2020版高考理科數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)講義：第九章 第九節(jié) 解析幾何壓軸大題突破策略 第二課時　解題上——6大技法破解計算繁雜這一難題 Word版含答案

《2020版高考理科數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)講義：第九章 第九節(jié) 解析幾何壓軸大題突破策略 第二課時　解題上——6大技法破解計算繁雜這一難題 Word版含答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考理科數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)講義：第九章 第九節(jié) 解析幾何壓軸大題突破策略 第二課時　解題上——6大技法破解計算繁雜這一難題 Word版含答案（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二課時第二課時解題上解題上6 大技法破解計算繁雜這一難題大技法破解計算繁雜這一難題（閱讀課（閱讀課供學(xué)有余力的考生自主觀摩）供學(xué)有余力的考生自主觀摩）中學(xué)解析幾何是將幾何圖形置于直角坐標(biāo)系中，用方程的觀點來研究曲線，體現(xiàn)了用代中學(xué)解析幾何是將幾何圖形置于直角坐標(biāo)系中，用方程的觀點來研究曲線，體現(xiàn)了用代數(shù)的方法解決幾何問題的優(yōu)越性，但有時運算量過大，或需繁雜的討論，這些都會影響解題數(shù)的方法解決幾何問題的優(yōu)越性，但有時運算量過大，或需繁雜的討論，這些都會影響解題的速度，甚至?xí)兄菇忸}的過程，達(dá)到的速度，甚至?xí)兄菇忸}的過程，達(dá)到“望題興嘆望題興嘆”的地步特別是高考過程中，在規(guī)定的的地步特別是高考

2、過程中，在規(guī)定的時間內(nèi)，保質(zhì)保量完成解題的任務(wù)，計算能力是一個重要的方面為此，從以下幾個方面探時間內(nèi)，保質(zhì)保量完成解題的任務(wù)，計算能力是一個重要的方面為此，從以下幾個方面探索減輕運算量的方法和技巧，合理簡化解題過程，優(yōu)化思維過程索減輕運算量的方法和技巧，合理簡化解題過程，優(yōu)化思維過程回歸定義，以逸待勞回歸定義，以逸待勞回歸定義的實質(zhì)是重新審視概念，并用相應(yīng)的概念解決問題，是一種樸素而又重要的策回歸定義的實質(zhì)是重新審視概念，并用相應(yīng)的概念解決問題，是一種樸素而又重要的策略和思想方法圓錐曲線的定義既是有關(guān)圓錐曲線問題的出發(fā)點，又是新知識、新思維的生略和思想方法圓錐曲線的定義既是有關(guān)圓錐曲線問題的出

3、發(fā)點，又是新知識、新思維的生長點對于相關(guān)的圓錐曲線中的數(shù)學(xué)問題，若能根據(jù)已知條件，巧妙靈活應(yīng)用定義，往往能長點對于相關(guān)的圓錐曲線中的數(shù)學(xué)問題，若能根據(jù)已知條件，巧妙靈活應(yīng)用定義，往往能達(dá)到化難為易、化繁為簡、事半功倍的效果達(dá)到化難為易、化繁為簡、事半功倍的效果典例典例如圖如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓是橢圓 C1：x24y21 與雙曲線與雙曲線 C2的公共焦的公共焦點，點，A，B 分別是分別是 C1，C2在第二、四象限的公共點若四邊形在第二、四象限的公共點若四邊形 AF1BF2為矩形，則為矩形，則 C2的離心率是的離心率是()A. 2B. 3C.32D.62解題觀摩解題觀摩由已知，得由已知，得 F1(

4、 3，0)，F(xiàn)2( 3，0)，設(shè)雙曲線設(shè)雙曲線 C2的實半軸長為的實半軸長為 a，由橢圓及雙曲線的定義和已知，由橢圓及雙曲線的定義和已知，可得可得|AF1|AF2|4，|AF2|AF1|2a，|AF1|2|AF2|212，解得解得 a22，故故 a 2.所以雙曲線所以雙曲線 C2的離心率的離心率 e3262.答案答案D關(guān)鍵點撥關(guān)鍵點撥本題巧妙運用橢圓和雙曲線的定義建立本題巧妙運用橢圓和雙曲線的定義建立|AF1|，|AF2|的等量關(guān)系，從而快速求出雙曲線實的等量關(guān)系，從而快速求出雙曲線實半軸長半軸長 a 的值，進(jìn)而求出雙曲線的離心率，大大降低了運算量的值，進(jìn)而求出雙曲線的離心率，大大降低了運算量

5、對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練1.如圖，設(shè)拋物線如圖，設(shè)拋物線 y24x 的焦點為的焦點為 F，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點的點 A，B，C，其中點其中點 A，B 在拋物線上在拋物線上，點點 C 在在 y 軸上軸上，則則BCF 與與ACF的面積之比是的面積之比是()A.|BF|1|AF|1B.|BF|21|AF|21C.|BF|1|AF|1D.|BF|21|AF|21解析：解析：選選 A由題意可得由題意可得SBCFSACF|BC|AC|xBxA|BF|p2|AF|p2|BF|1|AF|1.2拋物線拋物線 y24mx(m0)的焦點為的焦點為 F，點點 P 為該拋物線上的動點為

6、該拋物線上的動點，若點若點 A(m,0)，則則|PF|PA|的最小值為的最小值為_解析解析：設(shè)點設(shè)點 P 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(xP，yP)，由拋物線的定義由拋物線的定義，知知|PF|xPm，又又|PA|2(xPm)2y2P(xPm)24mxP，則，則|PF|PA|2 xPm 2 xPm 24mxP114mxP xPm 2114mxP 2 xPm 212(當(dāng)且僅當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)xPm 時取等號時取等號)，所以，所以|PF|PA|22，所以，所以|PF|PA|的最小值為的最小值為22.答案：答案：22設(shè)而不求，金蟬脫殼設(shè)而不求，金蟬脫殼設(shè)而不求是解析幾何解題的基本手段，是比較特殊的一種思想方法，其實質(zhì)是整

7、體結(jié)構(gòu)設(shè)而不求是解析幾何解題的基本手段，是比較特殊的一種思想方法，其實質(zhì)是整體結(jié)構(gòu)意義上的變式和整體思想的應(yīng)用設(shè)而不求的靈魂是通過科學(xué)的手段使運算量最大限度地減意義上的變式和整體思想的應(yīng)用設(shè)而不求的靈魂是通過科學(xué)的手段使運算量最大限度地減少，通過設(shè)出相應(yīng)的參數(shù)，利用題設(shè)條件加以巧妙轉(zhuǎn)化，以參數(shù)為過渡，設(shè)而不求少，通過設(shè)出相應(yīng)的參數(shù)，利用題設(shè)條件加以巧妙轉(zhuǎn)化，以參數(shù)為過渡，設(shè)而不求典例典例已知橢圓已知橢圓 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦點為的右焦點為 F(3，0)，過點，過點 F 的直線交的直線交 E 于于 A，B 兩點若兩點若 AB 的中點坐標(biāo)為的中點坐標(biāo)為(1，1)，則，則 E 的標(biāo)

8、準(zhǔn)方程為的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x245y2361B.x236y2271C.x227y2181D.x218y291解題觀摩解題觀摩設(shè)設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，則則 x1x22，y1y22，x21a2y21b21，x22a2y22b21，得得 x1x2 x1x2 a2 y1y2 y1y2 b20，所以所以 kABy1y2x1x2b2 x1x2 a2 y1y2 b2a2.又又 kAB013112，所以，所以b2a212.又又 9c2a2b2，解得解得 b29，a218，所以橢圓所以橢圓 E 的方程為的方程為x218y291.答案答案D關(guān)鍵點撥關(guān)鍵點撥(1)本題設(shè)出本題設(shè)出 A，B 兩點的

9、坐標(biāo)兩點的坐標(biāo)，卻不求出卻不求出 A，B 兩點的坐標(biāo)兩點的坐標(biāo)，巧妙地表達(dá)出直線巧妙地表達(dá)出直線 AB 的斜的斜率，通過將直線率，通過將直線 AB 的斜率的斜率“算兩次算兩次”建立幾何量之間的關(guān)系，從而快速解決問題建立幾何量之間的關(guān)系，從而快速解決問題(2)在運用圓錐曲線問題中的設(shè)而不求方法技巧時，需要做到：在運用圓錐曲線問題中的設(shè)而不求方法技巧時，需要做到：凡是不必直接計算就能凡是不必直接計算就能更簡潔地解決問題的，都盡可能實施更簡潔地解決問題的，都盡可能實施“設(shè)而不求設(shè)而不求”；“設(shè)而不求設(shè)而不求”不可避免地要設(shè)參、消參，不可避免地要設(shè)參、消參，而設(shè)參的原則是宜少不宜多而設(shè)參的原則是宜少不

10、宜多對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練1已知已知 O 為坐標(biāo)原點為坐標(biāo)原點，F(xiàn) 是橢圓是橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦點的左焦點，A，B 分別為分別為 C 的左的左、右頂點右頂點P 為為 C 上一點，且上一點，且 PFx 軸過點軸過點 A 的直線的直線 l 與線段與線段 PF 交于點交于點 M，與，與 y 軸交于軸交于點點E，若直線，若直線 BM 經(jīng)過經(jīng)過 OE 的中點，則的中點，則 C 的離心率為的離心率為()A.13B.12C.23D.34解析：解析：選選 A設(shè)設(shè) OE 的中點為的中點為 G，由題意設(shè)直線，由題意設(shè)直線 l 的方程為的方程為 yk(xa)，分別令分別令 xc 與與 x0 得得|

11、FM|k(ac)，|OE|ka，由由OBGFBM，得，得|OG|FM|OB|FB|，即即12kak ac aac，整理得整理得ca13，所以橢圓，所以橢圓 C 的離心率的離心率 e13.2過點過點 M(1,1)作斜率為作斜率為12的直線與橢圓的直線與橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)相交于相交于 A，B 兩點，兩點，若若M 是線段是線段 AB 的中點，則橢圓的中點，則橢圓 C 的離心率等于的離心率等于_解析：解析：設(shè)設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，則x21a2y21b21，x22a2y22b21， x1x2 x1x2 a2 y1y2 y1y2 b20，y1y2x1x2b2a2x

12、1x2y1y2.y1y2x1x212，x1x22，y1y22，b2a212，a22b2.又又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，ca22.即橢圓即橢圓 C 的離心率的離心率 e22.答案：答案：22巧設(shè)參數(shù)，變換主元巧設(shè)參數(shù)，變換主元換元引參是一種重要的數(shù)學(xué)方法，特別是解析幾何中的最值問題、不等式問題等，利用換元引參是一種重要的數(shù)學(xué)方法，特別是解析幾何中的最值問題、不等式問題等，利用換元引參使一些關(guān)系能夠相互聯(lián)系起來，激活了解題的方法，往往能化難為易，達(dá)到事半功換元引參使一些關(guān)系能夠相互聯(lián)系起來，激活了解題的方法，往往能化難為易，達(dá)到事半功倍倍常見的參數(shù)可以選擇點的坐標(biāo)、直線的斜率、

13、直線的傾斜角等在換元過程中，還要注常見的參數(shù)可以選擇點的坐標(biāo)、直線的斜率、直線的傾斜角等在換元過程中，還要注意代換的等價性，防止擴(kuò)大或縮小原來變量的取值范圍或改變原題條件意代換的等價性，防止擴(kuò)大或縮小原來變量的取值范圍或改變原題條件典例典例設(shè)橢圓設(shè)橢圓x2a2y2b21(ab0)的左、右頂點分別為的左、右頂點分別為 A，B，點，點 P 在橢圓上且異于在橢圓上且異于 A，B 兩點，兩點，O 為坐標(biāo)原點若為坐標(biāo)原點若|AP|OA|，證明直線，證明直線 OP 的斜率的斜率 k 滿足滿足|k| 3.解題觀摩解題觀摩法一法一：依題意，直線：依題意，直線 OP 的方程為的方程為 ykx，設(shè)點，設(shè)點 P 的

14、坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x0，y0)由條件得由條件得y0kx0，x20a2y20b21，消去消去 y0并整理，得并整理，得 x20a2b2k2a2b2.由由|AP|OA|，A(a,0)及及 y0kx0，得得(x0a)2k2x20a2，整理得整理得(1k2)x202ax00.而而 x00，于是，于是 x02a1k2，代入代入，整理得，整理得(1k2)24k2ab24.又又 ab0，故，故(1k2)24k24，即即 k214，因此，因此 k23，所以，所以|k| 3.法二法二：依題意，直線：依題意，直線 OP 的方程為的方程為 ykx，可設(shè)點可設(shè)點 P 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x0，kx0)由點由點 P 在橢圓

15、上，得在橢圓上，得x20a2k2x20b21.因為因為 ab0，kx00，所以，所以x20a2k2x20a21，即即(1k2)x20a2.由由|AP|OA|及及 A(a,0)，得，得(x0a)2k2x20a2，整理得整理得(1k2)x202ax00，于是，于是 x02a1k2，代入代入，得，得(1k2)4a2 1k2 2a2，解得解得 k23，所以，所以|k| 3.法三法三：設(shè)：設(shè) P(acos ，bsin )(02)，則線段則線段 OP 的中點的中點 Q 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為a2cos ，b2sin .|AP|OA|AQOPkAQk1.又又 A(a,0)，所以，所以 kAQbsin 2aacos

16、 ，即即 bsin akAQcos 2akAQ.從而可得從而可得|2akAQ|b2a2k2AQa1k2AQ，解得解得|kAQ|33，故，故|k|1|kAQ| 3.關(guān)鍵點撥關(guān)鍵點撥求解本題利用橢圓的參數(shù)方程，可快速建立各點之間的聯(lián)系，降低運算量求解本題利用橢圓的參數(shù)方程，可快速建立各點之間的聯(lián)系，降低運算量對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練設(shè)直線設(shè)直線 l 與拋物線與拋物線 y24x 相交于相交于 A， B 兩點兩點， 與圓與圓 C： (x5)2y2r2(r0)相切于點相切于點 M，且且 M 為線段為線段 AB 的中點，若這樣的直線的中點，若這樣的直線 l 恰有恰有 4 條，求條，求 r 的取值范圍的取值范圍解：

17、解：當(dāng)斜率不存在時，有兩條，當(dāng)斜率存在時，當(dāng)斜率不存在時，有兩條，當(dāng)斜率存在時，不妨設(shè)直線不妨設(shè)直線 l 的方程為的方程為 xtym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入拋物線代入拋物線 y24x 并整理得并整理得 y24ty4m0，則有則有16t216m0，y1y24t，y1y24m，那么那么 x1x2(ty1m)(ty2m)4t22m，可得線段可得線段 AB 的中點的中點 M(2t2m,2t)，而由題意可得直線而由題意可得直線 AB 與直線與直線 MC 垂直，垂直，即即 kMCkAB1，可得可得2t02t2m51t1，整理得，整理得 m32t2(當(dāng)當(dāng) t0 時時)，把把 m32t2代入

18、代入16t216m0，可得可得 3t20，即，即 0t23，又由于圓心到直線的距離等于半徑，又由于圓心到直線的距離等于半徑，即即 d|5m|1t222t21t22 1t2r，而由而由 0t23 可得可得 2r4.故故 r 的取值范圍為的取值范圍為(2,4)數(shù)形結(jié)合，偷梁換柱數(shù)形結(jié)合，偷梁換柱著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)與形本是兩相倚，焉能分作兩邊飛數(shù)缺形時少直觀，形數(shù)與形本是兩相倚，焉能分作兩邊飛數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微少數(shù)時難入微”在圓錐曲線的一些問題中，許多對應(yīng)的長度、數(shù)式等都具有一定的幾何意在圓錐曲線的一些問題中，許多對應(yīng)的長度、數(shù)式等都具有一定的幾何意義，挖掘

19、題目中隱含的幾何意義，采用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可解決一些相應(yīng)問題義，挖掘題目中隱含的幾何意義，采用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可解決一些相應(yīng)問題典例典例已知已知 F 是雙曲線是雙曲線 C：x2y281 的右焦點的右焦點，P 是是 C 的左支上一點的左支上一點，A(0,6 6)當(dāng)當(dāng)APF 周長最小時，該三角形的面積為周長最小時，該三角形的面積為_解題觀摩解題觀摩設(shè)雙曲線的左焦點為設(shè)雙曲線的左焦點為 F1，根據(jù)雙曲線的定義可知，根據(jù)雙曲線的定義可知|PF|2a|PF1|，則則APF 的周長為的周長為|PA|PF|AF|PA|2a|PF1|AF|PA|PF1|AF|2a，由于由于|AF|2a 是定值，要使是

20、定值，要使APF 的周長最小，的周長最小，則則|PA|PF1|最小，即最小，即 P，A，F(xiàn)1共線，共線，由于由于 A(0,6 6)，F(xiàn)1(3,0)，則直線則直線 AF1的方程為的方程為x3y6 61，即，即 xy2 63，代入雙曲線方程整理可得代入雙曲線方程整理可得y26 6y960，解得解得 y26或或 y8 6(舍去舍去)，所以點所以點 P 的縱坐標(biāo)為的縱坐標(biāo)為 2 6，所以所以1266 61262 612 6.答案答案12 6關(guān)鍵點撥關(guān)鍵點撥要求要求APF 的周長的最小值，其實就是轉(zhuǎn)化為求解三角形三邊長之和，根據(jù)已知條件與的周長的最小值，其實就是轉(zhuǎn)化為求解三角形三邊長之和，根據(jù)已知條件與

21、雙曲線定義加以轉(zhuǎn)化為已知邊的長度問題與已知量的等價條件來分析，根據(jù)直線與雙曲線的雙曲線定義加以轉(zhuǎn)化為已知邊的長度問題與已知量的等價條件來分析，根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系，通過數(shù)形結(jié)合確定點位置關(guān)系，通過數(shù)形結(jié)合確定點 P 的位置，通過求解點的位置，通過求解點 P 的坐標(biāo)進(jìn)而利用三角形的面積公式的坐標(biāo)進(jìn)而利用三角形的面積公式來處理來處理對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練1橢圓橢圓x25y241 的左焦點為的左焦點為 F，直線，直線 xm 與橢圓相交于點與橢圓相交于點 M，N，當(dāng)，當(dāng)FMN 的周長的周長最大時，最大時，F(xiàn)MN 的面積是的面積是()A.55B.6 55C.8 55D.4 55解析：解析：選選 C如圖所

22、示，設(shè)橢圓的右焦點為如圖所示，設(shè)橢圓的右焦點為 F，連接，連接 MF，NF.因為因為|MF|NF|MF|NF|MF|NF|MN|，所以當(dāng)，所以當(dāng)直線直線 xm 過橢圓的右焦點時，過橢圓的右焦點時，F(xiàn)MN 的周長最大的周長最大此時此時|MN|2b2a8 55，又，又 c a2b2 541，所以此時所以此時FMN 的面積的面積 S1228 558 55.故選故選 C.2設(shè)設(shè) P 為雙曲線為雙曲線 x2y2151 右支上一點，右支上一點，M，N 分別是圓分別是圓 C1：(x4)2y24 和圓和圓 C2：(x4)2y21 上的點，設(shè)上的點，設(shè)|PM|PN|的最大值和最小值分別為的最大值和最小值分別為

23、m，n，則，則|mn|()A4B.5C6D7解析：解析：選選 C由題意得，圓由題意得，圓 C1：(x4)2y24 的圓心為的圓心為(4,0)，半徑為半徑為 r12；圓；圓 C2：(x4)2y21 的圓心為的圓心為(4,0)，半徑為，半徑為 r21.設(shè)雙曲線設(shè)雙曲線 x2y2151 的左的左、右焦點分別為右焦點分別為 F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)如圖如圖所示所示，連接連接 PF1，PF2，F(xiàn)1M，F(xiàn)2N，則則|PF1|PF2|2.又又|PM|max|PF1|r1， |PN|min|PF2|r2， 所以所以|PM|PN|的最大值的最大值 m|PF1|PF2|r1r25.又又|PM|min|PF1

24、|r1，|PN|max|PF2|r2，所以，所以|PM|PN|的最小值的最小值 n|PF1|PF2|r1r21，所以，所以|mn|6.故選故選 C.妙借向量，無中生有妙借向量，無中生有平面向量是銜接代數(shù)與幾何的紐帶，溝通平面向量是銜接代數(shù)與幾何的紐帶，溝通“數(shù)數(shù)”與與“形形”，融數(shù)、形于一體，是數(shù)形結(jié)，融數(shù)、形于一體，是數(shù)形結(jié)合的典范，具有幾何形式與代數(shù)形式的雙重身份，是數(shù)學(xué)知識的一個交匯點和聯(lián)系多項知識合的典范，具有幾何形式與代數(shù)形式的雙重身份，是數(shù)學(xué)知識的一個交匯點和聯(lián)系多項知識的媒介妙借向量，可以有效提升圓錐曲線的解題方向與運算效率，達(dá)到良好效果的媒介妙借向量，可以有效提升圓錐曲線的解題

25、方向與運算效率，達(dá)到良好效果典例典例如圖如圖， 在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中中， F 是橢圓是橢圓x2a2y2b21(ab0)的右焦點的右焦點，直線直線 yb2與橢圓交于與橢圓交于 B，C 兩點兩點，且且BFC90，則該則該橢圓的離心率是橢圓的離心率是_解題觀摩解題觀摩把把 yb2代入橢圓代入橢圓x2a2y2b21，可得可得 x32a，則，則 B32a，b2 ，C32a，b2 ，而而 F(c,0)，則則 FB32ac，b2 ，F(xiàn)C32ac，b2 ，又又BFC90，故有故有 FBFC32ac，b2 32ac，b2 c234a214b2c234a214(a2c2)34c212a20

26、，則有則有 3c22a2，所以該橢圓的離心率，所以該橢圓的離心率 eca63.答案答案63關(guān)鍵點撥關(guān)鍵點撥本題通過相關(guān)向量坐標(biāo)的確定本題通過相關(guān)向量坐標(biāo)的確定，結(jié)合結(jié)合BFC90，巧妙借助平面向量的坐標(biāo)運算來轉(zhuǎn)化巧妙借助平面向量的坐標(biāo)運算來轉(zhuǎn)化圓錐曲線中的相關(guān)問題，從形入手轉(zhuǎn)化為相應(yīng)數(shù)的形式，簡化運算圓錐曲線中的相關(guān)問題，從形入手轉(zhuǎn)化為相應(yīng)數(shù)的形式，簡化運算對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練設(shè)直線設(shè)直線 l 是圓是圓 O：x2y22 上動點上動點 P(x0，y0)(x0y00)處的切線，處的切線，l 與雙曲線與雙曲線 x2y221 交交于不同的兩點于不同的兩點 A，B，則，則AOB 為為()A90B.60C45

27、D30解析：解析：選選 A點點 P(x0，y0)(x0y00)在圓在圓 O：x2y22 上，上，x20y202，圓在點，圓在點 P(x0，y0)處的切線方程為處的切線方程為 x0 xy0y2.由由x2y221，x0 xy0y2及及 x20y202 得得(3x204)x24x0 x82x200.切線切線 l 與雙曲線交于不同的兩點與雙曲線交于不同的兩點 A，B，且，且 0 x202，3x2040，且，且16x204(3x204)(82x20)0，設(shè)設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，則則 x1x24x03x204，x1x282x203x204.OAOBx1x2y1y2 x1x21y20(2

28、x0 x1)(2 x0 x2) x1x212x204 2x0(x1 x2) x20 x1x2 82x203x20412x2048x203x204x20 82x20 3x2040，AOB90.巧用巧用“根與系數(shù)的關(guān)系根與系數(shù)的關(guān)系”，化繁為簡，化繁為簡某些涉及線段長度關(guān)系的問題可以通過解方程、求坐標(biāo)，用距離公式計算長度的方法來某些涉及線段長度關(guān)系的問題可以通過解方程、求坐標(biāo)，用距離公式計算長度的方法來解；但也可以利用一元二次方程，使相關(guān)的點的同名坐標(biāo)為方程的根，由根與系數(shù)的關(guān)系求解；但也可以利用一元二次方程，使相關(guān)的點的同名坐標(biāo)為方程的根，由根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根間的關(guān)系或有關(guān)線段長度間的關(guān)系后

29、者往往計算量小，解題過程簡捷出兩根間的關(guān)系或有關(guān)線段長度間的關(guān)系后者往往計算量小，解題過程簡捷典例典例已知橢圓已知橢圓x24y21 的左頂點為的左頂點為 A，過過 A 作兩條互相垂直的弦作兩條互相垂直的弦 AM，AN 交橢圓交橢圓于于M，N 兩點兩點(1)當(dāng)直線當(dāng)直線 AM 的斜率為的斜率為 1 時，求點時，求點 M 的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；(2)當(dāng)直線當(dāng)直線 AM 的斜率變化時的斜率變化時， 直線直線 MN 是否過是否過 x 軸上的一定點？若過定點軸上的一定點？若過定點， 請給出證明請給出證明，并求出該定點；若不過定點，請說明理由并求出該定點；若不過定點，請說明理由解題觀摩解題觀摩(1)直線直線 A

30、M 的斜率為的斜率為 1 時時，直線直線 AM 的方程為的方程為 yx2，代入橢圓方程并化代入橢圓方程并化簡得簡得 5x216x120.解得解得 x12，x265，所以，所以 M65，45 .(2)設(shè)直線設(shè)直線 AM 的斜率為的斜率為 k，直線，直線 AM 的方程為的方程為 yk(x2)，聯(lián)立方程聯(lián)立方程yk x2 ，x24y21，化簡得化簡得(14k2)x216k2x16k240.則則 xAxM16k214k2，xMxA16k214k2216k214k228k214k2.同理，可得同理，可得 xN2k28k24.由由(1)知若存在定點，則此點必為知若存在定點，則此點必為 P65，0.證明如下

31、：證明如下：因為因為 kMPyMxM65k28k214k2228k214k2655k44k2，同理可得同理可得 kPN5k44k2.所以直線所以直線 MN 過過 x 軸上的一定點軸上的一定點 P65，0.關(guān)鍵點撥關(guān)鍵點撥本例在第本例在第(2)問中可應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系求出問中可應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系求出 xM28k214k2，這體現(xiàn)了整體思想這是解決這體現(xiàn)了整體思想這是解決解析幾何問題時常用的方法，簡單易懂，通過設(shè)而不求，大大降低了運算量解析幾何問題時常用的方法，簡單易懂，通過設(shè)而不求，大大降低了運算量對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練已知橢圓已知橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的離心率為的離心率為12，且經(jīng)過

32、點且經(jīng)過點 P1，32 ，左左、右焦點分別為右焦點分別為 F1，F(xiàn)2.(1)求橢圓求橢圓 C 的方程；的方程；(2)過過 F1的直線的直線 l 與橢圓與橢圓 C 相交于相交于 A，B 兩點，若兩點，若AF2B 的內(nèi)切圓半徑為的內(nèi)切圓半徑為3 27，求以，求以 F2為圓心且與直線為圓心且與直線 l 相切的圓的方程相切的圓的方程解：解：(1)由由ca12，得，得 a2c，所以，所以 a24c2，b23c2，將點將點 P1，32 的坐標(biāo)代入橢圓方程得的坐標(biāo)代入橢圓方程得 c21，故所求橢圓方程為故所求橢圓方程為x24y231.(2)由由(1)可知可知 F1(1,0)，設(shè)直線，設(shè)直線 l 的方程為的方程為 xty1，代入橢圓方程，整理得代入橢圓方程，整理得(43t2)y26ty90，顯然判別式大于顯然判別式大于 0 恒成立，恒成立，設(shè)設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，AF2B 的內(nèi)切圓半徑為的內(nèi)切圓半徑為 r0，則有則有 y1y26t43t2，y1y2943t2，r03 27，12r0(|AF1|BF1|BF2|AF2|)12r04a1283 2712 27，所以所以12 t2143t212 27，解得，解得 t21，因為所求圓與直線因為所求圓與直線 l 相切，所以半徑相切，所以半徑 r2t21 2，所以所求圓的方程為所以所求圓的方程為(x1)2y22.