【走向高考】全國通用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題15 圓錐曲線含解析

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1、【走向高考】（全國通用）2016高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題15 圓錐曲線一、選擇題1(2015四川文，7)過雙曲線x21的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，則|AB|()A.B2C6D4答案D解析由題意，a1，b，故c2，漸近線方程為yx，將x2代入漸近線方程，得y1,22，故|AB|4，選D.2設(shè)P是橢圓1上一點(diǎn)，M、N分別是兩圓：(x2)2y21和(x2)2y21上的點(diǎn)，則|PM|PN|的最小值，最大值分別為()A4,8B2,6C6,8D8,12答案A解析如圖，由橢圓及圓的方程可知兩圓圓心分別為橢圓的兩個焦點(diǎn)，由橢圓定義知|PA|PB|2a6

2、，連接PA，PB，分別與兩圓相交于M、N兩點(diǎn)，此時|PM|PN|最小，最小值為|PA|PB|2R4；連接PA，PB并延長，分別與兩圓相交于M、N兩點(diǎn)，此時|PM|PN|最大，最大值為|PA|PB|2R8，即最小值和最大值分別為4、8.方法點(diǎn)撥涉及橢圓(或雙曲線)兩焦點(diǎn)距離的問題或焦點(diǎn)弦問題，及到拋物線焦點(diǎn)(或準(zhǔn)線)距離的問題，可優(yōu)先考慮圓錐曲線的定義3(文)(2015唐山一模)已知拋物線的焦點(diǎn)F(a,0)(a0)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()Ay22axBy24axCy22axDy24ax答案B解析設(shè)拋物線方程為y2mx，由焦點(diǎn)為F(a,0)，a0知m0)，直線方程為xmy，代入拋物線方程得y22

3、pmyp20，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，得x1x2y1y2y1y2m2y1y2(y1y2)y1y2p212p4，即拋物線C的方程為y28x.方法點(diǎn)撥求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程時“先定型，后計算”，即先確定是何種曲線，焦點(diǎn)在哪個軸上，然后利用條件求a、b、p的值4(文)(2015南昌市一模)以坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱中心，兩坐標(biāo)軸為對稱軸的雙曲線C的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線C的離心率為()A2或B2或C.D2答案B解析(1)當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時，由題意知雙曲線C：1(a0，b0)的漸近線方程為yx，所以tan，所以ba，c2a，故雙曲線C的離心率e2；(2)當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時，由題意知

4、雙曲線C：1(a0，b0)的漸近線方程為yx，所以tan，所以ab，c2b，故雙曲線C的離心率e.綜上所述，雙曲線C的離心率為2或.(理)(2015東北三省三校二模)已知雙曲線1(a0，b0)的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，以F1F2為直徑的圓被直線1截得的弦長為a，則雙曲線的離心率為()A3B2 C. D.答案D解析由已知得：O(0,0)到直線1的距離為：d，由題意得：2d2r2即22c2整理得：c4a2c2a40，即e4e210，解得：e22或e2(舍)，e.方法點(diǎn)撥1.求橢圓、雙曲線的離心率問題，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a、b、c的關(guān)系，然后將b用a、c代換，求e的值；另外要注意雙曲線的漸近線

5、與離心率的關(guān)系2注意圓錐曲線的對稱性在解題中的應(yīng)用5(文)設(shè)F1、F2分別是橢圓E：x21(0b0，b0)和橢圓1(mn0)有共同的焦點(diǎn)F1、F2，P是兩條曲線的一個交點(diǎn)，則|PF1|PF2| ()Am2a2 B. C.(ma) D. ma答案D解析不妨設(shè)F1、F2分別為左、右焦點(diǎn)，P在雙曲線的右支上，由題意得|PF1|PF2|2，|PF1|PF2|2，|PF1|，|PF2|，故|PF1|PF2|ma.7(文)(2015湖南文，6)若雙曲線1的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，則此雙曲線的離心率為()A. B. C. D.答案D解析考查雙曲線的幾何性質(zhì)由題設(shè)利用雙曲線的漸近線方程經(jīng)過的點(diǎn)(3，4)，

6、得到a、b關(guān)系式，然后求出雙曲線的離心率即可因?yàn)殡p曲線1的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，3b4a，9(c2a2)16a2，e，故選D.(理)(2015重慶文，9)設(shè)雙曲線1(a0，b0)的右焦點(diǎn)是F，左、右頂點(diǎn)分別是A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點(diǎn)若A1BA2C，則該雙曲線的漸近線的斜率為()AB C1D答案C解析考查雙曲線的幾何性質(zhì)由已知得右焦點(diǎn)F(c,0)(其中c2a2b2，c0)，A1(a,0)，A2(a,0)；B(c，)，C(c，)；從而A1B(ca，)，(ca，)，又因?yàn)锳1BA2C，所以A1BA2C0，即(ca)(ca)()()0；化簡得到11，即雙曲線的漸近線

7、的斜率為1；故選C.8(2015新課標(biāo)理，5)已知M(x0，y0)是雙曲線C：y21上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點(diǎn)若0，不妨設(shè)A(，a)，B(，a)，C(x0，x)，則(x0，ax)，(x0，ax)，ACB90.(x0，ax)(x0，ax)0.xa(ax)20，且xa0.(ax)(ax1)0，ax10.xa1，又x0.a1.(理)如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a、b(a0)經(jīng)過C、F兩點(diǎn)，則_.答案1解析由題可得C(，a)，F(xiàn)(b，b)，C、F在拋物線y22px上，1，故填1.10(文)(2015湖南理，13)設(shè)F是雙曲線C：1的一個焦點(diǎn)若C上存在點(diǎn)P，使線段PF的中點(diǎn)恰

8、為其虛軸的一個端點(diǎn)，則C的離心率為_答案解析考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)根據(jù)對稱性，不妨設(shè)F(c,0)，短軸端點(diǎn)為(0，b)，從而可知點(diǎn)(c,2b)在雙曲線上，1e.(理)(2015南昌市二模)過原點(diǎn)的直線l與雙曲線C：1(a0，b0)的左右兩支分別相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)(，0)是雙曲線C的左焦點(diǎn)，若|FA|FB|4，0，則雙曲線C的方程是_答案y21解析由已知得：c，F(xiàn)AFB，設(shè)右焦點(diǎn)為F1，則四邊形FAF1B為矩形，|AB|2c2且|FA|2|FB|2(|FA|FB|)22|FA|FB|162|FA|FB|，|AB|2|FA|2|FB|2，|FA|FB|2，(|FA|FB|)2(|FA|FB

9、|)24|FA|FB|8，|FA|FB|2，即|AF|AF1|2，a，b21，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.三、解答題11(文)(2015湖南文，20)已知拋物線C1：x24y的焦點(diǎn)F也是橢圓C2：1(ab0)的一個焦點(diǎn)，C1與C2的公共弦的長為2.過點(diǎn)F的直線l與C1相交于A，B兩點(diǎn)，與C2相交于C，D兩點(diǎn)，且與同向(1)求C2的方程；(2)若|AC|BD|，求直線l的斜率分析考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；橢圓的性質(zhì)和轉(zhuǎn)化思想，設(shè)而不求、整體代換思想及運(yùn)算求解能力等(1)由F也是橢圓C2的一個焦點(diǎn)及C1與C2的公共弦長列方程組求解；(2) 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D

10、(x4，y4)，根據(jù)，可得，(x3x4)24x3x4(x1x2)24x1x2，設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為ykx1，聯(lián)立直線與拋物線方程、直線與橢圓方程、利用韋達(dá)定理進(jìn)行計算即可得到結(jié)果解析(1)由C1：x24y知其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,1)，因?yàn)镕也是橢圓C2的一個焦點(diǎn)，所以a2b21 ；又C1與C2的公共弦長為2，C1與C2都關(guān)于y軸對稱，且C1的方程為：x24y，由此易知C1與C2的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)，1，聯(lián)立得a29，b28，故C2的方程為1.(2)如圖，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)， 因與同向，且|AC|BD|，所以，從而x3x1x4x

11、2，即x3x4x1x2，于是(x3x4)24x3x4(x1x2)24x1x2設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為ykx1，由得x24kx40，由x1，x2是這個方程的兩根，x1x24k，x1x24由得(98k2)x216kx640，而x3，x4是這個方程的兩根，x3x4，x3x4 將、代入，得16(k21).即16(k21)，所以(98k2)2169，解得k，即直線l的斜率為.(理)(2015洛陽市期末)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，一個焦點(diǎn)與拋物線y24x的焦點(diǎn)重合，直線l：ykxm與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，kOAkOB，判斷AOB的面積是否為

12、定值？若是，求出定值，若不是，說明理由解析(1)由題意得c1，又e，所以a2，從而b2a2c23，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(34k2)x28mkx4(m23)0，由(8mk)216(34k2)(m23)0得m20.由弦長公式得|AB|x1x2|.又點(diǎn)O到直線l：ykxm的距離d，所以SAOBd|AB|，故AOB的面積為定值.12(文)(2014東北三校二模)已知圓M：x2(y2)21，直線l：y1，動圓P與圓M相外切，且與直線l相切設(shè)動圓圓心P的軌跡為E.(1)求E的方程；(2)若點(diǎn)A，B是E上的兩個動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且16，求證：直線AB

13、恒過定點(diǎn)解析(1)O的圓心M(0,2)，半徑r1，設(shè)動圓圓心P(x，y)，由條件知|PM|1等于P到l的距離，|PM|等于P到直線y2的距離，P點(diǎn)軌跡是以M(0,2)為焦點(diǎn)，y2為準(zhǔn)線的拋物線方程為x28y.(2)設(shè)直線AB：ykxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)將直線AB的方程代入到x28y中得x28kx8b0，所以x1x28k，x1x28b，又因?yàn)閤1x2y1y2x1x28bb216b4所以直線BC恒過定點(diǎn)(0,4)(理)(2014山東理，21)已知拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l交C于另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸于點(diǎn)D，且有|FA|FD

14、|.當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時，ADF為正三角形(1)求C的方程；(2)若直線l1l，且l1和C有且只有一個公共點(diǎn)E，()證明：直線AE過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；()ABE的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由解析(1)由題意知F(，0)，設(shè)D(t,0)(t0)，則FD的中點(diǎn)為(，0)因?yàn)閨FA|FD|，由拋物線的定義知3|t|，解得t3p或t3(舍去)，由3，解得p2.所以拋物線C的方程為y24x.(2)()由(1)知F(1,0)設(shè)A(x0，y0)(x0y00)，D(xD,0)(xD0)，因?yàn)閨FA|FD|，得|xD1|x01，由xD0得xDx02，故D(x02,0)故直線

15、AB的斜率kAB.因?yàn)橹本€l1和直線AB平行，設(shè)直線l1的方程為yxb，代入拋物線方程得y2y0，由題意0，得b，設(shè)E(xE，yE)，則yE，xE.當(dāng)y4時，kAE，可得直線AE的方程為yy0(xx0)，由y4x0，整理可得y(x1)，故直線AE恒過點(diǎn)F(1,0)當(dāng)y4時，直線AE的方程為x1，過點(diǎn)F(1,0)所以直線AE過定點(diǎn)F(1,0)()由()知直線AE過焦點(diǎn)F(1,0)，所以|AE|AF|FE|(x01)(1)x02.設(shè)直線AE的方程為xmy1，因?yàn)辄c(diǎn)A(x0，y0)在直線AE上，故m.設(shè)B(x1，y1)直線AB的方程為yy0(xx0)，由于y00，可得xy2x0，代入拋物線方程得y2

16、y84x00.所以y0y1，可求得y1y0，x1x04.所以點(diǎn)B到直線AE的距離為d4()則ABE的面積S4()(x02)16，當(dāng)且僅當(dāng)x0，即x01時等號成立所以ABE的面積的最小值為16.方法點(diǎn)撥定點(diǎn)問題的求解策略把直線或曲線方程中的變量x、y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然直線或曲線過定點(diǎn)，那么這個方程就要對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關(guān)于x、y的方程組，這個方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn)13(文)(2014甘肅省三診)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線xy0相切(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(

17、2)若直線l：ykxm與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且kOAkOB，試判斷AOB的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由解析(1)由題意知e，e2，即a2b2，又b，a24，b23，故橢圓的方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(34k2)x28mkx4(m23)0，64m2k216(34k2)(m23)0,34k2m20.x1x2，x1x2.y1y1(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.kOAkOB，y1y2x1x2，2m24k23，|AB|.d，S|AB|d.方法點(diǎn)撥定值問題的求解策略(1)在解析幾何中，有些幾何量與參數(shù)無關(guān)，這就是“定

18、值”問題，解決這類問題常通過取特殊值，先確定“定值”是多少，再進(jìn)行證明，或者將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再證明該式是與變量無關(guān)的常數(shù)，或者由該等式與變量無關(guān)，令其系數(shù)等于零即可得到定值(2)求解定值問題的三個步驟由特例得出一個值，此值一般就是定值；證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；得出結(jié)論(理)橢圓C：1(ab0)的離心率e，ab3.(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，A、B、D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m，證明：2mk為定

19、值解析(1)因?yàn)閑，所以ac，bc.代入ab3得，c，a2，b1.故橢圓的方程為y21.(2)方法一：因?yàn)锽(2,0)，P不為橢圓頂點(diǎn)，則直線BP的方程為yk(x2)(k0，k)代入y21，解得P(，)直線AD的方程為：yx1.與聯(lián)立解得M(，)，由D(0,1)，P(，)，N(x,0)三點(diǎn)共線知，解得N(，0)所以MN的斜率為m，則2mkk(定值)(2)方法二：設(shè)P(x0，y0)(x00，2)，則k，直線AD的方程為：y(x2)直線BP的方程為y(x2)，直線DP的方程為：y1x，令y0，由于y01可得N(，0)聯(lián)立解得M(，)，因此MN的斜率為m，所以2mk(定值)14(文)(2015遼寧葫

20、蘆島市一模)設(shè)橢圓C：1(ab0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為，過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.(1)求橢圓C的方程；(2)直線l：ykxt(t0)與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，線段MN的垂直平分線與y軸交點(diǎn)P，求MON(O為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最大值解析(1)e，a23c23a23b2，2a23b2將xc代入橢圓方程得：y2，y，由題意：，2ab2 ，解得：a23，b22橢圓C的方程為：1(2)聯(lián)立方程組：消去y整理得：(3k22)x26ktx3t26036k2t24(3k22)(3t26)24(3k22t2)0，3k22t2設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1，x2是方程的兩個解，由

21、韋達(dá)定理得：x1x2， y1y2k(x1x2)2t2t設(shè)MN的中點(diǎn)為G(x0，y0)，則x0，y0線段MN的垂直平分線方程為：y將P代入得：化簡得：3k224t代入式得：4tt2，0t0，b0)的兩條漸近線分別為l1：y2x，l2：y2x.(1)求雙曲線E的離心率；(2)如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動直線l分別交直線l1、l2于A，B兩點(diǎn)(A、B分別在第一、四象限)，且OAB的面積恒為8.試探究：是否存在總與直線l有且只有一個公共點(diǎn)的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程；若不存在，說明理由解析(1)雙曲線E的漸近線分別為y2x，y2x，2，2，故ca，從而雙曲線E的離心率e.(2)由(1)知，雙曲線E

22、的方程為1.設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)C，當(dāng)lx軸時，若直線l與雙曲線E只有一個公共點(diǎn)，則|OC|a，|AB|4a，又OAB的面積為8，|OC|AB|8，因此a4a8，解得a2，此時雙曲線E的方程為1，若存在滿足條件的雙曲線E，則E的方程只能是1.以下證明：當(dāng)直線l與x軸不垂直時，雙曲線E：1也滿足條件，設(shè)直線l的方程為ykxm，依題意得k2或k2，則C(，0)，記A(x1，y1)、B(x2，y2)由得y1，同理得y2.由SOAB|OC|y1y2|得|8，即m24|4k2|4(k24)，由得，(4k2)x22kmxm2160，4k204k2m24(4k2)(m216)16(4k2m216)，又m2

23、4(k24)，0，即直線l與雙曲線E有且只有一個公共點(diǎn)，因此，存在總與l有且只有一個公共點(diǎn)的雙曲線E，且E的方程為1.方法點(diǎn)撥1.求曲線的軌跡方程時，先看軌跡的形狀是否預(yù)知，若能依據(jù)條件確定其形狀，可用定義法或待定系數(shù)法求解；若動點(diǎn)P與另一動點(diǎn)Q有關(guān)，Q在已知曲線上運(yùn)動，可用代入法求動點(diǎn)P的軌跡方程；否則用直譯法求解2存在性問題主要體現(xiàn)在以下幾方面：(1)點(diǎn)是否存在；(2)曲線是否存在；(3)命題是否成立解決這類問題的一般思路是先假設(shè)存在滿足題意的元素，經(jīng)過推理論證，如果可以得到成立的結(jié)果，就可以作出存在的結(jié)論；若得到與已知條件、定義、公理、定理、性質(zhì)相矛盾的結(jié)論，則說明假設(shè)不存在，其一般步驟為：