同步優(yōu)化探究文數(shù)北師大版練習：第四章 第二節(jié)　平面向量的基本定理及坐標表示 Word版含解析

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1、課時作業(yè) A組——基礎(chǔ)對點練 1．已知點A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，則向量＝(　　) A．(－7，－4)　　　　　　 B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) 解析：設(shè)C(x，y)，則＝(x，y－1)＝(－4，－3)， 所以從而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)． 故選A. 答案：A 2．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，則2a－b＝(　　) A．(5,7) B．(5,9) C．(3,7) D．(3,9) 解析：由a＝(2,4)知2a＝(4,8)，所以2a－b＝(4,8)－(－1,1)＝(5,7)．故選A. 答案：

2、A 3．設(shè)向量a＝(2,4)與向量b＝(x,6)共線，則實數(shù)x＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：由向量a＝(2,4)與向量b＝(x,6)共線，可得4x＝26，解得x＝3. 答案：B 4．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，則等于(　　) A．－2 B．2 C．－ D. 解析：由題意得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)，∵(ma＋nb)∥(a－2b)，∴－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0.∴＝－. 答案：C 5．如圖，四邊形ABCD是正方形，延長CD至E，使得DE＝CD，若點P為CD的

3、中點，且＝λ＋μ，則λ＋μ＝(　　) A．3 B. C．2 D．1 解析：由題意，設(shè)正方形的邊長為1，建立直角坐標系如圖， 則B(1,0)，E(－1,1)， ∴＝(1,0)，＝(－1,1)， ∵＝λ＋μ＝(λ－μ，μ)， 又∵P為CD的中點， ∴＝(，1)， ∴，∴λ＝，μ＝1，∴λ＋μ＝， 答案：B 6．已知向量a＝(m,4)，b＝(3,4)，且a∥b，則m＝________. 解析：由題意得，4m－12＝0，所以m＝3. 答案：3 7．設(shè)向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，則m＝________. 解析：由|a＋

4、b|2＝|a|2＋|b|2得a⊥b，則m＋2＝0，所以m＝－2. 答案：－2 8．已知向量a＝(m，n)，b＝(1，－2)，若|a|＝2，a＝λb(λ＜0)，則m－n＝________. 解析：∵a＝(m，n)，b＝(1，－2)，∴由|a|＝2，a＝λb(λ＜0)，得m2＋n2＝20?、?，?、?，聯(lián)立①②，解得m＝－2，n＝4.∴m－n＝－6. 答案：－6 9．設(shè)兩個非零向量e1和e2不共線． (1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2， 求證：A，C，D三點共線； (2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝2e1－ke2，且A，C，D三點共線，求k的值．

5、解析：(1)證明：∵＝e1－e2，＝3e1＋2e2， ＝－8e1－2e2， ∴＝＋＝4e1＋e2 ＝－(－8e1－2e2)＝－， ∴與共線． 又∵與有公共點C，∴A，C，D三點共線． (2)＝＋＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2. ∵A，C，D三點共線， ∴與共線，從而存在實數(shù)λ使得＝λ， 即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)， 得解得λ＝，k＝. 10．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)． (1)若A，B，C三點共線，求a，b的關(guān)系式； (2)若＝2，求點C的坐標． 解析：由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)． ∵A，B，

6、C三點共線，∴∥. ∵2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2. (2)∵＝2，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)． ∴解得 ∴點C的坐標為(5，－3)． B組——能力提升練 1．已知△ABC的三個頂點A，B，C的坐標分別為(0,1)，(，0)，(0，－2)，O為坐標原點，動點P滿足||＝1，則|＋＋|的最小值是(　　) A.－1 B.－1 C.＋1 D.＋1 解析：設(shè)P(cos θ，－2＋sin θ)，則|＋＋|＝＝＝≥＝－1. 答案：A 2．已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均為正數(shù)，則＋的最小值是(　　) A．24 B．8

7、 C. D. 解析：∵a∥b，∴－2x－3(y－1)＝0， 化簡得2x＋3y＝3，又∵x，y均為正數(shù)， ∴＋＝(2x＋3y) ＝≥ ＝8， 當且僅當＝時，等號成立． ∴＋的最小值是8.故選B. 答案：B 3．已知AC⊥BC，AC＝BC，D滿足＝t＋(1－t)，若∠ACD＝60，則t的值為(　　) A. B.－ C.－1 D. 解析：由題意知D在直線AB上．令CA＝CB＝1，建立平面直角坐標系，如圖，則B點坐標為(1,0)，A點坐標為(0,1)． 令D點的坐標為(x，y)，因為∠DCB＝30，則直線CD的方程為y＝x，易知直線AB的方程為x＋y＝1，由得y＝

8、，即t＝.故選A. 答案：A 4．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60，點P是△ABC內(nèi)一點(含邊界)，若＝＋λ，則||的取值范圍為(　　) A．[2，] B．[2，] C．[0，] D．[2，] 解析：因為AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60，所以＝3，又＝＋λ，所以||2＝2＋＋λ22＝4λ2＋4λ＋4，因為點P是△ABC內(nèi)一點(含邊界)，所以點P在線段DE上，其中D，E分別為AB，BC的三等分點，如圖所示，所以0≤λ≤，所以4≤||2≤，所以2≤||≤，故選D. 答案：D 5．(2018貴陽市檢測)如圖，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AB＝

9、2，AD＝DC＝1，圖中圓弧所在圓的圓心為點C，半徑為，且點P在圖中陰影部分(包括邊界)運動．若＝x＋y，其中x，y∈R，則4x－y的最大值為________． 解析：以A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸建立平面直角坐標系，則A(0,0)，D(0,1)，C(1,1)，B(2,0)， 直線BD的方程為x＋2y－2＝0，C到BD的距離d＝， ∴圓弧以點C為圓心的圓方程為(x－1)2＋(y－1)2＝， 設(shè)P(m，n)則＝(m，n)， ＝(0,1)，＝(2,0)，＝(－1,1)， 若＝x＋y， ∴(m，n)＝(2x－y，y)， ∴m＝2x－y，n＝y(tǒng)， ∵P在圓內(nèi)或圓上， ∴

10、(2x－y－1)2＋(y－1)2≤， 設(shè)4x－y＝t，則y＝4x－t，代入上式整理得80x2－(48t＋32)x＋8t2＋7≤0， 設(shè)f(x)＝80x2－ (48t＋32)x＋8t2＋7≤0，x∈[，]， 則， 解得2≤t≤3＋， 故4x－y的最大值為3＋. 答案：3＋ 6．平面內(nèi)給定三個向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4, 1)． (1)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數(shù)k. 解析：(1)由題意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)， 所以解得 (2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)

11、， 由題意得2(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0，解得k＝－. 7．已知點O為坐標原點，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2. (1)求點M在第二或第三象限的充要條件； (2)求證：當t1＝1時，不論t2為何實數(shù)，A，B，M三點共線． 解析：(1) ＝t1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)． 當點M在第二或第三象限時，有 故所求的充要條件為t2＜0且t1＋2t2≠0. (2)證明：當t1＝1時，由(1)知＝(4t2,4t2＋2)． ∵＝－＝(4,4)， ＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2， ∴與共線，又有公共點A，∴A，B，M三點共線．