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1、 精品資料
第六節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法
考點(diǎn)一
用數(shù)學(xué)歸納法證明等式
[例1] 用數(shù)學(xué)歸納法證明：
＋＋…＋＝(n∈N*)．
[自主解答] ①當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝＝，右邊＝＝，
左邊＝右邊，等式成立．
②假設(shè)n＝k(k≥1)時(shí)，等式成立．
即＋＋…＋＝，
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝＋＋…＋＋
＝＋＝
＝＝，
所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立．由①②可得對(duì)任意n∈N*，等式成立．
【方法規(guī)律】 [來(lái)源:]
用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的方法
(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題，要“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成
2、規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是多少．
(2)由n＝k時(shí)命題成立，推出n＝k＋1時(shí)等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差異)，明確變形目標(biāo)；二要充分利用歸納假設(shè)，進(jìn)行合理變形，正確寫(xiě)出證明過(guò)程．
求證：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n135…(2n－1)(n∈N*)．
證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，等式左邊＝2，右邊＝211＝2，∴等式成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，等式成立，即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k135…(2k－1)．
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝(k＋2)(k＋3)…2k(2k＋1)(2k＋2)
＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(
3、2k＋1)＝22k135…(2k－1)(2k＋1)
＝2k＋1135…(2k－1)(2k＋1)．
所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式成立．由(1)(2)知，對(duì)任意n∈N*，原等式成立．
[來(lái)源:]
考點(diǎn)二
用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
[例2] 已知數(shù)列{an}，an≥0，a1＝0，a＋an＋1－1＝a.求證：當(dāng)n∈N*時(shí)，an
4、ak＋2＋ak＋1＋1)>0，
又ak＋1>ak≥0，所以ak＋2＋ak＋1＋1>0，所以ak＋1a2成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)，ak＋1
5、0，
又ak＋2＋ak＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1，所以ak＋2－ak＋1<0，所以ak＋2
6、Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖象上．
(1)求r的值；
(2)當(dāng)b＝2時(shí)，記bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，證明：對(duì)任意
的n∈N*，不等式…>成立．
解：(1)由題意，Sn＝bn＋r，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝bn－1＋r.所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)．
由于b>0且b≠1，所以n≥2時(shí)，{an}是以b為公比的等比數(shù)列．
又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，故＝b，即＝b，解得r＝－1.
(2)證明：由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)，所證不等式為…>.
①當(dāng)n＝1時(shí)，左式＝，右式＝，左式>右式，所以結(jié)
7、論成立．
②假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)結(jié)論成立，即…>，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
…>＝，要證當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論成立，
只需證≥，即證≥，
由均值不等式＝≥成立，故≥成立，
所以，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立．
由①②可知n∈N*時(shí)，不等式…>成立．
考點(diǎn)三
“歸納—猜想—證明”問(wèn)題
[例3] 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn＝＋－1，且an>0，n∈N*.
(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通項(xiàng)公式；[來(lái)源:]
(2)證明通項(xiàng)公式的正確性．
[自主解答] (1)當(dāng)n＝1時(shí)，由已知得a1＝＋－1，a＋2a1－2＝0.∴a1＝－1(a1>0)．
8、當(dāng)n＝2時(shí)，由已知得a1＋a2＝＋－1，
將a1＝－1代入并整理得a＋2 a2－2＝0.∴a2＝－(a2>0)．
同理可得a3＝－.猜想an＝－(n∈N*)．
(2)①由(1)知，當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，通項(xiàng)公式成立．
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥3，k∈N*)時(shí)，通項(xiàng)公式成立，
即ak＝－.由ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，
將ak＝－代入上式并整理得a＋2ak＋1－2＝0，
解得：ak＋1＝－(an>0)．即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，通項(xiàng)公式也成立．
由①和②，可知對(duì)所有n∈N*，an＝－都成立．
【方法規(guī)律】
歸納—猜想—證明類(lèi)問(wèn)題的解題步驟
(1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整
9、數(shù)n有關(guān)的未知問(wèn)題、存在性問(wèn)題，其基本模式是“歸納—猜想—證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理即演繹推理論證結(jié)論的正確性．
(2)“歸納—猜想—證明”的基本步驟是“試驗(yàn)—?dú)w納—猜想—證明”．高中階段與數(shù)列結(jié)合的問(wèn)題是最常見(jiàn)的問(wèn)題．
(2014金華模擬)已知數(shù)列{an}滿足條件：a1≥1，an＋1≥(an＋1)2－1，試比較＋＋＋…＋與1的大小，并說(shuō)明理由．
解：∵函數(shù)g(x)＝(x＋1)2－1，在[1，＋∞)上單調(diào)遞增．
于是由a1≥1，得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1，進(jìn)而a3≥(a2＋1)2－1≥24－1>23－1，
由此猜想：an≥2n－1.
下面用數(shù)學(xué)
10、歸納法證明這個(gè)猜想：
①當(dāng)n＝1時(shí)，a1≥21－1＝1，結(jié)論成立；
②假設(shè)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)結(jié)論成立，即ak≥2k－1.
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由g(x)＝(x＋1)2－1在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增知ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1，即n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立．
由①②知，對(duì)任意n∈N*，都有an≥2n－1.
即1＋an≥2n，∴≤，
∴＋＋＋…＋≤＋＋＋…＋＝1－n<1.
————————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————[來(lái)源:]
1種方法——尋找遞推關(guān)系的方法
(1)在第一步驗(yàn)證時(shí)，不妨多計(jì)算幾項(xiàng)，并爭(zhēng)取正確寫(xiě)出來(lái)，這樣對(duì)發(fā)現(xiàn)遞推關(guān)系是有幫助的．
(2)探求數(shù)列通項(xiàng)公式要善于觀察式子或命題的變化規(guī)律，觀察n處在哪個(gè)位置．
(3)在書(shū)寫(xiě)f(k＋1)時(shí)，一定要把包含f(k)的式子寫(xiě)出來(lái)，尤其是f(k)中的最后一項(xiàng)，除此之外，多了哪些項(xiàng)，少了哪些項(xiàng)都要分析清楚．
3個(gè)注意點(diǎn)——運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)注意的三個(gè)問(wèn)題
(1)第一步驗(yàn)證n＝n0時(shí)，n0不一定為1，要根據(jù)題目要求選擇合適的起始值．
(2)由假設(shè)n＝k成立證n＝k＋1時(shí)，要推導(dǎo)詳實(shí)，并且一定要運(yùn)用n＝k成立的結(jié)論．
(3)要注意n＝k到n＝k＋1時(shí)增加的項(xiàng)數(shù)．
高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第九章 ：第六節(jié)數(shù)學(xué)歸納法突破熱點(diǎn)題型
