高三數(shù)學(xué) 每天一練半小時(shí)：第75練 古典概型與幾何概型 Word版含答案

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1、 訓(xùn)練目標(biāo) (1)理解古典概型的概念、會(huì)求古典概型的概率；(2)會(huì)利用幾何概型的計(jì)算公式求幾何概型的概率． 訓(xùn)練題型 (1)求簡(jiǎn)單古典概型的概率；(2)與其他知識(shí)交匯求古典概型的概率及古典概型的應(yīng)用；(3)長(zhǎng)度型、面積型、體積型幾何概型；(4)幾何概型的應(yīng)用． 解題策略 對(duì)于古典概型：讀懂題目，抓住解決問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，即確定基本事件個(gè)數(shù)及所求事件包含基本事件的個(gè)數(shù)．對(duì)于幾何概型：(1)理解并會(huì)應(yīng)用計(jì)算公式；(2)利用圖形的幾何性質(zhì)求面積、體積，復(fù)雜圖形可利用分割法、補(bǔ)形法. 一、選擇題 1．(20xx亳州質(zhì)檢)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈

2、M}，A是集合N中任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線OA與y＝x2＋1有交點(diǎn)的概率是(　　) A. B. C. D. 2．(20xx青島一模)如圖所示，四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為2的大正方形，若直角三角形中較小的銳角θ＝.現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投擲一枚飛鏢，則飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是(　　) A. B. C. D. 3.(20xx長(zhǎng)沙調(diào)研)如圖，矩形OABC內(nèi)的陰影部分由曲線f(x)＝sin x(x∈(0，π))及直線x＝a(a∈(0，π))與x軸圍成，向矩形OABC內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，若該點(diǎn)落在陰影部分的概率為，則a的值為(　　) A. B. C

3、. D. 4．已知橢圓＋y2＝1的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，在長(zhǎng)軸A1A2上任取一點(diǎn)M，過(guò)M作A1A2的垂線交橢圓的于點(diǎn)P，則使得<0的點(diǎn)M的概率為(　　) A. B. C. D. 5．拋擲兩枚均勻的骰子，得到的點(diǎn)數(shù)分別為a，b，那么直線＋＝1的斜率k≥－的概率為(　　) A. B. C. D. 6．我們把日均收看體育節(jié)目的時(shí)間超過(guò)50分鐘的觀眾稱為“超級(jí)體育迷”．已知5名“超級(jí)體育迷”中有2名女性，若從中任選2名，則至少有1名女性的概率為(　　) A. B. C. D. 7.如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)＝的圖象上

4、．若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于(　　) A. B. C. D. 8．(20xx昆明一模)小明從某書店購(gòu)買5本不同的教輔資料，其中語(yǔ)文2本，數(shù)學(xué)2本，物理1本．若將這5本書隨機(jī)排并擺放在書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的概率是(　　) A. B. C. D. 二、填空題 9．從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七個(gè)不同的數(shù)，則這七個(gè)數(shù)的中位數(shù)是6的概率為________． 10．正月十六登高是“中國(guó)石刻藝術(shù)之鄉(xiāng)”、“中國(guó)民間文化藝術(shù)之鄉(xiāng)”四川省巴中市沿襲千年的獨(dú)特民俗．登高節(jié)前夕，李大伯在家門前的樹上掛了兩串喜慶彩燈，這兩串彩燈的

5、第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮．那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過(guò)2秒的概率是________． 11．已知平面區(qū)域D1＝{(x，y)||x|<2，|y|<2}，D2＝{(x，y)|kx－y＋2<0}．在區(qū)域D1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)M，若點(diǎn)M恰好取自區(qū)域D2的概率為p，且0

6、1相切的直線為y＝2x(斜率小于0的情況無(wú)需考慮)，集合N中共有16個(gè)元素，其中使OA斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4個(gè)，由古典概型知概率為＝.] 2．A　[易知小正方形的邊長(zhǎng)為－1，故小正方形的面積為S1＝(－1)2＝4－2，大正方形的面積為S＝22＝4，故飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率P＝＝＝.] 3．B　[由題意知，陰影部分的面積為 sin xdx＝(－cosx)＝－cosa＋cos 0＝1－cosa，根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式知 ＝，即cosa＝－，而a∈(0，π)，故a＝，故選B.] 4．D　[設(shè)P(x，y)，則<0?(－－x，－y)(－x，－

7、y)<0?x2－3＋y2<0?x2－3＋1－<0?|x|<，故所求的概率為＝.] 5．D　[記a，b的取值為數(shù)對(duì)(a，b)，由題意知(a，b)的所有可能的取值有36種．由直線＋＝1的斜率k＝－≥－，知≤，那么滿足題意的(a，b)可能的取值為(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共9種，所以所求概率為＝.] 6．A　[用ai表示男性，其中i＝1,2,3，bj表示女性，其中j＝1,2.記“選出的2名全都是男性”為事件A，“選出的2名有1名男性1名女性”為事件B，“選出的2名全都是女性”為事件C，則事件A包含(a1，a2)，(

8、a1，a3)，(a2，a3)，共3個(gè)基本事件，事件B包含(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6個(gè)基本事件，事件C包含(b1，b2)，共1個(gè)基本事件．事件A，B，C彼此互斥，事件至少有1名女性包含事件B和C，所以所求事件的概率為＝.] 7．B　[依題意得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2)，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－2,2)，所以矩形ABCD的面積S矩形ABCD＝32＝6，陰影部分的面積S陰影＝31＝，根據(jù)幾何概型的概率求解公式，得所求的概率P＝＝＝，故選B.] 8．B　[語(yǔ)文、數(shù)學(xué)只有一科的兩本書相鄰，有2AAA＝48(種)擺放方法；語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩

9、科的兩本書都相鄰，有AAA＝24(種)擺放方法；而五本不同的書排成一排總共有A＝120(種)擺放方法．故所求概率為1－＝.故選B.] 9. 解析　十個(gè)數(shù)中任取七個(gè)不同的數(shù)共有C種情況，七個(gè)數(shù)的中位數(shù)為6，那么6只能處在中間位置，有C種情況，于是所求概率P＝＝. 10. 解析　設(shè)兩串彩燈第一次閃亮的時(shí)刻分別為x，y，∴全部基本事件構(gòu)成的區(qū)域?yàn)? 符合題意的區(qū)域?yàn)? 如圖所示，由幾何概型可知，所求概率為P＝1－＝. 11．[－1,0)∪(0,1] 解析　如圖所示，平面區(qū)域D1是由邊長(zhǎng)等于4的正方形內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的，其面積為16，直線kx－y＋2＝0恒過(guò)定點(diǎn)P(0,2)．由于原點(diǎn)必在區(qū)域D2外，且圖中每個(gè)陰影三角形的面積與大正方形的面積之比均為，故當(dāng)k>0時(shí)，k∈(0,1]；當(dāng)k<0時(shí)，k∈[－1,0)．從而k的取值范圍為[－1,0)∪(0,1]． 12. 解析　若點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離小于1，則，所以符合條件的點(diǎn)P構(gòu)成的區(qū)域如圖中陰影部分所示，所以點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離小于1的概率為＝.