《極坐標系》優(yōu)秀課件

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1、極坐標系優(yōu)秀課件二二 極坐標系極坐標系極坐標系優(yōu)秀課件2.平面直角坐標系中的點平面直角坐標系中的點P與坐標與坐標(a ,b)是是 _對應的對應的.P(a,b).xyOab 平面直角坐標系是最簡平面直角坐標系是最簡單最常用的一種坐標系，但單最常用的一種坐標系，但不是唯一的一種坐標系不是唯一的一種坐標系. 有有時用別的坐標系比較方便時用別的坐標系比較方便.還有什么坐標系呢？還有什么坐標系呢？1.與角與角終邊相同的角：終邊相同的角：= =+2+2k, ,kZZ一一一一極坐標系優(yōu)秀課件 思考：思考：右圖是某校園的平面右圖是某校園的平面示意圖，假設某同學示意圖，假設某同學 在教學在教學樓處，請回答下列問

2、題：樓處，請回答下列問題：（1）他向東偏北）他向東偏北60 方向方向走走120m后到達什么位置？后到達什么位置？ 該位置惟一確定嗎？該位置惟一確定嗎？（2）如果有人打聽體育館）如果有人打聽體育館和辦公樓的位置，他應如何和辦公樓的位置，他應如何描述？描述？ A B C D E50m450 600 120m60m教學樓教學樓體育館體育館實驗樓實驗樓辦公樓辦公樓圖書館圖書館極坐標系優(yōu)秀課件請分析上面這句話，他告訴了問路人什么？請分析上面這句話，他告訴了問路人什么？從 這 向 東 走 6 0 米 ！ 出發(fā)點方向距離在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示一點的位置。這種用一

3、點的位置。這種用方向方向和和距離距離表示平表示平面上一點的位置的思想，就是極坐標的面上一點的位置的思想，就是極坐標的基本思想基本思想. .思考：類比建立平面直角體系的過程，怎樣思考：類比建立平面直角體系的過程，怎樣建立用距離與角度確定平面上點的位置的體系？建立用距離與角度確定平面上點的位置的體系？極坐標系優(yōu)秀課件1 1、極坐標系的建立：、極坐標系的建立：在平面內取一個定點在平面內取一個定點O，叫做，叫做極點極點. 從極點從極點O點引一條射線點引一條射線OX，叫做，叫做極軸極軸.再選定一個再選定一個單位長度單位長度和和角的正方向角的正方向（通常?。ㄍǔＨ∧鏁r針方向）逆時針方向）.這樣就建立了一個

4、這樣就建立了一個平面極坐標系，平面極坐標系，簡稱簡稱極坐標系極坐標系.XO 極坐標系優(yōu)秀課件2 2、極坐標系內一點的極坐標的規(guī)定、極坐標系內一點的極坐標的規(guī)定 對于平面上任意一點對于平面上任意一點M,M,用用 表示線段表示線段OMOM的長度的長度, ,用用 表示以射線表示以射線OXOX為始邊為始邊, ,射線射線OMOM為終邊所成的為終邊所成的角角, , 叫做點叫做點M M的的極徑極徑, , 叫做點叫做點M M的的極角極角, ,有序數(shù)對有序數(shù)對( ( , , ) )就叫做就叫做M M的的極坐標極坐標，記作，記作M M ( ( , , ) ) . .XOM 特別規(guī)定特別規(guī)定：當點當點M為極點時，它

5、的極坐標為極點時，它的極坐標為為_(0, ), 可為任意值可為任意值.一般地，不作特殊說明時，認為一般地，不作特殊說明時，認為 0 0， 可取任意實數(shù)可取任意實數(shù). .極坐標系優(yōu)秀課件例例1、 如圖，寫出各點的極坐標：如圖，寫出各點的極坐標：。Ox ABCDEFGA(4,0)B(3, ) 4C(2, ) 2D(5, )5 6E(4.5, )F(6, )4 3G(7, )5 3156 43 53 2 4 極坐標系優(yōu)秀課件例例2、在極坐標系中描下列各點：、在極坐標系中描下列各點：。Ox 156 43 53 2 4 545(3, 0)(6,)(1,)(5,) E (4,), F2,6233、ABCD

6、 A AB BC CD DE EF F極坐標系優(yōu)秀課件3.3.用點用點A, ,B, ,C, ,D,E,E分別表示教學樓分別表示教學樓, ,體育館體育館, ,圖圖 書館書館, ,實驗樓實驗樓, ,辦公樓的位置辦公樓的位置. .建立適當?shù)慕⑦m當?shù)臉O坐標系極坐標系, ,寫出各點的極坐標寫出各點的極坐標. . A B C D E50m450 600 120m60m解解: :以點以點A為極點為極點, ,AB所在所在的射線為極軸的射線為極軸( (單位長單位長度為度為1 m),1 m),建立極坐標系建立極坐標系. .則點則點A, ,B, ,C, ,D, ,E的極坐的極坐 標分別為標分別為(0,0),A(O

7、)x(60,0),BC(120,),3D(60 3,),23(50,).4E極坐標系優(yōu)秀課件 平面上一點的極坐標是否唯一？平面上一點的極坐標是否唯一？ 若不唯一，那有多少種表示方法？若不唯一，那有多少種表示方法？ 坐標不唯一是由誰引起的？坐標不唯一是由誰引起的？同一點同一點不同的極坐標是否可以寫出統(tǒng)一表達式？不同的極坐標是否可以寫出統(tǒng)一表達式？探究：極坐標系下的點與它的極坐標的對應情況探究：極坐標系下的點與它的極坐標的對應情況(4,),(4,2 ),(4,4 ),(4,2 )6666練習：在同一個極坐標中描出以下各點：它們所表示的點有什么？思考關系ABCD本題點M的極坐標統(tǒng)一表達式：4 2k+

8、6， 極坐標系優(yōu)秀課件極坐標系下的點與它的極坐標的對應情況極坐標系下的點與它的極坐標的對應情況(1)(1)給定（給定（ , , ）, ,在在極坐標極坐標平面內確定可唯一的一點平面內確定可唯一的一點 M(2)(2)給定平面上一點給定平面上一點 M ，但卻有無數(shù)個極坐標與之對應，但卻有無數(shù)個極坐標與之對應原因在于：原因在于：極角有無數(shù)個極角有無數(shù)個一般地一般地, ,若若( (, ,) )是一點的極坐標是一點的極坐標, ,則則( (, ,+2+2k)都可以作為它的極坐標都可以作為它的極坐標. .如果限定如果限定 0, 02那么除極點外那么除極點外,平面內的平面內的點點和和極坐標極坐標就可以就可以一一

9、對應一一對應了了.特別強調：特別強調：一般情況下（若不作特別說明時），認為一般情況下（若不作特別說明時），認為 0.或或 ,極坐標系優(yōu)秀課件3.極坐標與直角坐標的互化極坐標與直角坐標的互化 1. 極點與直角坐標系的原點重合; 2. 極軸與直角坐標系的x軸的正半軸重合; 3. 兩種坐標系的單位長度相同.互化關系式Oxy ),( Mxy sin,cosyx極極坐坐標標化化直直角角坐坐標標：)(tan,0222xxyyx 直直角角坐坐標標化化極極坐坐標標：當點不在第一象限內時，是否還成立？原理是什么？互化前提極坐標系優(yōu)秀課件互化練習.,.,)(,)(，求求兩兩點點間間的的距距離離，已已知知兩兩點點的

10、的極極坐坐標標化化成成極極坐坐標標的的直直角角坐坐標標將將點點化化為為直直角角坐坐標標；的的極極坐坐標標將將點點2332213232511 MM極坐標系優(yōu)秀課件極坐標系與直角坐標系的異同極坐標系與直角坐標系的異同 相同點：兩者都通過一對有序實數(shù)對表示平面上的點. 不同點： (x,y)與兩坐標軸的距離有關;而(,)與極軸出發(fā)的角和極點的距離有關 在直角坐標系內平面點集與有序實數(shù)對的集合 (x,y)|x、yR一一對應，而在極坐標系內平面點集與有序實數(shù)對的集合 (,)|、R不是一一對應的（(, )與(,+2k )表示同一個點 ） 若規(guī)定0，0,2)，可使極坐標與平面內的點一一對應()極坐標系優(yōu)秀課件

11、 建立一個極坐標系需要哪些要素建立一個極坐標系需要哪些要素? 極點；極軸；長度單位；角度單位和它的正方向 極坐標系內一點的極坐標有多少種表達式？極坐標系內一點的極坐標有多少種表達式？ 無數(shù)，極角有無數(shù)個 一點的極坐標有否統(tǒng)一的表達式？一點的極坐標有否統(tǒng)一的表達式？ 有，(，2k+) 極坐標與直角坐標的互化極坐標與直角坐標的互化 sin,cosyx極極坐坐標標化化直直角角坐坐標標：)(tan,0222xxyyx 直直角角坐坐標標化化極極坐坐標標：課堂小結課堂小結極坐標系優(yōu)秀課件思考思考: 極坐標系中極坐標系中, 點點M的坐標為的坐標為(-10, ), 則下列各則下列各 坐標中坐標中, 不是不是M

12、點的坐標的是點的坐標的是( ) 3課后思考課后思考410,3510,3510,3210,3A AB BC CD D極坐標系優(yōu)秀課件2.2.邊長為邊長為a的正六邊形的正六邊形OABCDE在極坐標系中在極坐標系中 的位置如圖所示，求這個正六邊形各頂點的位置如圖所示，求這個正六邊形各頂點 的極坐標。的極坐標。ABCxEDO解：解：O(0, 0)，C(2a, 0)5( ,)3A a( ,)3E a( 3 ,)6Da11( 3 ,)6Ba極坐標系優(yōu)秀課件變式變式: :在極坐標系中在極坐標系中, ,若等邊三角形的兩頂點若等邊三角形的兩頂點 是是A(2, ) ,B(2, ) ,A(2, ) ,B(2, )

13、, 那么頂點那么頂點C C的坐標可能是的坐標可能是( )( )44533.(4,) .(2 3,)(2 3,)444.(2 3,).(3,)ABCD 或或 極坐標系優(yōu)秀課件4、負極徑的定義、負極徑的定義說明：一般情況下，極徑都是正值；在某些說明：一般情況下，極徑都是正值；在某些必要情況下，極徑也可以取負值必要情況下，極徑也可以取負值.對于點對于點M（ ， ）負極徑時的規(guī)定：負極徑時的規(guī)定：1作射線作射線OP，使，使 XOP= 2在在OP的反向延長的反向延長 線上取一點線上取一點M， 使使 OM = OXPM極坐標系優(yōu)秀課件OXP= /4M四、2、負極徑的實例在極坐標系中畫出點M（3，/4）的位

14、置1作射線OP，使XOP= /4 2在OP的反向延長線上取一點M，使OM= 3極坐標系優(yōu)秀課件說出下圖中當極徑取負值時各點的極坐標：A AB BC CD DE EO OX X26121112232345極坐標系優(yōu)秀課件四、3、關于負極徑的思考“負極徑”真是“負”的？ 根據(jù)極徑定義，極徑是距離，當然是正的。現(xiàn)在所說的“負極徑”中的“負”到底是什么意思？ 把負極徑時點的確定過程，與正極徑時點的確定過程相比較，看看有什么相同，有什么不同？極坐標系優(yōu)秀課件四、4、正、負極徑時，點的確定過程比較OXPOXP1作射線OP，使XOP= /4 2在OP的反向延長線上取一點M，使OM= 31作射線OP，使XOP

15、= /4 2在OP的上取一點M，使OM= 3M畫出點 （3，/4） 和（3，/4）給定,在極坐標系中描點的方法：先按極角找到極徑所在的射線，后按極徑的正負和數(shù)值在這條射線或其反向延長線上描點。M極坐標系優(yōu)秀課件四、5、負極徑的實質 從比較來看，負極徑比正極徑多了一個操作，將射線OP“反向延長”。OXPMOXPM 而反向延長也可以看成是旋轉 ，因此，所謂“負極徑”實質是管方向的。這與數(shù)學中通常的習慣一致，用“負”表示“反向 ”。極坐標系優(yōu)秀課件負極徑小結：極徑變?yōu)樨?，極角增加 。練習：寫出點 的負極徑的極坐標（6， ）6答：（6， +）6或（6， +）611特別強調：一般情況下（若不作特別說明時

16、），認為 0 。因為負極徑只在極少數(shù)情況用。極坐標系優(yōu)秀課件五、極坐標系下點的極坐標OXPM探索點M（3，/4）的所有極坐標1極徑是正的時候：423k，2極徑是負的時候：)423k，（極坐標系優(yōu)秀課件六、極坐標系下點與它的極坐標的對應情況1給定（,）,就可以在極坐標平面內確定唯一的一點M。2給定平面上一點M，但卻有無數(shù)個極坐標與之對應。原因在于：極角有無數(shù)個。OXPM(,)極坐標系優(yōu)秀課件一般地,若(,)是一點的極坐標,則(,+2k)、,+(2k+1)都可以作為它的極坐標.如果限定0,02或 ,那么除極點外,平面內的點和極坐標就可以一一對應了.極坐標系優(yōu)秀課件2.在極坐標系中,與(,)關于極軸

17、對稱的點是( )A.(,) B.(,)C.(,) D.(,)CD題組三 1. 在極坐標系中，與點(3, )重合的點是( )6A.(3, ) B. (3, ) C. (3, ) D. (3, ) 666565極坐標系優(yōu)秀課件3.在極坐標系中,與點(8, )關于極點對稱的點 的一個坐標是 ( )6A.(8, ) B. (8, ) C. (8, ) D.(8, ) 656665A極坐標系優(yōu)秀課件3一點的極坐標有否統(tǒng)一的表達式？小結1建立一個極坐標系需要哪些要素極點；極軸；長度單位；角度單位和它的正方向。2極坐標系內一點的極坐標有多少種表達式？無數(shù)，極徑有正有負；極角有無數(shù)個。有。（，2k+）極坐標系

18、優(yōu)秀課件。Ox 156 43 53 2 4 A AB BC CD DE EF F若若極角取負值極角取負值，則上例中的，則上例中的A，B，C，D，E，F(xiàn)的的極坐標又可以表示為極坐標又可以表示為3, 2,76,631,225,34,2,3ABCDEF極坐標系優(yōu)秀課件Ox )| | M( , )Ox例如例如:M(-2, )5 6)5 6作射線作射線OP，使，使xOP= M(-2, )5 6P P在射線在射線OP的反向延長線上取一點的反向延長線上取一點M ，使，使|OM|=| |當極徑當極徑 0時，點時，點M( , )的位置按如下規(guī)則確定：的位置按如下規(guī)則確定：極坐標系優(yōu)秀課件。Ox 4 25 65

19、45 3 11 62 33 2ABCDE14,0113,62,251,353,4ABCDE極坐標系優(yōu)秀課件3 3、點的極坐標的表達式的研究、點的極坐標的表達式的研究XOM 如圖：如圖：OM的長度為的長度為4，4請說出點請說出點M的極坐標的表達式？的極坐標的表達式？54,4,44 5454,2,4,2,44kkkZ ( , )(- , + )( , 2k + )(- , +(2k+1) )小結小結表示同一點的表示同一點的極坐標極坐標.極坐標系優(yōu)秀課件4 4、極坐標系下點與它的極坐標的對應情況、極坐標系下點與它的極坐標的對應情況11給定（給定（ , , ）, ,就可以在就可以在極坐標極坐標平平面內

20、確定面內確定唯一唯一的一點的一點M M22給定平面上一點給定平面上一點M M，但卻有，但卻有無數(shù)無數(shù)個極坐標與之對應個極坐標與之對應OXPM(,)33如果如果規(guī)定規(guī)定0,00,022或或 - -那么那么除極點除極點外外, ,平面內的點和極坐標就可以平面內的點和極坐標就可以一一對應一一對應了了. .極坐標系優(yōu)秀課件關于極坐標系的進一步思考 直角坐標系中，橫坐標為1的點構成怎樣的圖形？縱坐標為4的點構成怎樣的圖形？ 極坐標系中，極徑為5的點構成怎樣的圖形？p極角為極角為 的動點的動點A構成怎樣的圖形？極角為構成怎樣的圖形？極角為 的動的動點點B構成怎樣的圖形？構成怎樣的圖形？3 34 p有沒有辦法

21、讓有沒有辦法讓B點的極角為點的極角為 ？即改變一下方向？即改變一下方向？ 3 極坐標系優(yōu)秀課件拓展：負極徑的定義 在一般情況下，極徑都是取正值，但是在某些必要的情況下，也允許取負值.p當當 時，點時，點 的位置可以按以下規(guī)則確定：的位置可以按以下規(guī)則確定：作射線作射線OP，使，使 ，在，在OP的反向延長線上取的反向延長線上取一點一點M，使，使 ，點，點M就是坐標為就是坐標為 的點的點.0 )( M OM)( xop O MPxA AB BC CD DE EO OX X2 6 1211 1223 23 45 說出圖中當極說出圖中當極徑取負值時各徑取負值時各點的極坐標點的極坐標完成課本完成課本12

22、頁頁13題題極坐標系優(yōu)秀課件關于負極徑的深入理解 從比較來看，負極徑比正極徑多了一個操作，將射線OP“反向延長”. 而也可以，因此，所謂“負極徑”實質是管方向的，這與數(shù)學中通常的習慣一致，用“負”表示“反向 ”.特別強調：一般情況下特別強調：一般情況下（若不作特別說明時），（若不作特別說明時），認為認為 0 ，因為負極徑只，因為負極徑只在極少數(shù)情況用在極少數(shù)情況用.的所有極坐標的所有極坐標點點),(43 M1極徑是正的時候：極徑是正的時候：423 k，2極徑是負的時候：極徑是負的時候：423 k，極坐標系優(yōu)秀課件以慶陽路為以慶陽路為X X軸軸以靜寧路為以靜寧路為Y Y軸軸.請問：請問：去省政府怎么走？去省政府怎么走？精神病！精神??！極坐標系優(yōu)秀課件從這向北從這向北走走12001200米米. .請問：請問：去省政府怎么走？去省政府怎么走？此課件下載可自行編輯修改，供參考！此課件下載可自行編輯修改，供參考！感謝你的支持，我們會努力做得更好！感謝你的支持，我們會努力做得更好！