二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)文通用版講義：第一部分 第二層級 高考5個大題 題題研訣竅 立體幾何問題重在“建”“轉(zhuǎn)”——建模、轉(zhuǎn)換 Word版含解析

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1、 思維流程思維流程找突破口找突破口 技法指導(dǎo)技法指導(dǎo)遷移搭橋遷移搭橋 立體幾何解答題建模、轉(zhuǎn)換策略立體幾何解答題建模、轉(zhuǎn)換策略 立體幾何解答題的基本模式是論證推理與計算相結(jié)立體幾何解答題的基本模式是論證推理與計算相結(jié)合，以某個幾何體為依托分步設(shè)問，逐層加深，合，以某個幾何體為依托分步設(shè)問，逐層加深，解決這類題目的原則是建模、轉(zhuǎn)換解決這類題目的原則是建模、轉(zhuǎn)換 建模建模問題轉(zhuǎn)化為平行模型、垂直模型等；問題轉(zhuǎn)化為平行模型、垂直模型等； 轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換對幾何體的體積、三棱錐的體積考查頂點對幾何體的體積、三棱錐的體積考查頂點轉(zhuǎn)換，多面體體積分割轉(zhuǎn)換為幾個規(guī)則幾何體的體轉(zhuǎn)換，多面體體積分割轉(zhuǎn)換為幾個規(guī)則幾何體

2、的體積和積和或體積差求解或體積差求解. 典例典例 (2018 全國卷全國卷)如圖， 在平行四邊形如圖， 在平行四邊形 ABCM 中，中，ABAC3，ACM90.以以 AC 為折痕將為折痕將ACM 折起，折起，使點使點 M 到達點到達點 D 的位置，且的位置，且 ABDA. (1)證明：平面證明：平面 ACD平面平面 ABC； (2)Q 為線段為線段 AD 上一點，上一點，P 為線段為線段 BC 上一點，且上一點，且 BPDQ23DA，求三棱錐，求三棱錐 Q- ABP的體積的體積 快審題快審題 求什么求什么 想什么想什么 求證面面垂直，想到證線面垂直求證面面垂直，想到證線面垂直 求三棱錐的體積，

3、想到求底面積和高求三棱錐的體積，想到求底面積和高 給什么給什么 用什么用什么 給出給出ACM90，ABCM，用平行，用平行關(guān)系得關(guān)系得BAC90. 給出給出 BPDQ23DA，計算，計算 BP 的長的長 差什么差什么 找什么找什么 差點差點 Q 到平面到平面 ABP 的距離，由的距離，由 DQ23DA，找出點，找出點 Q 到平面到平面 ABP 的距離等于點的距離等于點D 到平面到平面 ABP 距離的距離的13. 穩(wěn)解題穩(wěn)解題 (1)證明：由已知可得，證明：由已知可得， BAC90，即，即 BAAC. 又因為又因為 BAAD，ACADA， 所以所以 AB平面平面 ACD. 因為因為 AB平面平面

4、 ABC， 所以平面所以平面 ACD平面平面 ABC. (2)由已知可得，由已知可得， DCCMAB3，DA3 2. 又又 BPDQ23DA， 所以所以 BP2 2. 如圖，如圖，過點過點 Q 作作 QEAC， 垂足為垂足為 E，則，則 QE 綊綊13DC. 由已知及由已知及(1)可得，可得， DC平面平面 ABC， 所以所以 QE平面平面 ABC，QE1. 因此，三棱錐因此，三棱錐 Q- ABP 的體積為的體積為 VQ- ABP13SABPQE131232 2sin 4511. 題后題后悟道悟道 有關(guān)立體幾何綜合問題的解題步驟有關(guān)立體幾何綜合問題的解題步驟 針對訓(xùn)練針對訓(xùn)練 (2018 沈陽

5、質(zhì)檢沈陽質(zhì)檢)如圖， 在四棱錐如圖， 在四棱錐 P- ABCD 中，中， PD底面底面 ABCD，ABCD，AB2，CD3，M 為為 PC 上一點，且上一點，且 PM2MC. (1)求證：求證：BM平面平面 PAD； (2)若若 AD2，PD3，BAD60，求三棱錐，求三棱錐 P- ADM 的體積的體積 解：解：(1)證明：如圖，過證明：如圖，過 M 作作 MNCD 交交 PD 于點于點 N，連接，連接 AN. PM2MC，MN23CD. 又又 AB23CD，且，且 ABCD， AB綊綊MN，四邊形四邊形 ABMN 為平行四邊形，為平行四邊形，BMAN. 又又 BM 平面平面 PAD，AN平面

6、平面 PAD， BM平面平面 PAD. (2)如圖，過如圖，過 B 作作 AD 的垂線，垂足為的垂線，垂足為 E. PD平面平面 ABCD，BE平面平面 ABCD， PDBE. 又又 AD平面平面 PAD，PD平面平面 PAD，ADPDD， BE平面平面 PAD. 由由(1)知，知，BM平面平面 PAD， 點點 M 到平面到平面 PAD 的距離等于點的距離等于點 B 到平面到平面 PAD 的距離，即的距離，即 BE. 連接連接 BD，在，在ABD 中，中，ABAD2，BAD60， BE 3， 則三棱錐則三棱錐 P- ADM 的體積的體積 VP- ADMVM- PAD13SPADBE133 3

7、3. 總結(jié)升華總結(jié)升華 立體幾何的內(nèi)容在高考中的考查情況總體上比較穩(wěn)定， 因此， 復(fù)習(xí)備考時往往有立體幾何的內(nèi)容在高考中的考查情況總體上比較穩(wěn)定， 因此， 復(fù)習(xí)備考時往往有“綱綱”可循，有可循，有“題題”可依在平時的學(xué)習(xí)中，要重視識圖訓(xùn)練，能正確確定關(guān)鍵點或線的位置，可依在平時的學(xué)習(xí)中，要重視識圖訓(xùn)練，能正確確定關(guān)鍵點或線的位置，將局部空間問題轉(zhuǎn)化為平面模型，其中，平行、垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)是立體幾何的核心將局部空間問題轉(zhuǎn)化為平面模型，其中，平行、垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)是立體幾何的核心內(nèi)容；距離、面積與體積的計算是重點內(nèi)容內(nèi)容；距離、面積與體積的計算是重點內(nèi)容 專題過關(guān)檢測專題過關(guān)檢測 A 組組

8、“633”考點落實練考點落實練 一、選擇題一、選擇題 1已知已知 E，F(xiàn)，G，H 是空間四點，命題甲：是空間四點，命題甲：E，F(xiàn)，G，H 四點不共面，命題乙：直線四點不共面，命題乙：直線EF 和和 GH 不相交，則甲是乙成立的不相交，則甲是乙成立的( ) A必要不充分條件必要不充分條件 B充分不必要條件充分不必要條件 C充要條件充要條件 D既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件 解析：解析：選選 B 若若 E，F(xiàn)，G，H 四點不共面，則直線四點不共面，則直線 EF 和和 GH 肯定不相交，但直線肯定不相交，但直線 EF和和 GH 不相交，不相交，E，F(xiàn)，G，H 四四點可以共面，例如點可以共面

9、，例如 EFGH，故甲是乙成立的充分不必要，故甲是乙成立的充分不必要條件條件 2關(guān)于直線關(guān)于直線 a，b 及平面及平面 ，下列命題中正確的是，下列命題中正確的是( ) A若若 a，b，則，則 ab B若若 ，m，則，則 m C若若 a，a，則，則 D若若 a，ba，則，則 b 解析：解析：選選 C A 是錯誤的，因為是錯誤的，因為 a 不一定在平面不一定在平面 內(nèi)，所以內(nèi)，所以 a，b 有可能是異面直線；有可能是異面直線；B 是錯誤的，若是錯誤的，若 ，m，則，則 m 與與 可能平行，可能相交，也可能線在面內(nèi)，故可能平行，可能相交，也可能線在面內(nèi)，故 B 錯錯 誤；誤；C 是正確的，由直線與平

10、面垂直的判斷定理能得到是正確的，由直線與平面垂直的判斷定理能得到 C 正確；正確；D 是錯誤的，直線與平面是錯誤的，直線與平面垂直，需直線與平面中的兩條垂直，需直線與平面中的兩條相交直線垂直相交直線垂直 3在正三棱柱在正三棱柱 ABC- A1B1C1中，中，|AB| 2|BB1|，則，則 AB1與與 BC1所成角的大小為所成角的大小為( ) A30 B60 C75 D90 解析：解析：選選 D 將正三棱柱將正三棱柱 ABC- A1B1C1補為四棱柱補為四棱柱 ABCD- A1B1C1D1，連接，連接 C1D，BD，則則 C1DB1A，BC1D 為所求角或其補角設(shè)為所求角或其補角設(shè) BB1 2，

11、則，則 BCCD2，BCD120，BD2 3， 又因為又因為 BC1C1D 6，所以，所以BC1D90. 4.如如圖，在三棱錐圖，在三棱錐 P- ABC 中，不能證明中，不能證明 APBC 的條件是的條件是( ) AAPPB，APPC BAPPB，BCPB C平面平面 BPC平面平面 APC，BCPC DAP平面平面 PBC 解析：解析：選選 B A 中，因為中，因為 APPB，APPC，PBPCP，所以，所以 AP平面平面 PBC.又又 BC平面平面 PBC，所以，所以 APBC，故，故 A 正確；正確；C 中，因為平面中，因為平面 BPC平面平面 APC，平面，平面 BPC平平面面 APC

12、PC， BCPC， 所以， 所以 BC平面平面 APC.又又 AP平面平面 APC， 所以， 所以 APBC， 故， 故 C 正確；正確；D 中，由中，由 A 知知 D 正確；正確；B 中條件不能判斷出中條件不能判斷出 APBC，故選，故選 B. 5如圖，以等腰直角三角形如圖，以等腰直角三角形 ABC 的斜邊的斜邊 BC 上的高上的高 AD 為折痕，把為折痕，把ABD 和和ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學(xué)生得出下列四個結(jié)論：折成互相垂直的兩個平面后，某學(xué)生得出下列四個結(jié)論： BDAC； BAC 是等邊三角形；是等邊三角形； 三棱錐三棱錐 D- ABC 是正三棱錐；是正三棱錐； 平面平面 A

13、DC平面平面 ABC. 其中正確的結(jié)論是其中正確的結(jié)論是( ) A B C D 解析：解析：選選 B 由題意知，由題意知，BD平面平面 ADC，故，故 BDAC，正確；正確；AD 為等腰直角三角為等腰直角三角形形 ABC 的斜邊的斜邊 BC 上的高，平面上的高，平面 ABD平面平面 ACD，所以，所以 ABACBC，BAC 是等邊三是等邊三角形，角形，正確；易知正確；易知 DADBDC，結(jié)合，結(jié)合知知正確；由正確；由知知不正確故選不正確故選 B. 6已知二面角的棱上有已知二面角的棱上有 A，B 兩點，直線兩點，直線 AC，BD 分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，

14、且都垂直于且都垂直于 AB，已知，已知 AB4，AC6，BD8，CD2 17，則該二面角的大小為，則該二面角的大小為( ) A150 B45 C120 D60 解析：解析：選選 D 如圖，如圖，ACAB，BDAB，過，過 A 在平面在平面 ABD 內(nèi)作內(nèi)作AEBD，過，過 D 作作 DEAB，連接，連接 CE，所以，所以 DEAB 且且 DE平面平面AEC，CAE 即二面角的平面角，在即二面角的平面角，在 RtDEC 中，中，CE2 13，在，在ACE 中，由余弦定理可得中，由余弦定理可得 cosCAECA2AE2CE22CAAE12， 所以所以CAE60，即所求二面角的大小為，即所求二面角的

15、大小為 60. 二、填空題二、填空題 7(2018 天津六校聯(lián)考天津六校聯(lián)考)設(shè)設(shè) a，b 為不重合的兩條直線，為不重合的兩條直線， 為不重合的兩個平面，給為不重合的兩個平面，給出下列命題：出下列命題： 若若 a 且且 b，則，則 ab； 若若 a 且且 a，則，則 ； 若若 ，則一定存在平面，則一定存在平面 ，使得，使得 ，； 若若 ，則一定存在直線，則一定存在直線 l，使得，使得 l，l. 其中真命題的序號是其中真命題的序號是_ 解析：解析：中中 a 與與 b 也可能相交或異面，故不正確也可能相交或異面，故不正確 垂直于同一直線的兩平面平行，正確垂直于同一直線的兩平面平行，正確 中存在中存

16、在 ，使得，使得 與與 ， 都垂直，正確都垂直，正確 中只需直線中只需直線 l 且且 l 就可以，正確就可以，正確 答案：答案： 8若若 P 為矩形為矩形 ABCD 所在平面外一點，矩形對角線的交點為所在平面外一點，矩形對角線的交點為 O，M 為為 PB 的中點，給的中點，給出以下四個命題：出以下四個命題：OM平面平面 PCD；OM平面平面 PBC；OM平面平面 PDA；OM平平面面 PBA.其中正確的個數(shù)是其中正確的個數(shù)是_ 解析：解析： 由已知可得由已知可得 OMPD， OM平面平面 PCD 且且 OM平面平面 PAD.故正確的只有故正確的只有. 答案：答案： 9(2018 全國卷全國卷)

17、已知圓錐的頂點為已知圓錐的頂點為 S，母線，母線 SA，SB 所成角的余弦值為所成角的余弦值為78，SA 與圓與圓錐底面所成角為錐底面所成角為 45，若，若SAB 的面積為的面積為 5 15，則該圓錐的側(cè)面積為，則該圓錐的側(cè)面積為_ 解析：解析：如圖，如圖，SA 與底面成與底面成 45角，角， SAO 為等腰直角三角形為等腰直角三角形 設(shè)設(shè) OAr， 則則 SOr，SASB 2r. 在在SAB 中，中，cos ASB78， sin ASB158， SSAB12SA SB sin ASB12( 2r)21585 15， 解得解得 r2 10， SA 2r4 5，即母線長，即母線長 l4 5， S

18、圓錐側(cè)圓錐側(cè)rl2 104 540 2. 答案：答案：40 2 三、解答題三、解答題 10.(2018 長春質(zhì)檢長春質(zhì)檢)如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐 P- ABCD 中，底面中，底面 ABCD為菱形，為菱形，PA平面平面 ABCD，E 為為 PD 的中點的中點 (1)證明：證明：PB平面平面 ACE； (2)設(shè)設(shè) PA1，AD 3，PCPD，求三棱錐，求三棱錐 P- ACE 的體積的體積 解：解：(1)證明：連接證明：連接 BD 交交 AC 于點于點 O，連接，連接 OE. 在在PBD 中，中，PEDE， BODO，所以，所以 PBOE. 又又 OE平面平面 ACE，PB 平面平面 ACE，

19、 所以所以 PB平面平面 ACE. (2)由題意得由題意得 ACAD， 所以所以 VP- ACE12VP- ACD14VP- ABCD1413S ABCD PA 1413 234 3 2138. 11.如圖，在直三棱柱如圖，在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，中，ABACAA13，BC2，D 是是 BC 的中點，的中點，F(xiàn) 是是 CC1上一點上一點 (1)當當 CF2 時，證明：時，證明：B1F平面平面 ADF； (2)若若 FDB1D，求三棱錐，求三棱錐 B1- ADF 的體積的體積 解：解：(1)證明：因為證明：因為 ABAC，D 是是 BC 的中點，的中點， 所以所以 ADBC. 在直

20、三棱柱在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，因為中，因為 BB1底面底面 ABC，AD底面底面 ABC，所以，所以 ADB1B. 因為因為 BCB1BB，所以，所以 AD平面平面 B1BCC1. 因為因為 B1F平面平面 B1BCC1，所以，所以 ADB1F. 在矩形在矩形 B1BCC1中，因為中，因為 C1FCD1，B1C1CF2， 所以所以 RtDCFRtFC1B1， 所以所以CFDC1B1F，所以，所以B1FD90， 所以所以 B1FFD. 因為因為 ADFDD，所以，所以 B1F平面平面 ADF. (2)由由(1)知知 AD平面平面 B1DF，CD1，AD2 2， 在在 RtB1BD

21、中，中，BDCD1，BB13， 所以所以 B1D BD2BB21 10. 因為因為 FDB1D， 所以所以 RtCDFRtBB1D， 所以所以DFB1DCDBB1，即，即 DF13 10103， 所以所以 VB1- ADFVA- B1DF13SB1DFAD1312103 102 210 29. 12(2018 全國卷全國卷)如圖，在三棱錐如圖，在三棱錐 P- ABC 中，中，ABBC2 2，PAPBPCAC4，O 為為 AC 的中點的中點 (1)證明：證明：PO平面平面 ABC； (2)若點若點 M 在棱在棱 BC 上，且上，且 MC2MB，求點，求點 C 到平面到平面 POM 的距的距離離

22、解：解：(1)證明：因為證明：因為 PAPCAC4，O 為為 AC 的中點，的中點， 所以所以 POAC，且，且 PO2 3. 連接連接 OB， 因為因為 ABBC22AC， 所以所以ABC 為等腰直角三角形，為等腰直角三角形， 且且 OBAC，OB12AC2. 所以所以 PO2OB2PB2，所以，所以 POOB. 又因為又因為 ACOBO，所以，所以 PO平面平面 ABC. (2)如圖，作如圖，作 CHOM，垂足為，垂足為 H， 又由又由(1)可得可得 OPCH， 所以所以 CH平面平面 POM. 故故 CH 的長為點的長為點 C 到平面到平面 POM 的距離的距離 由題設(shè)可知由題設(shè)可知 O

23、C12AC2， CM23BC4 23，ACB45， 所以所以 OM2 53，CHOC MC sin ACBOM4 55. 所以點所以點 C 到平面到平面 POM 的距離為的距離為4 55. B 組組大題專攻補短練大題專攻補短練 1(2018 武漢調(diào)研武漢調(diào)研)如圖如圖，在矩形，在矩形 ABCD 中，中，AB4，AD2，E 是是 CD 的中點，將的中點，將ADE 沿沿 AE 折起，得到如圖折起，得到如圖所示的四棱錐所示的四棱錐 D1- ABCE，其中平面，其中平面 D1AE平面平面 ABCE. (1)證明：證明：BE平面平面 D1AE； (2)設(shè)設(shè) F 為為 CD1的中點， 在的中點， 在線段線

24、段 AB 上是否存在一點上是否存在一點 M， 使得， 使得 MF平面平面 D1AE， 若存在， 若存在，求出求出AMAB的值；若不存在，請說明理由的值；若不存在，請說明理由 解：解：(1)證明：證明：四邊形四邊形 ABCD 為矩形且為矩形且 ADDEECBC2，AEB90，即，即 BEAE，又平面，又平面 D1AE平面平面 ABCE，平面平面 D1AE平面平面 ABCEAE， BE平面平面 D1AE. (2)AMAB14，理由如下：，理由如下： 取取 D1E 的中點的中點 L，連接，連接 FL，AL，F(xiàn)LEC. 又又 ECAB，F(xiàn)LAB，且，且 FL14AB， M，F(xiàn)，L，A 四點共面，四點共

25、面， 若若 MF平面平面 AD1E，則，則 MFAL. 四邊形四邊形 AMFL 為平行四邊形，為平行四邊形， AMFL14AB，即，即AMAB14. 2.(2018 湖北八校聯(lián)考湖北八校聯(lián)考)如圖，在直三棱柱如圖，在直三棱柱 ABC- ABC中，中，ACBC5，AAAB6，D，E 分別為分別為 AB 和和 BB上的點，且上的點，且ADDBBEEB. (1)當當 D 為為 AB 的中點時，求證：的中點時，求證：ABCE； (2)當當 D 在線段在線段 AB 上運動時上運動時(不含端點不含端點)， 求三棱錐， 求三棱錐 A- CDE 體體積的最小值積的最小值 解：解：(1)證明：證明：D 為為 A

26、B 的中點，的中點，E 為為 BB 的中點，的中點， 三棱柱三棱柱 ABC- ABC為直三棱柱，為直三棱柱，AAAB6， 四邊形四邊形 ABBA為正方形，為正方形，DEAB. ACBC，D 為為 AB 的中點，的中點，CDAB. 由題意得平面由題意得平面 ABBA平面平面 ABC，且平面，且平面 ABBA平面平面 ABCAB，CD平平面面 ABC， CD平面平面 ABBA. 又又 AB平面平面 ABBA， CDAB. 又又 CDDED，AB平面平面 CDE， CE平面平面 CDE，ABCE. (2)設(shè)設(shè) ADx(0 x6)， 則則 BEx，DB6x，BE6x， 由已知可得點由已知可得點 C 到

27、平面到平面 ADE 的距離即為的距離即為ABC 的邊的邊 AB 上的高上的高 h，且，且 h AC2 AB224， 三棱錐三棱錐 A- CDE 的體積的體積 VA- CDEVC- ADE13(S四邊形四邊形ABBASAADSDBESABE) h13 363x12 6x x3 6x h23(x26x36)23(x3)227(0 x6)， 當當 x3，即，即 D 為為 AB 的中點時，的中點時，VA- CDE取得最小值，最小值為取得最小值，最小值為 18. 3.(2018 南昌模擬南昌模擬)如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐 P- ABCD 中，中，PA底面底面ABCD，四邊形，四邊形 ABCD 為直角

28、梯形，為直角梯形，AC 與與 BD 相交于點相交于點 O，ADBC，ADAB，ABBCAP3，三棱錐，三棱錐 P- ACD 的體積為的體積為 9. (1)求求 AD 的值；的值； (2)過點過點 O 的平面的平面 平行于平面平行于平面 PAB，平面，平面 與棱與棱 BC，AD，PD，PC 分別相交于點分別相交于點 E，F(xiàn)，G，H，求截面，求截面 EFGH 的周長的周長 解：解：(1)因為在四棱錐因為在四棱錐 P- ABCD 中，中，PA底面底面 ABCD， 四邊形四邊形 ABCD 為直角梯形，為直角梯形，ADBC，ADAB，ABBCAP3， 所以所以 V三棱錐三棱錐P- ACD1312ABAD

29、AP32AD9， 解得解得 AD6. (2)由題知平面由題知平面 平面平面 PAB，平面，平面 平面平面 ABCDEF，點，點 O 在在 EF 上，平面上，平面 PAB平面平面 ABCDAB， 根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，得根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，得 EFAB， 同理同理 EHBP，F(xiàn)GAP.因為因為 BCAD， 所以所以BOCDOA，所以，所以BCADCOOA3612. 因為因為 EFAB，所以，所以CEBCOCAC13， 又易知又易知 BEAF，AD2BC，所以，所以 FD2AF. 因為因為 FGAP，所以，所以FGAPFDAD23，F(xiàn)G23AP2. 因為因為 EHBP，所以，所以EHPBEC

30、BC13， 所以所以 EH13PB 2. 如圖，作如圖，作 HNBC，GMAD，HNPBN，GMPAM，則，則 HNGM，HNGM， 所以四邊形所以四邊形 GMNH 為平行四邊形，所以為平行四邊形，所以 GHMN， 在在PMN 中，中，MN 8122 2cos 45 5， 又又 EFAB3， 所以截面所以截面 EFGH 的周長為的周長為 EFFGGHEH32 5 25 5 2. 4.如圖，在幾何體如圖，在幾何體 ABCDEF 中，底面中，底面 ABCD 為矩形，為矩形，EFCD，CDEA，CD2EF2，ED 3，M 為棱為棱 FC 上一點，平面上一點，平面 ADM與棱與棱 FB 交于點交于點

31、N. (1)求證：求證：EDCD. (2)求證：求證：ADMN. (3)若若 ADED，試問平面，試問平面 BCF 是否可能與平面是否可能與平面 ADMN 垂直？若能，求出垂直？若能，求出FMFC的值；若的值；若不能，說明理由不能，說明理由 解：解：(1)證明：因為四邊形證明：因為四邊形 ABCD 為矩形，所以為矩形，所以 CDAD. 又因為又因為 CDEA，EAADA， 所以所以 CD平面平面 EAD. 因為因為 ED平面平面 EAD， 所以所以 EDCD. (2)證明：因為四邊形證明：因為四邊形 ABCD 為矩形，所以為矩形，所以 ADBC， 又因為又因為 AD 平面平面 FBC，BC平面

32、平面 FBC， 所以所以 AD平面平面 FBC. 又因為平面又因為平面 ADMN平面平面 FBCMN， 所以所以 ADMN. (3)平面平面 ADMN 與平面與平面 BCF 可以垂直證明如下：可以垂直證明如下： 連接連接 DF.因為因為 ADED，ADCD，EDCDD， 所以所以 AD平面平面 CDEF.所以所以 ADDM. 因為因為 ADMN，所以，所以 DMMN. 因為平面因為平面 ADMN平面平面 FBCMN， 所以若使平面所以若使平面 ADMN平面平面 BCF， 則則 DM平面平面 BCF，所以，所以 DMFC. 在梯形在梯形 CDEF 中，因中，因為為 EFCD，DECD，CD2EF2，ED 3， 所以所以 DFDC2. 所以若使所以若使 DMFC 成立，則成立，則 M 為為 FC 的中點的中點 所以所以FMFC12.