2019-2020年高中數學高考復習《立體幾何大題》習題附詳細解析

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1、2019-2020年高中數學高考復習《立體幾何大題》習題附詳 細解析 1 .長方體 ABCD —A1B1c1D1 中，AB = BC=1, AA1 = 2 , E 曷則棱 BB1 中點 (I)求直線 AA1與平面 AC1 E所成角的大小(n)求二面角 E 3c1 _B的大小 (m)求三棱錐 e -AD1 C1的體積 2 .如圖，在正三棱柱 ABC-ABG中，底面邊長是 2, D是^^BC的中點，點 M在^程BB〔上, 1 且 BM=-B1M,又 CM_LAG. 3 (I )求證：A1B〃平面AC1D ( n )求三棱錐 B1-ADG體積. 3 .如圖，四面體 ABCD 中，

2、O、E 分別是 BD> BC 的中點，CA=CB =CD =BD =2,AB =AD =^2 (I)求證：AO _L平面BCD (II)求異面直線 AB與CD所成角余弦值的大小 A M D O B E C (III)求點E到平面ACD的距離 4 .已知四棱錐 P—ABCD的底面是正方形，P—底面ABCD.異面直線 PB與CD所成的角為 45 .求：(1)二面角B-PC-D的大小(2)直線PB與平面PCD所成角大小 5 .四棱錐P- ABCD中，PAX ABCD,四邊形 ABCD是矩形.E、F分別是AB PD的 中點.若PA=AD=3, CD=^6 . (I)

3、求證：AF〃平面PCE (II)求點F到平面PCE的距離; (III)求直線FC與平面PCE所成角的大小 立體幾何大題答案 1 .長方體 ABCD —A1B1c1D1 中，AB = BC=1, AA1 = 2 , E 曷則棱 BB1 中點 (I)求直線 AA1與平面 AC1 E所成角的大小(n)求二面角 E 3c1 _B的大小 (m)求三棱錐 e -AD1 C1的體積 答案：(D arcsine (II )arccos噂 (川)D1 與面AEC1 距離 Vd「AEj 2.如圖，在正三棱柱 ABC-ABiCi中，底面邊長是 2, D是棱BC的中點，點 M在^^B0上

4、, 1 且 BM=- B1M,又 CM _LAG. 3 (I )求證：A1B〃平面AC1D ( n )求三棱錐 B1-ADG體積. 答案：提示：⑴連接AC,交AC1于點E,連接DE,則DE是AABC的中位線，de〃ab, 又 DE U面ADC1 ,A[B 0面ADC1,「. AB〃面AC1D . (2)在正三棱錐ABC—A1B1cl中，D是BC的中點，則AD _L^BCC1B1,從而AD _L MC , 又CM _L AC1，則CM和面ADC 1內的兩條相交直線 AD, AC 1都垂直，:MC 1面ADC 1, 于是CM _LDC1,則/CDC1與/MCB互余，則tan/CDC

5、 1與tan/MCB互為倒數，易得 AA1 =2。2 ,連結 B1D, 二三棱錐B1 -ADC1的體積為 二 S加C1D =2,2 丁 AD _1面8儲1口, 方法2：以D為坐標原點，DC,DA為x,y軸，建立空間直角坐標系，設BB1 = h,則 D(0,0,0), B(-1,0,0) , C(1,0,0) , A(0,V3,0) , B1(-1,0,h) , C1(1,0,h) , A1(0,V3,h), 設平面AC1D的 h M(-1,0,-) , A1B =(-1,-V3,-h) , AD =(Q-J3,0),C1A =(-1,”,-h) 4 T 法向量n = (x,

6、 y, z),則 ADn=。= \=(h,0,-1),；前，；?. C1An=0 (2) CM =(-2,0,h), AC1 =(1,-x/3,h)，cm _LaCi ,Cm aci=—2+工=0， 4 4 AB 〃面 AC1D , h =2, 2 .平面 AC1D 的 法向量為 nt=(2%2,0,-)， B1A=(1,s|r3,-2V2)點 B1(-1,0,2v2)至U 平面 AC1D 的距離 B1A n’  3.如圖, 四面體 ABCD 中，O、E 分別是 BD> BC 的中點，CA=CB =CD =BD =2，AB =AD =72 (I)求證: AO_

7、L平面BCD (II)求異面直線 AB與CD所成角余弦值的大小 (III)求點 E到平面ACD的距離. 答案：方法一: ⑴證明：連結 OC ：BO=DQAB=AD，. AO—BD. A ；BO=DQBC=CD,j.CO_LBD 在 MOC 中，由已知可得 AO =1,CO =73.而 AC = 2 -AO2 -+CO2 吊C 2, J.ZAOC =90,即 AO _LOC. (II)解：取AC的中點M,連結OM、ME、 OE,由E為BC的中點知 ME// AB B E O :bdPIoc =o, AOL BCD 二直線OE與EM所成的銳角就是異面直線 AB與C

8、D所成的角 1 .2 八 1 _ EM = - AB =—,OE=-DC=1, 在 AOME 中 2 2 2 0M是直角&A0c斜邊AC上的中線，,0M 二異面直線AB與CD所成角的大小為 2 arccos— 4 (III)解：設點E到平面ACD的距離為 h. V Ve JACD 二 Va CDE , 1 1 ..h.S acd =一.AO.S cde . 3 3 在國CD中, CA =CD =2, AD = . 2, 1 - 二一AC 二1, 2 S ACD 1 2 .22一(、2)2 二-7 2.22 AO 而 _1 S _1 3 22 _

9、.3 _1,S CDE -- "4 2 __2 1 _J AO.S CDE」T -21 ，點E到平面ACD的距離為 7 方法二： (II)解：以 (I)同方法一. O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則 B(1,0,0), D(T,0,0), c(o, 3,o) 13T 丁 心0,1)%，石MACODCDy, — 3,0). T - BA.CD ^2 cos

10、法向量為 n =(x, y,z),則 pACHx,yNga/a j3y

11、D=Z CEB=90，/BED 就是二面角 B-PC- D 的平面角. PBMBC _6 a 設 AB刊則 BD=PB=2a, PC=4& , BE=DE= PC - 3 , BE2 -DE2 _BD2 1 cos/ BED=2BEMDEF,/BED=120 即二面角 B-PC-D 的大/」、為 120 (2)還原棱錐為正方體 ABCD-PB1C1D1,作BF, CB1于F, ??平面 PB1C1D仕平面 B1BCC1, ? . BFL平面 PB1CD, 連接PF則/BPF就是直線PB與平面PCD所成的角 1 BF= 2 a,PB= 2a,sinZ BPF=2 ,Z BPF=

12、30 . 所以就是直線PB與平面PCD所成的角為30 5.四棱錐P- ABCD中，PAX ABCD,四邊形 ABCD是矩形.E、F分別是AB、PD的 -4 / . 中點.右PA=AD=3, CD=x6 . (I)求證：AF〃平面PCE (II)求點F到平面PCE的距離; (III)求直線FC與平面PCE所成角的大小 解法一：(I)取PC的中點G,連結EG FG,又由F為PD中點, 1 Q - AE 〃 —CD,二 FG//AE. 又由已知有 2 ???四邊形AEGF是平行四邊形.二AF // EG. 又AF 平面PCE，EG 平面PCE. 二 AF //平面

13、PCE (II) 丁 PA _L 平面 ABCD, 二平面PAD _L平面ABCD. 由ABCD是矩形有CD _L AD. 「.CD _L平面PAD. AF _ CD 又PA = AD =3,F是PD的中點, AF _ PD. PD CD = D, - AF _L 平面 PCD. 由EG〃 AF, - EG _L平面 PCD. 一平面PCD內，過F作FH _LPC于H, 由于平面PCD門平面PCE =PC,則FH的長就是點F到平面PCE的距離. 由已知可得 PD =3 2, PF =3 2,PC =2 6. 由于CD _面PAD, ?點F到

14、平面PCE的距離為_3，2 4 , ,CPD =30. 1 3 — FH =_PF =_ 2. 2 4 (川)由(H)知/FCH為直線FC與平面PCE所成的角. 3 - 在Rt"DF 中,CD =、6,FD =-、N, 2 ,FC = CD2 FD2 =-42. 2 FH 21 ,sin FCH = FC 14 二直線FC與平面PCE所成角的大小為 .21 arcsin — 14 解法二: A (0, 0, 0), P (0, 0, 3), D (0, 3, 0), 6 E (為 3 2), C 3, 0) (I)取PC的中點 (上

15、 G,連結EG,則2 ,2 -AF =(0,-,-),EG =(0,3,3), , 2,211 , 2,2 /, .AF // EG. 即 AF// EG. 又AF 平面PCE, EG鼻平面PCE, . AF //平面 PCE. (II)設平面PCE法向量 — - <6 -二 <6 n =(X y, z), EP =(——,0,3), EC =(一 ,3,0). 3 2 F (0, ,0, 0), C n EP =0, n EC =0. 取 y = _1,彳tn x 3z =

16、 0, 即2 —x 3y =0. 2 二(6, -1,1). 3 3 又PF =(0, _,__), 2 2 故點F到平面PCE的距離為 |n| 3, 2 2 2. 2 FC = ( 6 ,—, (III) 2 —— | FC n | 3 |cos :二 FC,n | = J = |FC| |n| 21 2 2 2 .21 arcsin 一 二直線FC與平面PCE所成角的大小為 14 9.已知在四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形, ，平面 ABCD, E、F、G分別是 PA PR BC的中點. △ PAD是正三角形，平面 PAD打 (

17、I)求證：EF_L平面PAD; (II)求平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的大??； 答案：解：方法1: (I)證明：二.平面 PADL平面ABCD, AB_L AD AB_L平面 ?? E、F 為 PA、PB的中點 EF//AB, ? . EF_L平面 PAD (II)解：過P作AD的垂線，垂足為0二?平面PAD_L平面abcd,則po，平面 取 AO 中點 M ,連 OG, ,EO,EM ??? EF //AB//OG ，OG即為面 EFG與面ABCD的交線 又 EM//OP,則 EM，平面 ABCD 且 OG^AO, 故 OG_LEO，NE0M 即為所求 RtAEOM

18、中，EM=M OM=1 . tan/EOM =禽,故 ZEOM =60 M - CD ???平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的大小是 60 方法2: (I)證明：過P作P O ，AD于O,二?平面PAD,平面ABCD, 則po _L平面ABCD),連OG,以OG, OD, OP為x、y、z軸建立空間坐標系, ??.PA= PD =AD=4, OP =2J3,OD HA=2,得 A(0,-2,0)，B(4,-2,0)，C(4,2,0)，D(0,2,0)，P(0,02月) E(0,-1,<3), F(2,-1, V3),G(4,0,0),故 eF =(2,0,0),AD=(0,

19、4,0),PD=(0,2,23), EF AD =0, EF PD =0 , EF _L平面 pad； + f~ (II)解：EFWaSEGT4,1,33),設平面 EFG 的一個法向量為 n =(x,y, z), ? E!?即/xR L . 則 n EG R, 4x+y—y3zH, 取z=,得 n g0"3,1), 平面ABCD的一個法向量

20、為ni =(0,0,1), I n n1 1 60 | cos