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第4章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動 習題及答案
1．剛體繞一定軸作勻變速轉(zhuǎn)動，剛體上任一點是否有切向加速度？是否有法向加速度？切向和法向加速度的大小是否隨時間變化？
答：當剛體作勻變速轉(zhuǎn)動時,角加速度不變。剛體上任一點都作勻變速圓周運動，因此該點速率在均勻變化，，所以一定有切向加速度，其大小不變。又因該點速度的方向變化，所以一定有法向加速度，由于角速度變化，所以法向加速度的大小也在變化。
2. 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律和質(zhì)點系的動量矩定理是什么關(guān)系？
答：剛體是一個特殊的質(zhì)點系，它應(yīng)遵守質(zhì)點系的動量矩定理，當剛體繞定軸Z轉(zhuǎn)動時，動量矩定理的形
2、式為，表示剛體對Z軸的合外力矩，表示剛體對Z軸的動量矩。,其中，代表剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量，所以
。既 。
所以剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律是質(zhì)點系的動量矩定理在剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時的具體表現(xiàn)形式，及質(zhì)點系的動量矩定理用于剛體時在剛體轉(zhuǎn)軸方向的分量表達式。
3．兩個半徑相同的輪子，質(zhì)量相同，但一個輪子的質(zhì)量聚集在邊緣附近，另一個輪子的質(zhì)量分布比較均勻，試問：（1）如果它們的角動量相同，哪個輪子轉(zhuǎn)得快？（2）如果它們的角速度相同，哪個輪子的角動量大？
答：(1)由于，而轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)量分布有關(guān)，半徑、質(zhì)量均相同的輪子，質(zhì)量聚集在邊緣附近的輪子的轉(zhuǎn)動慣量大，故角速度小，轉(zhuǎn)得慢，質(zhì)量分布比較均勻的
3、輪子轉(zhuǎn)得快；
（2）如果它們的角速度相同，則質(zhì)量聚集在邊緣附近的輪子角動量大。
4．一圓形臺面可繞中心軸無摩擦地轉(zhuǎn)動，有一玩具車相對臺面由靜止啟動，繞軸作圓周運動，問平臺如何運動？如小汽車突然剎車，此過程角動量是否守恒？動量是否守恒？能量是否守恒？
答：玩具車相對臺面由靜止啟動，繞軸作圓周運動時，平臺將沿相反方向轉(zhuǎn)動；小汽車突然剎車過程滿足角動量守恒，而能量和動量均不守恒。
5．一轉(zhuǎn)速為的飛輪，因制動而均勻地減速，經(jīng)10秒后停止轉(zhuǎn)動，求：
（1） 飛輪的角加速度和從開始制動到停止轉(zhuǎn)動，飛輪所轉(zhuǎn)過的圈數(shù)；
（2） 開始制動后5秒時飛輪的角速度。
解：（1）由題意飛輪的初角速度為
4、
飛輪作均減速轉(zhuǎn)動，其角加速度為
故從開始制動到停止轉(zhuǎn)動，飛輪轉(zhuǎn)過的角位移為
因此，飛輪轉(zhuǎn)過圈數(shù)為
100圈。
（2）開始制動后5秒時飛輪的角速度為
6．如圖所示， 一飛輪由一直徑為，厚度為的圓盤和兩個直徑為，長為的共軸圓柱體組成，設(shè)飛輪的密度為，求飛輪對軸的轉(zhuǎn)動慣量。
a
L
d1
d2
解：如圖所示，根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的可加性，飛輪對軸的轉(zhuǎn)動慣量可視為圓盤與兩圓柱體對同軸的轉(zhuǎn)動慣量之和。由此可得
7. 如圖所示，一半徑為r，質(zhì)量為m1的勻質(zhì)圓盤作為定滑輪，繞有輕繩，繩上掛一質(zhì)量為m2的重物，求重物下落的加速度。
解：設(shè)繩中張力為T
對于
5、重物按牛頓第二定律有
(1)
對于滑輪按轉(zhuǎn)動定律有
(2)
由角量線量關(guān)系有
（3）
聯(lián)立以上三式解得
8. 如圖所示，兩個勻質(zhì)圓盤同軸地焊在一起，它們的半徑分別為r1、r2，質(zhì)量為和，可繞過盤心且與盤面垂直的光滑水平軸轉(zhuǎn)動，兩輪上繞有輕繩，各掛有質(zhì)量為和的重物，求輪的角加速度。
解：設(shè)連接的繩子中的張力為T1，連接的繩子中的張力為T2。
對重物按牛頓第二定律有 (1)
對重物按牛頓第二定律有 （2
6、)
對兩個園盤，作為一個整體，按轉(zhuǎn)動定律有
(3)
由角量線量之間的關(guān)系有 (4)
(5)
聯(lián)立以上五式解得
9. 如圖所示，一半徑為R，質(zhì)量為m的勻質(zhì)圓盤，以角速度ω繞其中心軸轉(zhuǎn)動?，F(xiàn)將它平放在一水平板上，盤與板表面的摩擦因數(shù)為μ。
（1）求圓盤所受的摩擦力矩；
（2）問經(jīng)過多少時間后，圓盤轉(zhuǎn)動才能停止？
ω
r
dF
dr
解：分析：圓盤各部分的摩擦力的力臂不同，為此，可將圓盤分割成許多同心圓環(huán)，對
7、環(huán)的摩擦力矩積分即可得總力矩。另由于摩擦力矩是恒力矩，由角動量定理可求得圓盤停止前所經(jīng)歷的時間。
（1）圓盤上半徑為r、寬度為dr的同心圓環(huán)所受的摩擦力矩為
負號表示摩擦力矩為阻力矩。對上式沿徑向積分得圓盤所受的總摩擦力矩大小為
（2）由于摩擦力矩是一恒力矩，圓盤的轉(zhuǎn)動慣量，由角動量定理可得圓盤停止的時間為
10. 飛輪的質(zhì)量＝60kg，半徑＝0.25m，繞其水平中心軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速為900revmin-1．現(xiàn)利用一制動的閘桿，在閘桿的一端加一豎直方向的制動力，可使飛輪減速．已知閘桿的尺寸如題4-10圖所示，閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)
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