高考數學 一輪復習學案訓練課件北師大版理科： 第6章 不等式、推理與證明 第2節(jié) 基本不等式及其應用學案 理 北師大版

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1、 第二節(jié)　基本不等式及其應用 [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.了解基本不等式的證明過程.2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題． (對應學生用書第95頁) [基礎知識填充] 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0. (2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號． (3)其中稱為正數a，b的算術平均數，稱為正數a，b的幾何平均數，基本不等式可敘述為兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數． 2．幾個重要的不等式(注意逆應用) (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號． (2)ab≤ (a，b∈R)，當且僅當a

2、＝b時取等號． (3)≥(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號． (4)＋≥2(a，b同號)，當且僅當a＝b時取等號． 3．利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，則 (1)如果積xy是定值p，那么當且僅當x＝y時，x＋y有最小值是2(簡記：積定和最小)． (2)如果和x＋y是定值q那么當且僅當x＝y時，xy有最大值是(簡記：和定積最大)． [知識拓展] 1.≤≤≤(a＞0，b＞0)． 2．不等式的恒成立、能成立、恰成立問題 (1)恒成立問題：若f(x)在區(qū)間D上存在最小值，則不等式f(x)＞A在區(qū)間D上恒成立?f(x)min＞A； 若f(x)在區(qū)間D上存在最大值，則不

3、等式f(x)＜B在區(qū)間D上恒成立?f(x)max＜B. (2)能成立問題：若f(x)在區(qū)間D上存在最大值，則在區(qū)間D上存在實數x使不等式f(x)＞A成立?f(x)max＞A； 若f(x)在區(qū)間D上存在最小值，則在區(qū)間D上存在實數x使不等式f(x)＜B成立?f(x)min＜B. (3)恰成立問題：不等式f(x)＞A恰在區(qū)間D上成立?f(x)＞A的解集為D； 不等式f(x)＜B恰在區(qū)間D上成立?f(x)＜B的解集為D. [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)兩個不等式a2＋b2≥2ab與≥成立的條件是相同的．(　　) (2)(

4、a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．(　　) (3)兩個正數的等差中項不小于它們的等比中項．(　　) (4)函數y＝x＋的最小值是2.(　　) (5)函數f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.(　　) (6)x＞0且y＞0是＋≥2的充分不必要條件．(　　) [答案]　(1)　(2)√　(3)√　(4)　(5)　(6)√ 2．(教材改編)設x＞0，y＞0，且x＋y＝18，則xy的最大值為(　　) A．80　　　　　　 B．77 C．81 D．82 C　[∵x＞0，y＞0，∴≥，即xy≤＝81，當且僅當x＝y＝9時，(xy)max＝81.] 3．已知f(x)＝x＋－2(x＜

5、0)，則f(x)有(　　) A．最大值0 B．最小值0 C．最大值－4 D．最小值－4 C　[∵x＜0，∴f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，當且僅當－x＝，即x＝－1時取等號． ∴f(x)有最大值－4.] 4．若函數f(x)＝x＋(x>2)在x＝a處取最小值，則a等于(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 C　[當x>2時，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，當且僅當x－2＝(x>2)，即x＝3時取等號，即當f(x)取得最小值時，x＝3，即a＝3，選C.] 5．若把總長為20 m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是__________m2.

6、25　[設矩形的一邊為x m，矩形場地的面積為y， 則另一邊為(20－2x)＝(10－x)m， 則y＝x(10－x)≤＝25， 當且僅當x＝10－x，即x＝5時，ymax＝25.] (對應學生用書第95頁) 利用基本不等式求最值 　(1)已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，則ab的最大值為________． (2)已知x＜，則f(x)＝4x－2＋的最大值為________． (3)若正數x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值為________. 【導學號：79140194】 (1)　(2)1　(3)5　　[(1)法一：∵a＞0，b＞0,4a＋b＝

7、1，∴1＝4a＋b≥2＝4， 當且僅當4a＝b＝，即a＝，b＝時，等號成立． ∴≤，∴ab≤.∴ab的最大值為. 法二：∵4a＋b＝1， ∴ab＝4ab≤＝， 當且僅當4a＝b＝，即a＝，b＝(滿足a＞0，b＞0)時，等號成立，∴ab的最大值為. (2)因為x＜，所以5－4x＞0， 則f(x)＝4x－2＋＝－＋3 ≤－2＋3＝－2＋3＝1. 當且僅當5－4x＝，即x＝1時，等號成立． 故f(x)＝4x－2＋的最大值為1. (3)由x＋3y＝5xy可得＋＝1， ∴3x＋4y＝(3x＋4y) ＝＋＋＋≥＋2＝5(當且僅當＝，即x＝1，y＝時，等號成立)， ∴3x＋4y的

8、最小值是5.] 規(guī)律方法]　利用基本不等式求最值的方法 利用基本不等式解決條件最值的關鍵是構造和為定值或積為定值，主要有兩種思路： (1)對條件使用基本不等式，建立所求目標函數的不等式求解.常用的方法有：拆項法、變系數法、湊因子法、換元法、整體代換法等. (2)條件變形，進行“1”的代換求目標函數最值. 易錯警示：使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三個條件缺一不可. [跟蹤訓練]　(1)(20xx東北三省四市模擬(一))已知a＞0，b＞0，則的最小值為(　　) A.　　　　　 B．1 C．2 D．4 (2)(20xx山東高考)若直線＋＝1(a>0，b>0)過點(

9、1,2)，則2a＋b的最小值為________． (3)(20xx四川樂山一中月考)設0＜x＜，則函數y＝4x(3－2x)的最大值為________． (1)D　(2)8　(3)　[(1)＝a＋2b＋≥2＝4，當且僅當a＋2b＝，即a＋2b＝2時等號成立，則的最小值為4.故選D. (2)∵直線＋＝1(a>0，b>0)過點(1,2)， ∴＋＝1， ∴2a＋b＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8， 當且僅當＝，即a＝2，b＝4時，等號成立． 故2a＋b的最小值為8. (3)y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2＝，當且僅當2x＝3－2x，即x＝時，等號成立． ∵∈， ∴

10、函數y＝4x(3－2x)的最大值為.] 基本不等式的實際應用 　某化工企業(yè)年底將投入100萬元，購入一套污水處理設備．該設備每年的運轉費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元．設該企業(yè)使用該設備x年的年平均污水處理費用為y(單位：萬元)． (1)用x表示y； (2)當該企業(yè)的年平均污水處理費用最低時，企業(yè)需重新更換新的污水處理設備．則該企業(yè)幾年后需要重新更換新的污水處理設備． [解]　(1)由題意得， y＝， 即y＝x＋＋1.5(x∈N＋)． (2)由基本不等式得： y＝x＋＋1

11、.5≥2＋1.5＝21.5， 當且僅當x＝，即x＝10時取等號． 故該企業(yè)10年后需要重新更換新的污水處理設備． [易錯警示]　解實際應用題的三個注意點 (1)設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數. (2)根據實際問題抽象出函數的解析式后，只需利用基本不等式求得函數的最值. (3)在求函數的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內求解. [跟蹤訓練]　要制作一個容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器．已知該容器的底面造價是每平方米20元，側面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是(　　) A．80元 B．120元 C．160元 D．

12、240元 C　[設底面相鄰兩邊的邊長分別為x m，y m，總造價為T元，則xy1＝4?xy＝4. T＝420＋(2x＋2y)110＝80＋20(x＋y)≥80＋202＝80＋204＝160(當且僅當x＝y時取等號)． 故該容器的最低總造價是160元．] 利用基本不等式求參數的取值范圍 　(1)(20xx河南平頂山一模)若對任意x＞0，≤a恒成立，則a的取值范圍是(　　) A．a≥ B．a＞ C．a＜ D．a≤ (2)已知函數f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3時取得最小值，則a＝________. (1)A　(2)36　[(1)∵對任意x＞0，≤a恒成立，

13、 ∴對x∈(0，＋∞)，a≥max， 而對x∈(0，＋∞)，＝≤＝， 當且僅當x＝時等號成立，∴a≥. (2)∵x＞0，a＞0， ∴f(x)＝4x＋≥2＝4， 當且僅當4x＝，即4x2＝a時，f(x)取得最小值． 又∵f(x)在x＝3時取得最小值， ∴a＝432＝36.] [規(guī)律方法]　求解含參數不等式的求解策略 (1)觀察題目特點，利用基本不等式確定相關成立條件，從而得參數的值或取值范圍. (2)在處理含參數的不等式恒成立問題時，往往將已知不等式看作關于參數的不等式，體現了主元與次元的轉化. [跟蹤訓練]　(1)已知不等式(x＋y)≥9對任意的正實數x，y恒成立，則正實數a的最小值為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 (2)已知正數x，y滿足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，則實數λ的最小值為________. 【導學號：79140195】 (1)B　(2)2　[(1)(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2(x，y，a＞0)，當且僅當y＝x時取等號，所以(x＋y)的最小值為(＋1)2，于是(＋1)2≥9恒成立．所以a≥4，故選B. (2)依題意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(當且僅當x＝2y時取等號)，即的最大值為2.又λ≥，因此有λ≥2，即λ的最小值為2.]