高中數(shù)學(xué)第1輪 第3章第23講 直接證明與間接證明課件 文 新課標(biāo) （江蘇專版）

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1、綜合法的應(yīng)用綜合法的應(yīng)用 222.abcabcabcbca已知 ， ， 都是正數(shù)，求證：【】例1222222222222222.abcabcbacbacbcaabcabcabcbcaabcabcbca因?yàn)?， ， 都是正數(shù)，所以， ， ，三式相加得 ，即【】證明22 ababbb 綜證題從條發(fā)結(jié)為條獲問(wèn)題終結(jié)題證從條項(xiàng)，這樣結(jié)論關(guān)這題關(guān)鍵 合法，是已知的件出，把每一步的果作件，直到得的最果本明件中，想到只要填就可由用到基本不等式，便與有，是突破本的1111(1) (1) (1)18.abcabcabcR已知 ， ，且 ，求證： 【變式練習(xí)】111(1) (1) (1)22288abcbc ac

2、 ababcbcacababcabcabcabc 【證 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立所以不等明】式成立分析法的應(yīng)用分析法的應(yīng)用 2222xycxyyxxycxyxyyx是否存在常數(shù) ，使得不等式對(duì)任意的正整數(shù) 、 恒成立？證明你【例2】的結(jié)論*222221.3332.22322233 (2 )3 (2 )2(2 )(2 )22223xyccxyxyyxxyxyxyyxx xyy yxxyyxxyxyxyxyyxN當(dāng) 時(shí)，有，則 先證因?yàn)?，故要證，只需證，即 ，顯然成立，所【以解析】；2222233 (2)3 (2 )2(2 )(2 )22.223232222xyxyyxxxyy xyxyyxxyx

3、yxyxyyxcxxyxyycxyyxxyyx再證，只需證 ，即 ，顯然成立，所以綜上所述，存在常數(shù) ，使對(duì)任意的正整數(shù) 、，不等式恒成立 本題主要考查用分析法證明不等式及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力此題是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，尋找常數(shù)c需要根據(jù)題目條件，觀察問(wèn)題的特點(diǎn)，確定c的值，這是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵；其次由于不等式的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，從已知入手，非常困難，采用分析法，化繁為簡(jiǎn)，順利找到不等式成立的必要條件當(dāng)要證的不等式較為復(fù)雜，已知與待證間的聯(lián)系不明顯時(shí)，一般采用分析法 22211022.aaaaa【變式練習(xí) 】已知，證明： 2222222211221122.011(2)(2)aaaaaaaaaaaaa要

4、證 ，只要證+因【為，所以只要證+證明】，2222222222222211114442 2()11212.121122aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa即證 ，只需證 ，即證 而 ，由基本不等式可知成立所以 得證反證法的應(yīng)用反證法的應(yīng)用 22222223360.abcaxybyzczxabc若 、 、 都是實(shí)數(shù)，且 ， ， ，求證：、 、 中至少有一個(gè)大【于例 】2222222220000(2)(2)(2)236(1)(1)(1)3.30 (1)(1)(1)0000.abcabcabcxyyzzxxyzxyzabcabcabc使用反證法：若 、 、 都不大于 ，即，則 因?yàn)?， ，所以

5、，與 矛盾因此【證明】，假設(shè)不成立故 、 、 中至少有一個(gè)大于 反證法是間接證法中的一種重要方法，體現(xiàn)了同一問(wèn)題的另一種研究方法當(dāng)問(wèn)題處于“否定性”“唯一性”或“無(wú)限性”背景時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)“至多”“至少”或“全都”等詞，這類命題一般都采用反證法 【變式練習(xí)3】求證：三條拋物線ycx22axb，yax22bxc，ybx22cxa(a、b、c為非零實(shí)數(shù))中至少有一條與x軸有交點(diǎn) 【證明】假設(shè)三條拋物線都與x軸均無(wú)交點(diǎn)，則方程 cx22axb0的判別式14a24bc0.同理，24b24ac0，34c24ab0，則1234a24b24c24ab4bc4ac0，所以2(ab)22(bc)22(ca)20

6、，這與2(ab)22(bc)22(ca)20相矛盾，故假設(shè)不成立所以三條拋物線中至少有一條與x軸有交點(diǎn) 1.已知p：關(guān)于x的不等式x22axa0的解集是R，q：1a0，則p是q的_【解析】由4a24a0，可得1aa0)，其濃度為_(kāi)；若再加入m(m0)千克糖，糖水更甜了，根據(jù)這一生活常識(shí)，提煉出一個(gè)常見(jiàn)的不等式為_(kāi)abaambbm4.證明：a2ab與b2ab(其中a，bR)中至少有一個(gè)是非負(fù)數(shù) 2222222()0200()0aabbababaabaabbbababR假【證明】設(shè) 與 其中 ，都是負(fù)數(shù)，即，兩式相加得 ，即 ，顯然不成立，所以假設(shè)不成立，原命題成立25.1(0)() .ababx

7、yabxyxyab 若 、 、 、，求證： 210()()()2() .ababxyabxyabxyxyxyaybxabxyaabbab因?yàn)?， 、 、 、，所以 即原不等【證明】式成立 1在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中，不可能離開(kāi)數(shù)學(xué)的證明求解數(shù)學(xué)題，每個(gè)步驟的實(shí)施，都離不開(kāi)證明的因素，所以證明是包含在推理過(guò)程之中的證明一般分直接證明與間接證明兩種 直接證明是從已知或事實(shí)出發(fā)，遵照一定的邏輯程序推出問(wèn)題的結(jié)論的一種證明方法，它主要有綜合法和分析法兩種綜合法是由已知到未知，從題設(shè)到結(jié)論的邏輯推理方法，它的一般步驟是(已知)p0p1p2pn(結(jié)論)分析法正好與綜合法的思維順序相反，即先假設(shè)結(jié)論是正確的，由

8、此逐步推出保證結(jié)論成立的必要判斷，當(dāng)這些判斷恰好都是已知命題(正確的命題或關(guān)系)時(shí)，所要研究的問(wèn)題就得到證明，它的一般步驟是(結(jié)論)pnp2p1(已知) 12 2()“” ()()npqqpppp 間接證明方法是直接證明方法的一個(gè)補(bǔ)充，當(dāng)直接證明有困難或過(guò)程太過(guò)于復(fù)雜時(shí)，常采用間接證明方法完成常見(jiàn)的間接證明方法是反證法，它的思維過(guò)程是假設(shè)結(jié)論為假，遵照邏輯規(guī)則，推出一個(gè)為假的事實(shí) 或與已知矛盾，或與數(shù)學(xué)事實(shí)矛盾 ，來(lái)說(shuō)明假設(shè)結(jié)論為假是錯(cuò)誤的，從而所要證明的結(jié)論是正確的一般步驟是，要證明， 否定結(jié)論與已知矛盾 反證法的推理.pqqp 基礎(chǔ)是四種命題間的邏輯關(guān)系，即原命題與其逆否命題的真假性相同其

9、思想是，由證明，轉(zhuǎn)向證明它的逆否命題 3反證法的證明步驟： (1)反設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假定原命題的反面為真； (2)歸謬：從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果； (3)存真：由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立其中歸謬是反證法的關(guān)鍵也是難點(diǎn)，導(dǎo)出矛盾的過(guò)程沒(méi)有固定模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導(dǎo)將成為無(wú)源之水、無(wú)本之木，同時(shí)注意推理必須嚴(yán)謹(jǐn) 4常用反證法的題型： (1)用直接證法證明比較困難的一些幾何問(wèn)題，尤其是證兩條直線是異面直線與唯一性問(wèn)題，常采用反證法； (2)關(guān)于否定性問(wèn)題的證明一般都使用反證法加以證明； ( 3 ) 命 題 中 含 有 “ 至 多 ” “ 至少”“不多于”或“最多”等詞語(yǔ)的命題的證明，一般用反證法