精修版貴州省貴陽市九年級數(shù)學競賽講座 02第二講 判別式——二次方程根的檢測器

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1、精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 為了檢查產(chǎn)品質(zhì)量是否合格，工廠里通常使用各種檢驗儀器，為了辨別鈔票的真?zhèn)?，銀行里常常使用驗鈔機，類似地，在解一元二次方程有關問題時，最好能知道根的特性：如是否有實數(shù)根，有幾個實數(shù)根，根的符號特點等．我們形象地說，判別式是一元二次方程根的“檢測器”，在以下方面有著廣泛的應用： 利用判別式，判定方程實根的個數(shù)、根的特性； 運用判別式，建立等式、不等式，求方程中參數(shù)或參數(shù)的取值范圍； 通過判別式，證明與方程相關的代數(shù)問題； 借助判別式，運用一元二次方程必定

2、有解的代數(shù)模型，解幾何存在性問題、最值問題． 【例題求解】 【例1】 已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，那么的取值范圍是 ． (廣西中考題) 思路點撥 利用判別式建立關于的不等式組，注意、的隱含制約． 注：運用判別式解題，需要注意的是： (1)解含參數(shù)的二次方程，必須注意二次項系數(shù)不為0的隱含制約； (2)在解涉及多個二次方程的問題時，需在整體方法、降次消元等方法思想的引導下，綜合運用方程、不等式的知識． 【例2】 已知三個關于的方程：，和，若其中至少有兩個方程有實根，則實數(shù)的

3、取值范圍是( ) A． B．或 C． D． （山東省競賽題） 思路點撥 “至少有兩個方程有實根”有多種情形，從分類討論人手，解關于的不等式組，綜合判斷選擇． 【例3】 已知關于的方程， (1)求證：無論取任何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根； (2)若等腰三角形△ABC的一邊長＝1，另兩邊長、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長． (湖北省荊門市中考題) 思路點撥 對于(1)只需證明△≥0；對于(2)由于未指明底與腰，須分或、中有一個與c相等兩種情況討論，運用判別式、根的定義求出、的值

4、． 注：（1）涉及等腰三角形的考題，需要分類求解，這是命題設計的一個熱點，但不一定每個這類題均有多解，還須結合三角形三邊關系定理予以取舍． （2）運用根的判別式討論方程根的個數(shù)為人所熟悉，而組合多個判別式討論方程多個根(三個以上)是近年中考，競賽依托判別式的創(chuàng)新題型，解這類問題常用到換元、分類討論等思想方法． 【例4】 設方程，只有3個不相等的實數(shù)根，求的值和相應的3個根． (重慶市競賽題) 思路點撥 去掉絕對值符號，原方程可化為兩個一元二次方程．原方程只有3個不相等的

5、實數(shù)根，則其中一個判別式大于零，另一個判別式等于零． 【例5】已知：如圖，矩形ABCD中，AD＝，DC＝，在 AB上找一點E，使E點與C、D的連線將此矩形分成的三個三角形相似，設AE＝，問：這樣的點E是否存在?若存在， 這樣的點E有幾個?請說明理由． (云南省中考題) 思路點撥 要使Rt△ADE、Rt△BEC、Rt△ECD彼此相似，點E必須滿足∠AED+∠BEC＝90，為此，可設在AE上存在滿足條件的點E使得Rt△ADE∽Rt△BEC，建立一元二次方程的數(shù)學模型，通過判別式討論點E的存在與否及存在的個數(shù)．

6、 注：有些與一元二次方程表面無關的問題，可通過構造方程為判別式的運用鋪平道路，常見的構造方法有： (1)利用根的定義構造； (2)利用根與系數(shù)關系構造； (3)確定主元構造． 學力訓練 1．已知，若方程有兩個相等的實數(shù)根，則= ． 2．若關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是 ． (遼寧省中考題) 3．已知關于方程有兩個不相等的實數(shù)解，化簡= ． 4．若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是( ) A． B． C．且 D．且 (山西省中考題) 5．已知一直角三角形的三邊

7、為、、，∠B＝90，那么關于的方程的根的情況為( ) A．有兩個相等的實數(shù)根 B．沒有實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法確定 (河南省中考題) 6．如果關于的方程只有一個實數(shù)根，那么方程的根的情況是( ) A．沒有實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．有兩個相等的實數(shù)根 D．只有一個實數(shù)根

8、 (2003年河南省中考題) 7．在等腰三角形ABC中，∠ A、∠B、∠C的對邊分別為、、，已知，和是 關于的方程的兩個實數(shù)根，求△ABC的周長． (濟南市中考題) 8．已知關于的方程 (1)求證：無論m取什么實數(shù)，方程總有實數(shù)根； (2)如果方程的兩實根分別為、，滿足=3，求實數(shù)的值． (鹽城市中考題) 9．、為實數(shù)，關于的方程有三個不等的實數(shù)根． (1)求證：； (2)若該方程的三個不等實根，恰為一個三角形三內(nèi)角

9、的度數(shù)，求證該三角形必有一個內(nèi)角是60； (3)若該方程的三個不等實根恰為一直角三角形的三條邊，求和的值． (江蘇省蘇州市中考題) 10．關于的兩個方程，中至少有一個方程有實根，則m的取值范圍是 ． (2002年四川省競賽題) 11．當= ，= 時，方程有實數(shù)根． (全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題) 12．若方程有且只有相異二實根，則的取值范圍是 ． 13．如果關于的方程沒有實數(shù)根，那么關于的方程的實根的個數(shù)( )

10、 A．2 B．1 C．0 D．不能確定 14．已知一元二次方程，且、可在1、2、3、4、5中取值，則在這些方程中有實數(shù)根的方程共有( ) A12個 B．10個 C． 7個 D．5個 (河南省中考題) 15．已知△ABC的三邊長為a、b、c，且滿足方程，則方程根的情況是( ) A．有兩相等實根 B．有兩相異實根 C．無實根 D．不能確定 (河北省競賽

11、題) 16．若a、b、c、d>0，證明：在方程①；②；③；④中，至少有兩個方程有兩個不相等的實數(shù)根． (湖北省黃岡市競賽題) 17．已知三個實數(shù)a、b、c滿足，abc＝1，求證：a、b、c中至少有一個大于 18．關于的方程有有理根，求整數(shù)是的值． (山東省競賽題) 19．考慮方程① (1)若=24，求一個實數(shù)，使得恰有3個不同的實數(shù)滿足①式． (2)若≥25，是否存在實數(shù)，使得恰有3個不同的實數(shù)滿足①式?說明你的結論． (國家理科實驗班招生試題) 20．如圖，已知邊長為的正方形ABCD內(nèi)接于邊長為的正方形EFGH，試求的取值范圍． 參考答案 最新精品資料