江蘇省蘇州市第五中學(xué)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第3講 直接證明與間接證明課件

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1、第第3講直接證明與間接證明講直接證明與間接證明 知 識(shí) 梳 理 1直接證明(1)綜合法定義:從命題的條件出發(fā),利用 ,通過演繹推理,一步一步地接近要證明的結(jié)論,直到完成命題的證明這樣的思維方法稱為綜合法(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示要證的結(jié)論)定義、公理、定理及運(yùn)算法則 (3)分析法定義:從求證的結(jié)論出發(fā),一步一步地探索 ,直到歸結(jié)為這個(gè)命題的條件,或者歸結(jié)為定義、公理、定理等這樣的思維方法稱為分析法保證前一個(gè)結(jié)論成立的 充分條件 2間接證明(1)反證法定義:在證明數(shù)學(xué)命題時(shí),要證明的結(jié)論要么正確,要么錯(cuò)誤,二者必居其一我們可以先假定命題結(jié)論的反面成立,在這個(gè)前提下,若

2、推出的結(jié)果與定義、公理、定理相矛盾,或與命題中的已知條件相矛盾,或與假定相矛盾,從而說明命題結(jié)論的反面不可能成立,由此斷定命題的結(jié)論成立這種證明方法叫作反證法(2)反證法的證題步驟是:作出否定結(jié)論的假設(shè);進(jìn)行推理,導(dǎo)出矛盾;否定假設(shè),肯定結(jié)論辨 析 感 悟?qū)θN證明方法的認(rèn)識(shí)(1)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件()(2)反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定,推出矛盾()(3)在解決問題時(shí),常常用分析法尋找解題的思路與方法,再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程() 感悟提升兩點(diǎn)提醒一是分析法是“執(zhí)果索因”,特點(diǎn)是從“未知”看“需知”,逐步靠攏“已知”,其逐步推理,實(shí)際上是尋找使結(jié)論成

3、立的充分條件,如(1);二是應(yīng)用反證法證題時(shí)必須先否定結(jié)論,把結(jié)論的反面作為條件,且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推理,否則,僅否定結(jié)論,不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理,就不是反證法所謂矛盾主要指:與已知條件矛盾;與假設(shè)矛盾;與定義、公理、定理矛盾;與公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)矛盾;自相矛盾. 考點(diǎn)一綜合法的應(yīng)用 【例1】 (2013新課標(biāo)全國(guó)卷)設(shè)a,b,c均為正數(shù),且abc1,證明:規(guī)律方法 綜合法往往以分析法為基礎(chǔ),是分析法的逆過程,但更要注意從有關(guān)不等式的定理、結(jié)論或題設(shè)條件出發(fā),根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)證明.審題路線從結(jié)論出發(fā)觀察不等式兩邊的符號(hào)移項(xiàng)(把不等式兩邊都變?yōu)檎?xiàng))平方移項(xiàng)整理平方移項(xiàng)整理可得顯然成立的

4、結(jié)論規(guī)律方法 (1)逆向思考是用分析法證題的主要思想,通過反推,逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵(2)證明較復(fù)雜的問題時(shí),可以采用兩頭湊的辦法,即通過分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)(或充分)的中間結(jié)論,然后通過綜合法證明這個(gè)中間結(jié)論,從而使原命題得證 證明m0,1m0.所以要證原不等式成立, 只需證(amb)2(1m)(a2mb2) 即證m(a22abb2)0, 即證(ab)20,而(ab)20顯然成立,故原不等式得證規(guī)律方法 用反證法證明不等式要把握三點(diǎn):(1)必須先否定結(jié)論,即肯定結(jié)論的反面;(2)必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理,即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件,且必須依據(jù)這一

5、條件進(jìn)行推證;(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣,有的與已知矛盾,有的與假設(shè)矛盾,有的與已知事實(shí)矛盾等,且推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的 【訓(xùn)練3】 已知a1,求證三個(gè)方程:x24ax4a30,x2(a1)xa20,x22ax2a0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根 1分析法的特點(diǎn):從未知看需知,逐步靠攏已知 2綜合法的特點(diǎn):從已知看可知,逐步推出未知 3分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn)分析法思考起來比較自然,容易尋找到解題的思路和方法,缺點(diǎn)是思路逆行,敘述較繁;綜合法從條件推出結(jié)論,較簡(jiǎn)捷地解決問題,但不便于思考實(shí)際證題時(shí)常常兩法兼用,先用分析法探索證明途徑,然后再用綜合法敘述出來 4利用反證法證明數(shù)學(xué)問題時(shí),要假設(shè)結(jié)

6、論錯(cuò)誤,并用假設(shè)的命題進(jìn)行推理,沒有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果,其推理過程是錯(cuò)誤的 答題模板13反證法在證明題中的應(yīng)用所以四邊形OABC不是菱形,與假設(shè)矛盾所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí),四邊形OABC不可能為菱形(14分)反思感悟 (1)掌握反證法的證明思路及證題步驟,明確作假設(shè)是反證法的基礎(chǔ),應(yīng)用假設(shè)是反證法的基本手段,得到矛盾是反證法的目的(2)當(dāng)證明的結(jié)論和條件聯(lián)系不明顯、直接證明不清晰或正面證明分類較多、而反面情況只有一種或較少時(shí),常采用反證法(3)利用反證法證明時(shí),一定要回到結(jié)論上去答題模板用反證法證明數(shù)學(xué)命題的答題模板:第一步:分清命題“pq”的條件和結(jié)論;第二步:作出與命題結(jié)論q相矛盾的假定綈q;第三步:由p和綈q出發(fā),應(yīng)用正確的推理方法,推出矛盾結(jié)果;第四步:斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因,在于所作的假設(shè)綈q不真,于是原結(jié)論q成立,從而間接地證明了命題 【自主體驗(yàn)】設(shè)直線l1:yk1x1,l2:yk2x1,其中實(shí)數(shù)k1,k2滿足k1k220.(1)證明:l1與l2相交;(2)證明:l1與l2的交點(diǎn)在橢圓2x2y21上

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