) B(y1)28(x1) C(y1)28(x1) D(y1)28(x1) 解析：設點P的坐標為(x，y)，則(x3)2(y1)2(x1)2，化簡整理，得(y1)28(x1)，故應選D. 答案：D 3ABC的頂點坐標分別為A(4，3)，B(2，1)，C(5,7)，則AB邊上的中線的方程為_ 答案：3x2y10(1x5) 4到A(2，3)和B(4，1)

4、的距離相等的點的軌跡方程是_ 解析：動點的軌跡是線段AB的垂直平分線 答案：xy10 5動點P在曲線y2x21上運動，求點P與定點(0，1)連線的中點M的軌跡方程 典 例 精 析 類型一直接法求曲線方程 例1ABC的頂點A固定，角A的對邊BC的長是2a，邊BC上的高的長是b，邊BC沿一條定直線移動，求ABC外心的軌跡方程 分析首先建立直角坐標系，因BC在一條定直線上移動，故可選此定直線為x軸，過A點且垂直于x軸的直線為y軸另外，外心到三角形三個頂點的距離相等，利用這個等量關系就可以得出ABC外心的軌跡方程 解如圖1，以BC所在的定直線為x軸，以過A點與x軸垂直的直線為y軸，建立直角坐標系，則A

5、點的坐標為(0，b)設ABC的外心為M(x，y)，作MNBC于N，則直線MN是BC的垂直平分線 點評(1)解本題的關鍵是建立適當的直角坐標系，充分利用三角形外心的性質易錯處是用|BM|CM|列方程，而化簡后會發(fā)現得到的是一個恒等式原因是在求|BM|的長時已利用了|BM|CM|這個等量關系(2)對于本題，在建立直角坐標系時，也可以把BC邊所在的定直線作為y軸，過A點與定直線垂直的直線作為x軸，此時方程將有所變化 遷移體驗1一個動點到直線x8的距離是它到點A(2,0)的距離的2倍，求該動點的軌跡方程 類型二定義法求曲線方程 例2已知圓C：x2(y3)29，過原點作圓C的弦OP，求OP中點Q的軌跡方

6、程 分析關鍵是尋找Q點滿足的幾何條件可以考慮圓的幾何性質，如CQOP，還可考慮Q是OP的中點 遷移體驗2定長為6的線段，其端點A、B分別在x軸、y軸上移動，線段AB的中點為M，求M點的軌跡方程 類型三相關點法求曲線方程 例3已知ABC的兩頂點A、B的坐標分別為A(0,0)、B(6,0)，頂點C在曲線yx23上運動，求ABC重心的軌跡方程 分析由重心坐標公式，可知ABC的重心坐標可以由A、B、C三點的坐標表示出來，而A、B是定點，且C在曲線yx23上運動，故重心與C相關聯(lián)因此，設出重心與C點坐標，找出它們之間的關系，代入曲線方程yx23即可 點評(1)本例是求軌跡方程中的常見題型，難度適中本題解

7、法稱為代入法(或相關點法)，此法適用于已知一動點的軌跡方程，求另一動點的軌跡方程的問題 (2)應注意的是，本例中曲線yx23上沒有與A、B共線的點，因此，整理方程就得到軌跡方程；若曲線方程為yx23，則應去掉與A、B共線時所對應的重心坐標 類型四求曲線方程的綜合應用 例4在平面直角坐標系中，A(a,0)，B(a,0)，|PA|PB|，其中a0且0.求動點P的軌跡方程，并說明軌跡的類型 遷移體驗4已知sin，cos是方程x2axb0的兩根，求P(a，b)的軌跡方程 思 悟 升 華 1求曲線方程中應注意的問題 求曲線方程時，(1)在第一步中，如果原題中沒有確定坐標系，首先選取適當的坐標系，通常選取

8、特殊位置為原點，相互垂直的直線為坐標軸建立適當的坐標系，會給運算帶來方便 (2)第二步是求方程的重要一環(huán)，要仔細分析曲線的特征，注意揭示隱含條件，抓住與曲線上任意一點M有關的等量關系，列出幾何等式，此步驟也可以省略，而直接將幾何條件用動點的坐標表示 (3)在化簡的過程中，注意運算的合理性與準確性，盡量避免“失解”或“增解” (4)第五步的說明可以省略不寫，若有特殊情況，可以適當說明，如某些點雖然其坐標滿足方程，但不在曲線上，可以通過限定方程x(或y)的取值予以剔除 2求曲線方程的常用方法 (1)直接法：建立適當的坐標系后，設動點為(x，y)，根據幾何條件尋求x，y之間的關系式 (2)定義法：如果所給幾何條件正好符合圓等曲線的定義，則可直接利用這些已知曲線的方程寫出動點的軌跡方程 (3)相關點法：利用所求曲線上的動點與某一已知曲線上的動點的關系，把所求動點轉換為已知動點具體地說，就是用所求動點的坐標(x，y)來表示已知動點的坐標，并代入已知動點滿足的曲線的方程，由此即可求得動點坐標(x，y)所滿足的關系