高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第九章 ：第五節(jié)直接證明與間接證明回扣主干知識(shí)提升學(xué)科素養(yǎng)

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1、 精品資料 第五節(jié)　直接證明與間接證明 【考綱下載】 1．了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程和特點(diǎn)． 2．了解反證法的思考過(guò)程和特點(diǎn)． 1．直接證明 (1)綜合法 ①定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法． ②框圖表示：―→―→―→…―→(P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示所要證明的結(jié)論)． (2)分析法 ①定義：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，

2、直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)，這種證明方法叫做分析法． ②框圖表示：―→―→―→…―→. 2．間接證明 反證法：假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法． 1．分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的什么條件？(充分條件、必要條件、充要條件) 提示：充分條件． 2．用反證法證明結(jié)論“a>b”時(shí)，應(yīng)假設(shè)的內(nèi)容是什么？ 提示：應(yīng)假設(shè)a≤b. 3．證明不等式＋<＋最適合的方法是什么？ 提示：分析法．

3、 1．若ab＋[來(lái)源: C．b＋>a＋ D.< 解析：選C　∵a.[來(lái)源:] 由不等式的同向可加性知b＋>a＋. 2．用分析法證明：欲使①A>B，只需②C

4、．三個(gè)內(nèi)角都不大于60 B．三個(gè)內(nèi)角都大于60 C．三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60 D．三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60 解析：選B　“至少有一個(gè)不大于60”的反面是“都大于60”． 4．下列條件：①ab>0；②ab<0；③a>0；b>0；④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的條件的個(gè)數(shù)是________． 解析：要使＋≥2，只要>0且>0，即a，b不為0且同號(hào)即可，故有3個(gè)． 答案：3 5．已知點(diǎn)An(n，an)為函數(shù)y＝圖象上的點(diǎn)，Bn(n，bn)為函數(shù)y＝x圖象上的點(diǎn)，其中n∈N*，設(shè)cn＝an－bn，則cn與cn＋1的大小關(guān)系為_(kāi)_______． 解析：由題意知，an＝，bn＝

5、n，∴cn＝－n＝.顯然，cn隨著n的增大而減小，∴cn>cn＋1.[來(lái)源:] 答案：cn>cn＋1 數(shù)學(xué)思想(十一) 轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用 高考對(duì)直接證明與間接證明的考查多在知識(shí)的交匯處命題，如數(shù)列、立體幾何、不等式、函數(shù)、解析幾何等都可能考查，在具體求解時(shí)，應(yīng)注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想尋求解題思路． [典例]　(2013山東高考)定義“正對(duì)數(shù)”：ln＋x＝現(xiàn)有四個(gè)命題： ①若a>0，b>0，則ln＋(ab)＝bln＋a；[來(lái)源:] ②若a>0，b>0，則ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b； ③若a>0，b>0，則ln＋≥ln＋a－ln＋b； ④若a>0，

6、b>0，則ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln 2. 其中的真命題有________(寫出所有真命題的序號(hào))． [解題指導(dǎo)]　本題是新定義問(wèn)題，解題時(shí)要嚴(yán)格按照所給定義，對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一論證或排除． [解析]　對(duì)于命題①，若00時(shí)，00,00成立，此時(shí)ln＋(ab)＝bln＋a＝0，此時(shí)命題成立；當(dāng)a>1時(shí)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得對(duì)任意b>0，ab>1，此時(shí)ln＋(ab)＝ln ab＝

7、bln a，且bln＋a＝bln a，此時(shí)命題成立，故命題①為真命題；[來(lái)源:] 對(duì)于命題②，取a＝，b＝3時(shí)，ln＋(ab)＝0，ln＋a＋ln＋b＝ln 3>0，二者不相等，故命題②不是真命題； 對(duì)于命題③，若≥1，a≥1，b≥1，此時(shí)ln＋＝ln＝ln a－ln b，ln＋a－ln＋b＝ln a－ln b，不等式成立；若≥1,0ln a，ln＋a－ln＋b＝ln a，此時(shí)不等式也成立．根據(jù)對(duì)稱性，當(dāng)<1時(shí)的各種情況就相當(dāng)于交換了上述a，b的位置，故不等式成立

8、．綜上，命題③為真命題； 對(duì)于命題④，若0

9、所以④中的不等式成立，即命題④為真命題． [答案]?、佗邰? [題后悟道]　1.注意這類判斷命題真假的題目，其解法上既要規(guī)范，又要靈活．當(dāng)判斷為真時(shí)，需嚴(yán)格地推理證明；而判斷為假時(shí)，只需舉一反例即可． 2．注意培養(yǎng)觀察能力，即觀察條件、結(jié)論，且能從數(shù)學(xué)的角度揭示其差異，如“高次?低次”“分式(根式)?整式”“多元?一元”等，從而為我們的化歸轉(zhuǎn)化指明方向，奠定基礎(chǔ)． 設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)．現(xiàn)有下列命題： ①若a2－b2＝1，則a－b<1；②若－＝1，則a－b<1；③若|－|＝1，則|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，則|a－b|<1. 其中的真命題有________(寫出所有真命題的序號(hào))． 解析：①中，a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝1，a，b為正實(shí)數(shù)，若a－b≥1，則必有a＋b>1，不合題意，故①正確；②中，－＝＝1，只需a－b＝ab即可．如果a＝2，b＝滿足上式，但a－b＝>1，故②錯(cuò)；③中，a，b為正實(shí)數(shù)，所以＋>|－|＝1，且|a－b|＝|(＋)(－)|＝|＋|>1，故③錯(cuò)；④中，|a3－b3|＝|(a－b)(a2＋ab＋b2)|＝|a－b|(a2＋ab＋b2)＝1.若|a－b|≥1，不妨取a>b>1，則必有a2＋ab＋b2>1，不合題意，故④正確． 答案：①④