2018年高考真題——數(shù)學（文）（全國卷II）+Word版含解析【KS5U+高考】

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1、歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚，qq：2355394501 絕密★啟用前 2018年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 文科數(shù)學 注意事項： 1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。 2．作答時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。 3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根據(jù)公式，可直接計算得 詳解： ，故選D. 點睛：復數(shù)題是每年高考的必考內容

2、，一般以選擇或填空形式出現(xiàn)，屬簡單得分題，高考中復數(shù)主要考查的內容有：復數(shù)的分類、復數(shù)的幾何意義、共軛復數(shù)，復數(shù)的模及復數(shù)的乘除運算，在解決此類問題時，注意避免忽略中的負號導致出錯. 2. 已知集合，，則 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：根據(jù)集合可直接求解. 詳解：, , 故選C 點睛：集合題也是每年高考的必考內容，一般以客觀題形式出現(xiàn)，一般解決此類問題時要先將參與運算的集合化為最簡形式，如果是“離散型”集合可采用Venn圖法解決，若是“連續(xù)型”集合則可借助不等式進行運算. 3. 函數(shù)的圖像大致為 A. A B. B

3、 C. C D. D 【答案】B 【解析】分析：通過研究函數(shù)奇偶性以及單調性，確定函數(shù)圖像. 詳解：為奇函數(shù)，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此選B. 點睛：有關函數(shù)圖象識別問題的常見題型及解題思路（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調性，判斷圖象的變化趨勢；③由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復． 4. 已知向量，滿足，，則 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】分析：根據(jù)向量模的性質以及向量乘法得結果. 詳解：因為 所以選B

4、. 點睛：向量加減乘： 5. 從2名男同學和3名女同學中任選2人參加社區(qū)服務，則選中的2人都是女同學的概率為 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：分別求出事件“2名男同學和3名女同學中任選2人參加社區(qū)服務”的總可能及事件“選中的2人都是女同學”的總可能，代入概率公式可求得概率. 詳解：設2名男同學為，3名女同學為， 從以上5名同學中任選2人總共有共10種可能， 選中的2人都是女同學的情況共有共三種可能 則選中的2人都是女同學的概率為， 故選D. 點睛：應用古典概型求某事件的步驟：第一步，判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出事件；

5、第二步，分別求出基本事件的總數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個數(shù)；第三步，利用公式求出事件的概率. 6. 雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：根據(jù)離心率得a,c關系，進而得a,b關系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結果. 詳解： 因為漸近線方程為，所以漸近線方程為，選A. 點睛：已知雙曲線方程求漸近線方程：. 7. 在中，，，，則 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：先根據(jù)二倍角余弦公式求cosC,再根據(jù)余弦定理求AB. 詳解：因為 所以，選A. 點睛

6、：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結合已知條件靈活轉化邊和角之間的關系，從而達到解決問題的目的. 8. 為計算，設計了右側的程序框圖，則在空白框中應填入 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：根據(jù)程序框圖可知先對奇數(shù)項累加，偶數(shù)項累加，最后再相減.因此累加量為隔項. 詳解：由得程序框圖先對奇數(shù)項累加，偶數(shù)項累加，最后再相減.因此在空白框中應填入，選B. 點睛：算法與流程圖的考查，側重于對流程圖循環(huán)結構的考查.先明晰算法及流程圖的相關概念，包括選擇結構、循環(huán)結構、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)

7、規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學問題，是求和還是求項. 9. 在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：利用正方體中，，將問題轉化為求共面直線與所成角的正切值，在中進行計算即可. 詳解：在正方體中，， 所以異面直線與所成角為， 設正方體邊長為， 則由為棱的中點，可得， 所以 則. 故選C. 點睛：求異面直線所成角主要有以下兩種方法： （1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個平面中；②利用邊角關系，找到（或構造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關系，用余

8、弦定理求角. （2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因為直線夾角為銳角，所以②對應的余弦取絕對值即為直線所成角的余弦值. 10. 若在是減函數(shù)，則的最大值是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：先確定三角函數(shù)單調減區(qū)間，再根據(jù)集合包含關系確定的最大值 詳解：因為， 所以由得 因此，從而的最大值為，選A. 點睛：函數(shù)的性質： (1). (2)周期 (3)由 求對稱軸， (4)由求增區(qū)間; 由求減區(qū)間. 11. 已知，是橢圓的兩個焦點，是上的一點，若，且，則的離心率為 A. B. C.

9、 D. 【答案】D 【解析】分析：設，則根據(jù)平面幾何知識可求，再結合橢圓定義可求離心率. 詳解：在中， 設，則， 又由橢圓定義可知 則離心率， 故選D. 點睛：橢圓定義的應用主要有兩個方面：一是判斷平面內動點與兩定點的軌跡是否為橢圓，二是利用定義求焦點三角形的周長、面積、橢圓的弦長及最值和離心率問題等；“焦點三角形”是橢圓問題中的?？贾R點，在解決這類問題時經(jīng)常會用到正弦定理，余弦定理以及橢圓的定義. 12. 已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足．若，則 A. B. 0 C. 2 D. 50 【答案】C 【解析】分析：先根據(jù)奇函數(shù)性質以及對稱性確定函數(shù)

10、周期，再根據(jù)周期以及對應函數(shù)值求結果. 詳解：因為是定義域為的奇函數(shù)，且， 所以, 因此， 因為，所以， ，從而，選C. 點睛：函數(shù)的奇偶性與周期性相結合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉化到已知解析式的函數(shù)定義域內求解． 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。、 13. 曲線在點處的切線方程為__________． 【答案】y=2x–2 【解析】分析：求導，可得斜率，進而得出切線的點斜式方程. 詳解：由，得 則曲線在點處的切線的斜率為， 則所求切線方程為，即. 點睛：求曲線在某點處的切線方程的步驟：①求出函數(shù)在該點

11、處的導數(shù)值即為切線斜率；②寫出切線的點斜式方程；③化簡整理. 14. 若滿足約束條件 則的最大值為__________． 【答案】9 【解析】分析：作出可行域，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義可知當時，. 點睛：線性規(guī)劃問題是高考中常考考點，主要以選擇及填空的形式出現(xiàn)，基本題型為給出約束條件求目標函數(shù)的最值，主要結合方式有：截距型、斜率型、距離型等. 15. 已知，則__________． 【答案】 【解析】分析：利用兩角差的正切公式展開，解方程可得. 詳解：， 解方程得. 點睛：本題主要考查學生對于兩角和差公式的掌握情況，屬于簡單題型，解決此類問題的核心是要公式記憶準確，

12、特殊角的三角函數(shù)值運算準確. 16. 已知圓錐的頂點為，母線，互相垂直，與圓錐底面所成角為，若的面積為，則該圓錐的體積為__________． 【答案】8π 【解析】分析：作出示意圖，根據(jù)條件分別求出圓錐的母線，高，底面圓半徑的長，代入公式計算即可. 詳解：如下圖所示， 又， 解得，所以， 所以該圓錐的體積為. 點睛：此題為填空題的壓軸題，實際上并不難，關鍵在于根據(jù)題意作出相應圖形，利用平面幾何知識求解相應線段長，代入圓錐體積公式即可. 三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23為選考題?？忌?/p>

13、根據(jù)要求作答。 （一）必考題：共60分。 17. 記為等差數(shù)列的前項和，已知，． （1）求的通項公式； （2）求，并求的最小值． 【答案】解： （1）設{an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–15． 由a1=–7得d=2． 所以{an}的通項公式為an=2n–9． （2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16． 所以當n=4時，Sn取得最小值，最小值為–16． 【解析】分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，求出公差，再代入等差數(shù)列通項公式得結果，（2）根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式得的二次函數(shù)關系式，根據(jù)二次函數(shù)對稱軸以及自變量為正整數(shù)求函數(shù)最值.

14、 詳解：（1）設{an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–15． 由a1=–7得d=2． 所以{an}的通項公式為an=2n–9． （2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16． 所以當n=4時，Sn取得最小值，最小值為–16． 點睛：數(shù)列是特殊的函數(shù)，研究數(shù)列最值問題，可利用函數(shù)性質，但要注意其定義域為正整數(shù)集這一限制條件. 18. 下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額（單位：億元）的折線圖． 為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型①

15、：；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型②：． （1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值； （2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由． 【答案】解： （1）利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為 =–30.4+13.5×19=226.1（億元）． 利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為 =99+17.5×9=256.5（億元）． （2）利用模型②得到的預測值更可靠． 理由如下： （i）從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)

16、據(jù)對應的點沒有隨機散布在直線y=–30.4+13.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢．2010年相對2009年的環(huán)境基礎設施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎設施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預測值更可靠． （ii）從計算結果看，相對于2016年的環(huán)境基礎設施投資額220億元，由模型①得到的預測值226.1億

17、元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預測值更可靠． 以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分． 【解析】分析：（1）兩個回歸直線方程中無參數(shù)，所以分別求自變量為2018時所對應的函數(shù)值，就得結果，（2）根據(jù)折線圖知2000到2009，與2010到2016是兩個有明顯區(qū)別的直線，且2010到2016的增幅明顯高于2000到2009，也高于模型1的增幅，因此所以用模型2更能較好得到2018的預測. 詳解：（1）利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為 =–30.4+13.5×19=226.1（億元

18、）． 利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為 =99+17.5×9=256.5（億元）． （2）利用模型②得到的預測值更可靠． 理由如下： （i）從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點沒有隨機散布在直線y=–30.4+13.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢．2010年相對2009年的環(huán)境基礎設施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎設施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建

19、立的線性模型=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預測值更可靠． （ii）從計算結果看，相對于2016年的環(huán)境基礎設施投資額220億元，由模型①得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預測值更可靠． 以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分． 點睛：若已知回歸直線方程，則可以直接將數(shù)值代入求得特定要求下的預測值；若回歸直線方程有待定參數(shù)，則根據(jù)回歸直線方程恒過點求參數(shù). 19. 如圖，在三棱錐中，，，為的中點． （1）證明：平面；

20、 （2）若點在棱上，且，求點到平面的距離． 【答案】解： （1）因為AP=CP=AC=4，O為AC的中點，所以OP⊥AC，且OP=． 連結OB．因為AB=BC=，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2． 由知，OP⊥OB． 由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC． （2）作CH⊥OM，垂足為H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM． 故CH的長為點C到平面POM的距離． 由題設可知OC==2，CM==，∠ACB=45°． 所以OM=，CH==． 所以點C到平面POM的距離為． 【解析】分析：（1）連接，欲證平面，只需證

21、明即可；（2）過點作，垂足為，只需論證的長即為所求，再利用平面幾何知識求解即可. 詳解：（1）因為AP=CP=AC=4，O為AC的中點，所以OP⊥AC，且OP=． 連結OB．因為AB=BC=，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2． 由知，OP⊥OB． 由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC． （2）作CH⊥OM，垂足為H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM． 故CH的長為點C到平面POM的距離． 由題設可知OC==2，CM==，∠ACB=45°． 所以OM=，CH==． 所以點C到平面POM的距離為． 點睛：立體幾何解答題在高

22、考中難度低于解析幾何，屬于易得分題，第一問多以線面的證明為主，解題的核心是能將問題轉化為線線關系的證明；本題第二問可以通過作出點到平面的距離線段求解，也可利用等體積法解決. 20. 設拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于，兩點，． （1）求的方程； （2）求過點，且與的準線相切的圓的方程． 【答案】解： （1）由題意得F（1，0），l的方程為y=k（x–1）（k>0）． 設A（x1，y1），B（x2，y2）． 由得． ，故． 所以． 由題設知，解得k=–1（舍去），k=1． 因此l的方程為y=x–1． （2）由（1）得AB的中點坐標為（3，2）

23、，所以AB的垂直平分線方程為 ，即． 設所求圓的圓心坐標為（x0，y0），則 解得或 因此所求圓的方程為 或． 詳解：（1）由題意得F（1，0），l的方程為y=k（x–1）（k>0）． 設A（x1，y1），B（x2，y2）． 由得． ，故． 所以． 由題設知，解得k=–1（舍去），k=1． 因此l的方程為y=x–1． （2）由（1）得AB的中點坐標為（3，2），所以AB的垂直平分線方程為 ，即． 設所求圓的圓心坐標為（x0，y0），則 解得或 因此所求圓的方程為 或． 點睛：確定圓的方程方法 (1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和

24、半徑，進而寫出方程． (2)待定系數(shù)法 ①若已知條件與圓心和半徑有關，則設圓的標準方程依據(jù)已知條件列出關于的方程組，從而求出的值； ②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關于D、E、F的方程組，進而求出D、E、F的值． 21. 已知函數(shù)． （1）若，求的單調區(qū)間； （2）證明：只有一個零點． 【答案】解： （1）當a=3時，f（x）=，f ′（x）=． 令f ′（x）=0解得x=或x=． 當x∈（–∞，）∪（，+∞）時，f ′（x）>0； 當x∈（，）時，f ′（x）<0． 故f（x）在（–∞，），（，+∞）

25、單調遞增，在（，）單調遞減． （2）由于，所以等價于． 設=，則g ′（x）=≥0，僅當x=0時g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）單調遞增．故g（x）至多有一個零點，從而f（x）至多有一個零點． 又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一個零點． 綜上，f（x）只有一個零點． 【解析】分析：（1）將代入，求導得，令求得增區(qū)間，令求得減區(qū)間；（2）令，即，則將問題轉化為函數(shù)只有一個零點問題，研究函數(shù)單調性可得. 詳解：（1）當a=3時，f（x）=，f ′（x）=． 令f ′（x）=0解得x=或x=． 當x∈（–∞，）∪（，+∞）時，f ′（x）>0；

26、 當x∈（，）時，f ′（x）<0． 故f（x）在（–∞，），（，+∞）單調遞增，在（，）單調遞減． （2）由于，所以等價于． 設=，則g ′（x）=≥0，僅當x=0時g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）單調遞增．故g（x）至多有一個零點，從而f（x）至多有一個零點． 又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一個零點． 綜上，f（x）只有一個零點． 點睛：（1）用導數(shù)求函數(shù)單調區(qū)間的步驟如下：①確定函數(shù)的定義域；②求導數(shù)；③由（或）解出相應的的取值范圍，當時，在相應區(qū)間上是增函數(shù)；當時，在相應區(qū)間上是減增函數(shù). （2）本題第二問重在考查零點存在性問題，解

27、題的關鍵在于將問題轉化為求證函數(shù)有唯一零點，可先證明其單調，再結合零點存在性定理進行論證. （二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。 22. [選修4－4：坐標系與參數(shù)方程] 在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）． （1）求和的直角坐標方程； （2）若曲線截直線所得線段的中點坐標為，求的斜率． 【答案】解： （1）曲線的直角坐標方程為． 當時，的直角坐標方程為， 當時，的直角坐標方程為． （2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標方程，整理得關于的方程 ．① 因為曲線

28、截直線所得線段的中點在內，所以①有兩個解，設為，，則． 又由①得，故，于是直線的斜率． 【解析】分析：(1)根據(jù)同角三角函數(shù)關系將曲線的參數(shù)方程化為直角坐標方程，根據(jù)代入消元法將直線的參數(shù)方程化為直角坐標方程，此時要注意分 與兩種情況.(2)將直線參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程，根據(jù)參數(shù)幾何意義得之間關系，求得，即得的斜率． 詳解：（1）曲線的直角坐標方程為． 當時，的直角坐標方程為， 當時，的直角坐標方程為． （2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標方程，整理得關于的方程 ．① 因為曲線截直線所得線段的中點在內，所以①有兩個解，設為，，則． 又由①得，故，于是直線的斜率． 點睛：

29、直線的參數(shù)方程的標準形式的應用 過點M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程是.(t是參數(shù)，t可正、可負、可為0) 若M1，M2是l上的兩點，其對應參數(shù)分別為t1，t2，則 (1)M1，M2兩點的坐標分別是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α). (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若線段M1M2的中點M所對應的參數(shù)為t，則t＝，中點M到定點M0的距離|MM0|＝|t|＝. (4)若M0為線段M1M2的中點，則t1＋t2＝0. 23. [選修4－5：不等式選講] 設函數(shù)． （1）當時，求不

30、等式的解集； （2）若，求的取值范圍． 【答案】解： （1）當時， 可得的解集為． （2）等價于． 而，且當時等號成立．故等價于． 由可得或，所以的取值范圍是． 【解析】分析：（1）先根據(jù)絕對值幾何意義將不等式化為三個不等式組，分別求解，最后求并集，（2）先化簡不等式為，再根據(jù)絕對值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范圍． 詳解：（1）當時， 可得的解集為． （2）等價于． 而，且當時等號成立．故等價于． 由可得或，所以的取值范圍是． 點睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運用分類討論思想，法二是運用數(shù)形結合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強化函數(shù)、數(shù)形結合與轉化化歸思想方法的靈活應用，這是命題的新動向．  河北、山東、甘肅、陜西、內蒙古、北京、天津 資源投稿 qq：2355394501